高中数学单元测试——第2章圆与方程（较难版01）

**基本信息** 高中数学第2章“圆与方程”单元复习卷（较难版），覆盖圆的方程、直线与圆位置关系等核心知识，通过海监船监测、公园摄像头监控等情境设计，融合数学眼光观察现实、思维推理与模型表达，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆心半径、点与圆位置关系|基础概念辨析，如第3题直线为圆对称轴考查圆心在直线上| |多选题|3/18|直线与圆位置关系、两圆位置关系|综合判断，如第10题两圆相交及公共弦方程| |填空题|3/15|切线方程、对称点在圆上|空间想象，如第13题圆上点关于直线对称点在另一圆上| |解答题|5/77|圆的方程求解、轨迹方程|实际应用与创新，如第18题公园摄像头监控范围计算，第19题轨迹方程探究，体现数学建模与逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（本题5分）已知圆：，且圆上到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（    ） A． B．或9 C．1或9 D．9 5．（本题5分）已知直线与圆交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 7．（本题5分）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 10．（本题6分）已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 11．（本题6分）已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（   ） A．曲线与轴和轴共有4个公共点 B．曲线总长度为 C．点P、Q在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴围成的图形面积为 三、填空题 12．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 13．（本题5分）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 14．（本题5分）已知点，是圆内接正方形的一条对角线上的两个端点，则圆的半径大小为______，圆上动点到点的距离的取值范围是______. 四、解答题 15．（本题13分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 16．（本题15分）已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 17．（本题15分）已知关于，的方程. (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆与直线：相交于，两点，且，求的值； (3)若，求过点且与相切的直线方程. 18．（本题17分）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 19．（本题17分）已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究： ①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由； ②求线段的中点的轨迹方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程即可求解. 【详解】由有圆心坐标为，半径为， 故选：C. 2．（本题5分）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 4．（本题5分）已知圆：，且圆上到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（    ） A． B．或9 C．1或9 D．9 【答案】B 【分析】应用圆心到直线距离结合圆上到直线的距离为1的点恰有3个得出列式计算求解参数. 【详解】由题意可知，圆的圆心，圆的半径， ∵圆上到直线的距离为1的点恰有3个，如图所示， ∴圆心到直线的距离为1，即解得或. 故选：B. 5．（本题5分）已知直线与圆交于两点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的弦长公式计算可得. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径. 因为， 所以圆心到直线的距离. 因为直线， 所以，解得. 故选：B. 6．（本题5分）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 7．（本题5分）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船监测到的时间是0.5小时． 故选：C． 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意求出动点的轨迹方程，再根据的几何意义，将原问题转化为直线与圆的交点问题. 【详解】因为点，动点满足， 所以，整理得， 即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又因为表示点与点连线的斜率，记为， 设过点的直线方程为，即， 则直线与圆有交点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ）． A．圆C的圆心坐标为 B．直线l与圆C相交 C．圆与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线的距离为1的直线与圆的位置关系可判断选项正误. 【详解】因为，所以， 圆C的圆心坐标为，故A正确； 圆心C到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆与圆C两圆心距离， 两圆半径之和为，半径之差为， 因为，故两圆相交，故C错误； 因为圆心C到直线的距离为，所以， 圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确. 故选：ABD. 10．（本题6分）已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 【答案】BD 【分析】把两个圆的方程通过配方法变成圆的标准方程， 结合点与圆的位置性质、两圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. 圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为， 所以点在圆外，因此本选项说法不正确； B：, 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为， 所以圆心在圆上， 又因为， 所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确， 故选：BD 11．（本题6分）已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（   ） A．曲线与轴和轴共有4个公共点 B．曲线总长度为 C．点P、Q在曲线上，则的最大值为 D．曲线与坐标轴围成的图形面积为 【答案】BD 【分析】由曲线C的方程中的取值判断A；分类讨论，画出曲线C的图象，可计算曲线的总长度和面积，判断BD；由图象的对称性，当PQ经过原点时取得最大值判断C. 【详解】曲线的方程中，且，即曲线与坐标轴无公共点，A错误； 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为，作出曲线， 圆的圆心为，交轴正半轴于， 交轴正半轴于， 直线的斜率，直线的倾斜角为，，， 因此曲线的总长度为，B正确； 与坐标轴围成的面积为，D正确； 当点P、Q与圆弧所在的圆心共线时，取得最大值，此时，C错误. 故选：BD 三、填空题 12．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 13．（本题5分）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求圆心关于直线的对称点，再分析可知圆上存在点使得其对称点在圆上等价于以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，最后利用两圆位置关系的判定条件列不等式，即可求解. 【详解】由题意，圆的圆心为， 设关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以关于直线的对称点为， 又圆：的圆心，所以. 又由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，所以，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）已知点，是圆内接正方形的一条对角线上的两个端点，则圆的半径大小为______，圆上动点到点的距离的取值范围是______. 【答案】 【分析】线段为圆的一条直径可求圆心和半径，再判断点与圆的位置关系即可求出范围. 【详解】由题意得，线段为圆的一条直径，且， 所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆外， 则的最大值为，最小值为， 故的取值范围是. 故答案为：； 四、解答题 15．（本题13分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 16．（本题15分）已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)相交，截得的弦长为2. (2)或. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【详解】（1）由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. （2）若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 17．（本题15分）已知关于，的方程. (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆与直线：相交于，两点，且，求的值； (3)若，求过点且与相切的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）借助圆的一般方程表示圆需要满足的条件计算即可得； （2）得到圆心和半径后，结合点到直线的距离以及垂径定理计算即可得； （3）利用切线定义，分直线斜率不存在与直线斜率存在进行讨论即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 即时，方程表示圆； （2），且， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得； （3）当时，，，， 若直线斜率不存在，则直线为， 此时圆心到的距离为，与半径相等，符合； 若直线斜率存在，设为，即， 则有，化简得，即， 即切线方程为； 综上所述：切线方程或. 18．（本题17分）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 19．（本题17分）已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究： ①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由； ②求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)①直线不存在，理由见解析；② 【分析】（1）运用相关点代入法求解轨迹方程即可； （2）根据向量等式，求解直线的斜率k,结合联立方程组法确定k的取值范围，进而确定直线是否存在；根据中点坐标公式，再运用参数法求解点 D的轨迹方程. 【详解】（1）设，则， 设，，， 即. （2）①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为， 则 设，直线与圆交于两点，则， 由韦达定理得：， ，则 即，与不符，所以满足条件的直线不存在； ②MN中点坐标为： ，设MN中点D为 则，即 所以中点的轨迹方程为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $