高中数学单元测试——第2章圆与方程（较易版02）

**基本信息** 高中数学第2章圆与方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，结合台风路径、智能AI大赛等真实情境，覆盖圆的方程、位置关系等核心知识点，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆心半径、点与圆位置关系|基础概念辨析，如第1题直接考查圆的标准方程| |多选题|3/18|直线与圆、圆与圆位置关系|多维度判断，如第10题综合两圆相交及公共弦| |填空题|3/15|切线方程、圆与圆相切条件|简洁应用，如第12题直接求过点圆的切线| |解答题|5/77|轨迹方程、实际问题建模|分层综合，如第18题智能AI大赛场地问题，考查模型构建与面积计算，体现应用意识|

高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 2．（本题5分）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入各点坐标看是否满足该方程即可得出结论. 【详解】将选项中的各点代入方程，显然ABD均不满足该方程， 只有C选项满足该方程. 故选：C 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 4．（本题5分）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线和圆相切，由圆心到直线距离等于半径列方程可得结果. 【详解】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 5．（本题5分）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式化为一般式即可. 【详解】的圆心为,半径， 因为为圆的弦的中点， 所以圆心与点确定的直线斜率为， 因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直， 所以弦所在直线的斜率为， 所以弦所在直线的方程为：， 即. 故选：A. 6．（本题5分）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的切线长公式求解. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 则切线长为， 当时，切线长取得最小值， 此时点，且，即点在圆外，满足题意. 故选：A 7．（本题5分）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出示意图计算从地解除一级警戒到地进入一级警戒台风的路程，然后计算时间即可. 【详解】    作于，作于， 直线的方程为， 故 又可得，， ， 从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间为小时. 故选：A 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意求出动点的轨迹方程，再根据的几何意义，将原问题转化为直线与圆的交点问题. 【详解】因为点，动点满足， 所以，整理得， 即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 又因为表示点与点连线的斜率，记为， 设过点的直线方程为，即， 则直线与圆有交点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 10．（本题6分）已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 【答案】BD 【分析】把两个圆的方程通过配方法变成圆的标准方程， 结合点与圆的位置性质、两圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. 圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为， 所以点在圆外，因此本选项说法不正确； B：, 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为， 所以圆心在圆上， 又因为， 所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确， 故选：BD 11．（本题6分）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆可知C正确；将转化为曲线上的点到直线的距离的倍，结合图形可求得D正确. 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 可作出曲线的图象如下图所示（含坐标原点）， 对于A，由图象可知：曲线关于轴，直线，对称，A错误； 对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为， 曲线所围成的图形面积为，B正确； 对于C，曲线内切于圆，且切点在上，如下图所示， 则的最大值即为圆的直径，，C正确； 对于D，， 的几何意义为曲线上的点到直线的距离的倍； 曲线上的点到直线的距离的最小值为， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（本题5分）若点在圆上，则过的圆的切线方程为______. 【答案】 【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解. 【详解】因为点在圆上， 所以过的圆的切线和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 13．（本题5分）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 【答案】4或6 【分析】求出两圆的圆心距，根据两圆有且只有一个公共点的条件建立关于的不等式求解即可. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1， 则， 因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆的位置关系为外切或内切， 即或，则解得或6. 故答案为：4或6． 14．（本题5分）已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】先由确定出点坐标，将转化为，再根据三点共线确定出的最小值. 【详解】设存在使得恒成立， 因为，所以， 化简可得， 又因为点在圆上运动，所以， 两方程对比可得，，解得， 所以存在使得恒成立，即， 所以，如图所示， 当且仅当三点共线且点在两点之间时，取最小值， 此时， 故答案为：．      四、解答题 15．（本题13分）求下列圆的方程 (1)圆经过坐标原点，和； (2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，依题意得到方程组，解得即可； （2）设圆心坐标为，半径为，则其标准方程为，根据圆过和两点得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】（1）解：设圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）解：根据题意，设圆心坐标为，半径为， 则其标准方程为， 由于点和在圆上，则有①， ②， 解可得，， 故圆的标准方程为； 16．（本题15分）已知直线：和圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1)直线与圆相交，所截得的弦长为2 (2)或 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，将之与圆的半径比较，若，则圆与直线相交，此时直线被圆截得的弦长为，即可求解； （2）先判断点在圆外，过该点并与圆相切的直线有两条，当直线斜率存在时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线方程，并考虑直线斜率不存在时即时是否满足条件即可. 【详解】（1）由题意得圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所截得的弦长为， 故直线与圆相交，所截得的弦长为2. （2）因为圆心到的距离为， 所以点在圆外，此时有两条切线， ①当直线斜率存在时，由题意设直线，即， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 此时切线方程为； ②当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心到的距离为3， 故也满足条件，此时切线方程为， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 17．（本题15分）已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)4； (3)或. 【分析】（1）化给定方程为，利用方程表示圆，即可求出范围. （2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值. （3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程. 【详解】（1）方程，变形得， 由方程表示圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由圆，得，此圆圆心，半径为， 又圆的圆心，半径， 由圆与圆相外切，得，即， 所以. （3）由（2）知，圆的圆心，半径， 由圆的弦长，得圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线l的方程为或. 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 【答案】(1)A是失败点 (2)（米2）； (3) 【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断； （2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积； （3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果. 【详解】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A， 故A是失败点 （2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，， 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点， 可得，即，， 即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积（米2） （3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以， 因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以 又因为，所以的取值范围是． 19．（本题17分）已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程； （2）联立直线与曲线E，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出. 【详解】（1）解：设的中点为， 的中点为，且 ，即 点在圆上 即 化简得： 所以的轨迹方程为： （2）解：设， 由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为 设直线的方程为： 联立直线与圆的方程： 得： 解得： ， 由得： 即 化简得： 将韦达定理代入得： 解得：，符合题意 此时直线的方程为： 由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为 在直线的方程中，当时，，即直线过圆心 所以 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法 ①直接法：将动点满足的（与斜率、距离、数量积等有关的，或由平面几何知识推出的）等量关系，直接坐标化，即可得到动点轨迹方程． ②定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等），可根据定义直接求，又称几何法，利用平面几何知识转化是关键． ③代入法：若动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知(或容易先确定的)曲线上，则可先用，的代数式表示，，再将，代入已知曲线即可得到要求的轨迹方程．又称相关点法或转移法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 2．（本题5分）已知圆，则下列各点在圆上的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（本题5分）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）一条东西走向的高速公路沿线有三座城市，其中在正西处，在正东处，台风中心在城市西偏南方向处，且以每小时的速度沿东偏北方向直线移动，距台风中心内的地区必须保持一级警戒，则从地解除一级警戒到地进入一级警戒所需时间（单位：小时）在以下哪个区间内（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知点，动点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 10．（本题6分）已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 11．（本题6分）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）若点在圆上，则过的圆的切线方程为______. 13．（本题5分）已知圆与圆有且只有一个公共点，则的值为___________． 14．（本题5分）已知圆，若点是圆上的动点，则的最小值为___________． 四、解答题 15．（本题13分）求下列圆的方程 (1)圆经过坐标原点，和； (2)圆的圆心在x轴上，并且过和两点． 16．（本题15分）已知直线：和圆：. (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程. 17．（本题15分）已知关于x，y的方程. (1)若该方程表示圆C，求m的取值范围； (2)若圆C与圆外切，求m的值； (3)若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 19．（本题17分）已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为E. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线E交于P，Q两点，若，其中O为坐标原点，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $