高中数学单元测试——第2章圆与方程（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学圆与方程单元复习卷，覆盖圆的方程、直线与圆位置关系等核心知识，通过基础题、综合题及拱桥、欧拉线等情境题，培养几何直观与模型意识，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆的标准方程（题1）、直线与圆相切（题4）|基础概念辨析，突出空间观念| |多选题|3/18|圆的对称性（题9D）、两圆公切线（题10A）|多角度考查逻辑推理能力| |填空题|3/15|切线方程（题12）、圆与圆位置关系（题13）|聚焦关键技能应用| |解答题|5/77|拱桥问题（题7）、台球运动轨迹（题18）|结合现实情境，渗透数学文化，强化模型意识|

高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 2．（本题5分）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（本题5分）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 6．（本题5分）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 7．（本题5分）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 8．（本题5分）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 10．（本题6分）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11．（本题6分）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．若点在圆M上，则的最大值是7 C．圆M上点到直线的最大距离为 D．若点在圆M上，则的最小值是 三、填空题 12．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 13．（本题5分）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 14．（本题5分）已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 四、解答题 15．（本题13分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 16．（本题15分）在平面直角坐标系中，已知点，圆：. (1)过点M作圆C的切线，求切线的方程； (2)判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长. 17．（本题15分）在平面直角坐标系中，已知关于的方程. (1)当为何值时，该方程表示圆？并求出半径最大的圆的方程. (2)已知，当（1）中圆的半径取最大时，该圆上是否存在点，满足？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由. 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 2．（本题5分）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 4．（本题5分）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 5．（本题5分）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】圆的圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 由直线被圆截得的弦长为，得，所以. 故选：C 6．（本题5分）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 7．（本题5分）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B 8．（本题5分）已知直线，直线相交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．8 D．18 【答案】D 【分析】先由题设求出两条直线垂直及其所过的定点，进而求出点P的轨迹为圆，再将转化为圆上点到原点距离的平方即可分析求解. 【详解】因为，所以， 又直线：，则过定点， 直线：，则过定点， 因为且交于，所以， 所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为的圆， 所以点的轨迹方程为， 表示该圆上的点到原点的距离的平方， 又圆上点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．圆与轴相交于两个不同点 C．若与圆相交，则 D．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 【答案】AC 【分析】令，得，分析可判断A的正误；求出圆的圆心和半径，分析可判断B的正误；由题意，圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式，即可判断C的正误；分析可得圆心在直线上，代入计算，可判断D的正误. 【详解】选项A：令，得，易知直线过定点，故A正确； 选项B：整理圆的方程，得，则圆心到轴的距离为4，又，所以圆与轴相切，故B错误； 选项C：设圆心到直线的距离为，可得，解得，故C正确； 选项D：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，所以圆心在直线上，则，解出，故D错误. 故选：AC. 10．（本题6分）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 11．（本题6分）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（    ） A．的“欧拉线”方程为 B．若点在圆M上，则的最大值是7 C．圆M上点到直线的最大距离为 D．若点在圆M上，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】由及题意可得的欧拉线为线段的中垂线，求出的中垂线方程判断A；由欧拉线与圆相切可得，圆心到欧拉线的距离等于半径可得的值，表示圆上的点与连线的斜率，设，利用点到直线的距离公式得到不等式，即可求出的取值范围，从而判断B；由圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径判断C；令，得，代入圆的方程，由方程有根求出的范围判断D. 【详解】对于A，，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即，故A正确； 对于B，的“欧拉线”与圆相切， 圆心到直线的距离， 圆的方程为， 因为表示圆上的点与连线的斜率， 设，则，即， 所以，即，解得， 所以的最大值为7，故B正确； 对于C，圆心到直线的距离， 圆上点到直线的距离的最大值为，故C错误； 对于D，令，，代入圆的方程， 可得，由于在圆上，有根， 则，整理得， 解得， 的最小值为，即的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【分析】解：先判断出点在圆上，利用斜率公式求出圆心和连线的斜率，利用两条直线垂直得到过圆上点的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】解：将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 13．（本题5分）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 14．（本题5分）已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】先由确定出点坐标，将转化为，再根据三点共线确定出的最小值. 【详解】设存在使得恒成立， 因为，所以， 化简可得， 又因为点在圆上运动，所以， 两方程对比可得，，解得， 所以存在使得恒成立，即， 所以，如图所示， 当且仅当三点共线且点在两点之间时，取最小值， 此时， 故答案为：．      四、解答题 15．（本题13分）求满足下列条件的圆的标准方程 (1)已知两点，求以为直径的圆的方程. (2)求以为顶点的三角形的外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得和的中点坐标为，得出球心和半径，即可求解； （2）设所求圆的方程为，列出方程组求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由点，可得， 且的中点坐标为，即所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为. （2）解：设所求圆的方程为， 因为在圆上， 可得，即，解得， 即， 所以所求圆的标准方程. 16．（本题15分）在平面直角坐标系中，已知点，圆：. (1)过点M作圆C的切线，求切线的方程； (2)判断直线：与圆C是否相交；如果相交，求直线m被圆C截得的弦长. 【答案】(1)或 (2)相交， 【分析】（1）分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况即可求得切线方程； （2）由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系，进一步利用弦长公式可求得弦长的值. 【详解】（1）解：很明显，直线斜率不存在时，直线满足题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为：，即， 圆心到直线的距离， 满足题意时有：，解得：， 则此时的直线方程为：，即， 综上可得，直线方程为：或. （2）解：圆心到直线的距离：， 则直线与圆相交，此时直线被圆截得的弦长为：. 17．（本题15分）在平面直角坐标系中，已知关于的方程. (1)当为何值时，该方程表示圆？并求出半径最大的圆的方程. (2)已知，当（1）中圆的半径取最大时，该圆上是否存在点，满足？若存在，求出点的个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，点的个数为2 【分析】（1）先将方程变形，然后由其表示圆可得，可求出的范围，从而可求出半径的最大值，进而可求得圆的方程； （2）由（1）知，圆，假设圆上存在点满足条件，则可得，然后由两圆的位置关系可求得结果. 【详解】（1） ， 当，即时，方程表示圆. ，当且仅当时，半径最大， 此时圆的方程为. （2）由（1）知，圆， 假设圆上存在点，使得 ∴， ，即得到圆的方程. 所以满足圆和另一个圆的方程， 两圆相交， 点的个数为2. 18．（本题17分）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置为，球的位置为，解决下列问题： (1)如图①，若，沿向量的方向击打母球A，能否使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由； (2)如图②，若，要使目标球B向球的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程； (3)如图③，若，能否让母球A击打目标球B后，使目标球B向球的球心方向运动？判断并说明理由． 【答案】(1)能使目标球B向球的球心方向运动，理由如下： 若时，沿向量的方向击打母球A，则，而， 所以，即两向量同向共线， 所以沿向量的方向击打母球A，能使目标球B向球的球心方向运动； (2) (3)不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动，理由如下： 若，过点与点的直线方程为． 依题意，知A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限， 设A，B两球碰撞时球A的球心坐标为，此， 则有，解得， 即A，B两球碰撞时球A的球心坐标为， ∴母球A的球心运动的直线方程为； 若，由（2）知．又， ∴， ∴， 故为锐角． ∴点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 故不可能让母球A击打目标球B后，使目标球B向处运动． 【分析】（1）根据点在母球A的球心运动的直线方程上，得到结论； （2）得到A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，且在第一象限，设，得到方程组，求出，求出母球A的球心运动的直线方程； （3）由得到为锐角，从而得到点到线段的距离小于2，故球A的球心未到直线上的点之前就会与球B碰撞． 【详解】（1）略 （2）略 19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）设，再利用两点间距离公式计算即可得； （2）①设出直线方程，借助韦达定理与向量数量积计算即可得；②借助韦达定理、点到直线距离公式与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $