高中数学单元测试——第2章圆与方程（适中版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第2章圆与方程单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合圆拱桥、智能AI大赛等现实情境，适配单元知识检测与数学建模、逻辑推理等核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆心坐标、点与圆位置关系等基础概念|直接考查定义辨析，夯实基础| |多选题|3/18|直线与圆位置关系、圆的对称性|多选项设计考查逻辑严谨性| |填空题|3/15|切线方程、圆与圆公切线|聚焦关键技能，强调运算准确| |解答题|5/77|圆的方程求法、直线与圆位置关系、轨迹方程与区域面积|18题结合智能AI大赛情境考查轨迹与面积，体现应用意识；19题轨迹方程与定值证明，培养逻辑推理能力|

高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 2．（本题5分）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】因为，所以点在圆外. 故选：C. 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】根据直线过圆心可求参数的值. 【详解】圆的标准方程为：，故圆心为， 因为直线是圆的对称轴，故圆心在直线上， 故即， 故选：A. 4．（本题5分）若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 【答案】B 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径可得答案. 【详解】因为，圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离为， 因为直线和圆相切，所以，解得或. 故选：B 5．（本题5分）以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题意求圆心到直线的距离，结合垂径定理求半径. 【详解】由题意可知：圆心到直线的距离， 所以圆的半径为. 故选：B 6．（本题5分）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与圆的位置关系，结合切线的性质及二倍角公式计算即可. 【详解】设，圆的圆心为，半径，两切点为， 如下图所示，则， 易知， ， 即. 故选：B 7．（本题5分）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.5（米）， 故选：A. 8．（本题5分）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得，以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，从而得点在以为圆心，为半径的圆上，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 又，所以， 以所在直线为轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 因为，则，设， 所以，整理得到， 所以点在以为圆心，为半径的圆上，故到距离的最大值为， 则三角形面积的最大值为. 二、多选题 9．（本题6分）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 【答案】AC 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆：，配方得，圆心坐标，半径. 选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确. 选项B：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误. 选项C：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确. 选项D：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误. 故选：AC. 10．（本题6分）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 【答案】BC 【分析】根据题意确定圆心及半径，根据两圆位置关系逐项判断即可. 【详解】易知圆的圆心为，半径， 将圆化为，可知圆心为，半径， 对于A，易知，可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误； 对于B，易知的最小值为，最大值为， 所以｜PQ｜的取值范围为，故B正确； 对于C，显然两圆圆心都在直线上， 因此直线为两圆对称轴，故C正确； 对于D，由选项A可知两圆外离，即不存在公共弦，故D错误. 11．（本题6分）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆可知C正确；将转化为曲线上的点到直线的距离的倍，结合图形可求得D正确. 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 可作出曲线的图象如下图所示（含坐标原点）， 对于A，由图象可知：曲线关于轴，直线，对称，A错误； 对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为， 曲线所围成的图形面积为，B正确； 对于C，曲线内切于圆，且切点在上，如下图所示， 则的最大值即为圆的直径，，C正确； 对于D，， 的几何意义为曲线上的点到直线的距离的倍； 曲线上的点到直线的距离的最小值为， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【答案】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 13．（本题5分）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【分析】由两圆有3条公切线，确定两圆外切，再由圆心距等于半径之和，列出等式求解即可. 【详解】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 故答案为：6 14．（本题5分）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】 【分析】设，则，且，结合两点间距离，代入整理可得， 结合单调性，可求得的最大值和最小值，加和即可. 【详解】设，因为点在圆上运动， 所以，且， 又点，，， 所以 ， 令，函数为减函数，又， 所以当时，取最大值， 当时，取最小值. 所以取的最大值与最小值之和为. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 16．（本题15分）已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1)相交，截得的弦长为2. (2)或. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解； （2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解. 【详解】（1）由圆可得，圆心,半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相交， 直线被圆截得的弦长为. （2）若过点的直线斜率不出在，则方程为， 此时圆心到直线的距离为，满足题意； 若过点且与圆相切的直线斜率存在， 则设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以切线方程为，即， 综上，过点且与圆相切的直线方程为或. 17．（本题15分）已知关于，的方程. (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆与直线：相交于，两点，且，求的值； (3)若，求过点且与相切的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）借助圆的一般方程表示圆需要满足的条件计算即可得； （2）得到圆心和半径后，结合点到直线的距离以及垂径定理计算即可得； （3）利用切线定义，分直线斜率不存在与直线斜率存在进行讨论即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 即时，方程表示圆； （2），且， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得； （3）当时，，，， 若直线斜率不存在，则直线为， 此时圆心到的距离为，与半径相等，符合； 若直线斜率存在，设为，即， 则有，化简得，即， 即切线方程为； 综上所述：切线方程或. 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 【答案】(1)A是失败点 (2)（米2）； (3) 【分析】（1）直接根据失败点的概念即可判断； （2）建立直角坐标系，求出点的轨迹为圆，进而得面积； （3）根据临界位置为当线段FP与（2）中圆相切时，即可得结果. 【详解】（1）由于，，即机器人和电子狗同时到达点A， 故A是失败点 （2）建立以A点为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴的直角坐标系，如图，， 设机器人的速度为v，则电子狗的速度为2v，电子狗失败的区域内任意点， 可得，即，， 即失败点组成的区域为以为圆心，2为半径的半圆及其内部， 所以电子狗失败的区域面积（米2） （3）当线段FP与（2）中圆相切时，即，所以， 因为电子狗在线段FP上都能逃脱时，所以 又因为，所以的取值范围是． 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)或. (3) 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 圆与方程（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 3．（本题5分）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D．-1 4．（本题5分）若直线：（）与圆：相切，则（   ） A．9 B．9或 C． D．1 5．（本题5分）以点为圆心的圆截直线所得弦长为，则该圆的半径为（   ） A．2 B． C．4 D． 6．（本题5分）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 8．（本题5分）已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 10．（本题6分）点在圆上，点在圆上，则（    ） A．两个圆的公切线有2条 B．的取值范围为 C．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在对应圆上 D．到两个圆的公共弦所在直线的距离为 11．（本题6分）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 13．（本题5分）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 14．（本题5分）已知，，三点，点在圆上运动，则的最大值与最小值之和为________. 四、解答题 15．（本题13分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 16．（本题15分）已知直线和圆． (1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 17．（本题15分）已知关于，的方程. (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆与直线：相交于，两点，且，求的值； (3)若，求过点且与相切的直线方程. 18．（本题17分）在某地举办的智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD（如图），AB的长为9米，AD的长为18米．在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米的E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点（电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点），那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点． (1)判断点A是否为失败点（不用说明理由）； (2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积S； (3)若P为矩形场地AD边上的一动点，当电子狗在线段FP上都能逃脱时，求的取值范围． 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $