第2章 圆锥曲线（单元测试·基础卷）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．抛物线的准线方程 ． 【答案】 【详解】由抛物线标准方程可得：准线方程为， 故答案为： 2．双曲线的渐近线方程为 【答案】 【详解】 故答案为：. 3．椭圆的短轴长为 . 【答案】4 【详解】化成标准方程为，所以则短轴长为4. 故答案为：4. 4．设圆方程为，则圆的面积为 ． 【答案】 【详解】因为圆方程为，即， 可知圆的半径，所以圆的面积为. 故答案为；. 5．若方程表示圆，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】方程，即， 因为方程表示圆， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为： 6．已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设双曲线的方程为，将代入方程得， 又一条渐近线方程为，而渐近线方程为，即， 联立可得，故双曲线标准方程为. 故答案为： 7．设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则 ． 【答案】4 【详解】由题意得，故，解得， 设，，则， 由双曲线定义可知， 即. 故答案为：4 8．直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 【答案】9 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 9．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    【答案】 【详解】   以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 故答案为： 10．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 【答案】 【详解】因为是边长为1的等边三角形， 则， 所以， 又， 所以， 则 故答案为： 11．已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为 . 【答案】 【详解】 由椭圆方程为，得， 因为点在椭圆上，所以，， 所以的周长为， 故答案为：. 12．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由条件可知，，，即， 双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即， 此时渐近线与直线的距离， ，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为， 左顶点到直线的距离， 左顶点与点构成的三角形的面积为， 点是第二象限的点，所以面积的取值范围为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由题知，抛物线的焦点为， 代入得，解得. 故选：B 14．已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【详解】由已知圆心，半径， 圆心，半径， 则， 所以两圆相内切， 故选：D. 15．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 16．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】C 【详解】由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图， 当点在曲线上是以为圆心以为半径的圆， 当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图， 取，则，所以四边形是平行四边形，所以， 所以点的轨迹是以为圆心以2为半径的圆弧， 此时点的轨迹方程为； 当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图， 此时点的轨迹方程为， 所以点的轨迹方程为，故①错误； 记，如图， 结合图形，则， 又，所以， 左侧等号当且仅当依次共线时取到， 右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 【详解】（1）由可得， 故且，故，故直线恒过定点， 的圆心为，半径为， 则关于对称的点为， 故圆关于点对称的圆的方程为，……（8分） （2）要使存在实数，使得直线与圆相离，则定点在圆外， 且，解得……（14分） 18．（14分）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； (2)设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 【详解】（1）因为双曲线， 故右顶点的坐标为， 其渐近线方程为， 则点到渐近线的距离为， 即所求圆的半径为， 则所求圆的标准方程为……（7分） （2）依题可知直线的斜率为， 又的坐标为， 所以直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为……（14分） 19．（14分）某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形，其中为2百米，为4百米，，为半椭圆上异于、的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系. (1)求出半椭圆弧的方程； (2)若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置处，为运土点，以、为出口，要使运土最省工，工程部需要制定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程. 【详解】（1）在直角三角形PAB中，，， 由勾股定理得：． 设椭圆方程为． 由题意得，解得，． 故半椭圆弧的方程为；……（7分） （2）依题意，由为运土点，以、为出口，且挖出的土都运到指定位置处， 故点N到P的距离相等，即，即． 得，在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为， 则，解得，． 则分界线所在的曲线方程为.……（14分） 20．（18分）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为.……（4分） （2）设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关.   ……（11分） （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以.……（18分） 21．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 【详解】（1）设椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，焦距为， 由椭圆的方程，可得，可得， 所以，即右焦点的坐标为，离心率， 所以椭圆右焦点的坐标为，离心率.……（4分） （2）证明：当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为， 设联立， 整理可得：， 可得，， 所以的中点， 同理可得的坐标，即， 当，的横坐标不相等时，则， 所以的方程为， 整理可得 所以直线恒过定点. 当，的横坐标相等时，，即时，则轴， 且此时的方程为，显然也过， 当的斜率为时，直线的方程为， 当的斜率不存在时，直线的方程为， 可证得直线必过定点.……（12分） （3）由（2）可得直线必过的定点， 可得 ， 设，则， 在上单调递减，所以， 所以面积的最大值为.……（18分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 圆锥曲线·基础通关·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. 3. 4 4. 5. 6. 7. 4 8. 9 9. 10. 11. 8 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B D A C 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由可得， 故且，故，故直线恒过定点， 的圆心为，半径为， 则关于对称的点为， 故圆关于点对称的圆的方程为，……（8分） （2）要使存在实数，使得直线与圆相离，则定点在圆外， 且，解得……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）因为双曲线， 故右顶点的坐标为， 其渐近线方程为， 则点到渐近线的距离为， 即所求圆的半径为， 则所求圆的标准方程为……（7分） （2）依题可知直线的斜率为， 又的坐标为， 所以直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）在直角三角形PAB中，，， 由勾股定理得：． 设椭圆方程为． 由题意得，解得，． 故半椭圆弧的方程为；……（7分） （2）依题意，由为运土点，以、为出口，且挖出的土都运到指定位置处， 故点N到P的距离相等，即，即． 得，在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为， 则，解得，． 则分界线所在的曲线方程为.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）由抛物线的准线方程为，得，解得， 所以抛物线的方程为.……（4分） （2）设直线：，点， 由消去得，则， 因此，为常数， 所以的值与直线的倾斜角的大小无关.   ……（11分） （3）设，则，，， 令，函数图象的对称轴为直线， 当，即时，，则； 当，即时，，则， 所以.……（18分） 21．（18分） 【详解】（1）设椭圆的长半轴的长为，短半轴的长为，焦距为， 由椭圆的方程，可得，可得， 所以，即右焦点的坐标为，离心率， 所以椭圆右焦点的坐标为，离心率.……（4分） （2）证明：当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为， 设联立， 整理可得：， 可得，， 所以的中点， 同理可得的坐标，即， 当，的横坐标不相等时，则， 所以的方程为， 整理可得 所以直线恒过定点. 当，的横坐标相等时，，即时，则轴， 且此时的方程为，显然也过， 当的斜率为时，直线的方程为， 当的斜率不存在时，直线的方程为， 可证得直线必过定点.……（12分） （3）由（2）可得直线必过的定点， 可得 ， 设，则， 在上单调递减，所以， 所以面积的最大值为.……（18分） 8分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．抛物线的准线方程 ． 2．双曲线的渐近线方程为 3．椭圆的短轴长为 . 4．设圆方程为，则圆的面积为 ． 5．若方程表示圆，则实数的取值范围是 6．已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 7．设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则 ． 8．直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 9．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    10．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 11．已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为 . 12．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 14．已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 15．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 16．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 18．（14分）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； (2)设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 19．（14分）某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形，其中为2百米，为4百米，，为半椭圆上异于、的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系. (1)求出半椭圆弧的方程； (2)若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置处，为运土点，以、为出口，要使运土最省工，工程部需要制定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程. 20．（18分）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 21．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第2章 圆锥曲线·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．抛物线的准线方程 ． 2．双曲线的渐近线方程为 3．椭圆的短轴长为 . 4．设圆方程为，则圆的面积为 ． 5．若方程表示圆，则实数的取值范围是 6．已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 7．设为双曲线的左、右焦点，且的离心率为，若点在的左支上，直线与的左支相交于另一点，且，则 ． 8．直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为 . 9．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    10．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 11．已知直线经过椭圆的右焦点，并与椭圆交于两点，其左焦点为，则的周长为 . 12．已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．若抛物线的焦点在直线上，则p等于（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 14．已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 15．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 16．在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点最近的点为点，此最近距离为.当点在曲线.上运动时，有如下两个命题：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是，则（    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知圆，直线． (1)无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程； (2)若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围． 18．（14分）已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. (1)求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程； (2)设直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.求直线被（1）中圆截得的弦长. 19．（14分）某经济开发区规划要修建一地下停车场，停车场横截面是如图所示半椭圆形，其中为2百米，为4百米，，为半椭圆上异于、的一动点，且面积最大值为平方百米，如图建系. (1)求出半椭圆弧的方程； (2)若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置处，为运土点，以、为出口，要使运土最省工，工程部需要制定一条分界线，请求出分界线所在的曲线方程. 20．（18分）已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于两点，为坐标原点. (1)求抛物线的方程； (2)当时，求证：的值与直线的倾斜角的大小无关； (3)若为抛物线上的动点，记的最小值为，求函数的解析式. 21．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，过右焦点F作两条相互垂直的弦，设中点分别为． (1)写出椭圆右焦点F的坐标及该椭圆的离心率； (2)证明：直线MN必过定点，并求出定点坐标； (3)若弦的斜率均存在，求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $