高中数学单元测试——第1章直线与方程（较难版01）

**基本信息** 高中数学直线与方程单元较难版测试卷，覆盖倾斜角、平行垂直等核心知识，通过基础判断、新定义应用及综合最值问题，考查数学思维与运算能力，适配单元复习能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|倾斜角、平行垂直判断|基础巩固，如第1题考倾斜角，第3题考平行条件| |多选题|2/12|直线方程表示、新定义有向距离|能力辨析，如第8题结合新定义考查逻辑推理| |填空题|2/10|中点坐标、周长最值|模型应用，第10题动点最值体现空间观念| |解答题|3/48|三角形面积、直线距离、截距与面积最值|综合探究，第13题三问递进考查运算与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第1章 直线与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线的方程为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 4．（本题5分）直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 二、多选题 7．（本题6分）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 8．（本题6分）（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线平行 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 三、填空题 9．（本题5分）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 10．（本题5分）已知定点，动点和点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________. 四、解答题 11．（本题14分）已知的三个顶点分别是，，. (1)若斜率为的直线经过点且与直线交于点，求点的坐标. (2)求的面积. 12．（本题16分）已知三条直线：，：，：，若与的距离是. (1)求的值. (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件： ①是第一象限的点；②点到的距离等于点到的距离；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求出点坐标；若不能，说明理由. 13．（本题18分）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第1章 直线与方程（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线的方程为，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方程得出斜率，根据斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】因为直线的方程为，故直线的斜率为， 设的倾斜角为，则，又，即. 故选：A. 2．（本题5分）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【详解】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 3．（本题5分）已知直线和平行，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据直线平行列方程，由此求得的值. 【详解】由于两直线平行， 所以， 解得. 故选：A 4．（本题5分）直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：B 5．（本题5分）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线的方程整理为，显然直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】由直线的方程为，变形得， 显然直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 6．（本题5分）已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】求出关于直线的对称点坐标，易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为． 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，    即．设关于直线对称的点为，则得，即． 易得，当A，，三点共线时，取到最小值，且最小值为． 故选：A． 二、多选题 7．（本题6分）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 8．（本题6分）（多选）定义点到直线的有向距离为.已知点，到直线的有向距离分别是，，给出以下命题，其中是假命题的是（    ） A．若，则直线与直线平行 B．若，则直线与直线平行 C．若，则直线与直线垂直 D．若，则直线与直线相交 【答案】ABC 【分析】由题意，利用，此时，都在直线上，可判断A，B，C为假命题； 当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，可判断D 【详解】设点，的坐标分别为，，则，.若，则，即，所以 . 若，即，则，都在直线上，此时直线与直线重合，故选项，，均为假命题. 当时，，在直线的两侧，则直线与直线相交，故选项D为真命题. 故选：ABC 三、填空题 9．（本题5分）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 10．（本题5分）已知定点，动点和点分别在直线和上运动，则的周长取最小值时点的坐标为__________. 【答案】 【分析】作定点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接与相交于点，与轴相交于点，此时的周长取最小值，联立方程求出交点即可 【详解】如图所示：作定点关于直线的对称点，关于轴的对称点， 连接与相交于点，与轴相交于点， 此时的周长取最小值，且最小值为 ． 且点的坐标满足，解得 ，即点 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）已知的三个顶点分别是，，. (1)若斜率为的直线经过点且与直线交于点，求点的坐标. (2)求的面积. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）分别求直线、的方程，联立方程即可求交点坐标； （2）先求和点到直线的距离，进而可得面积. 【详解】（1）由题可知：直线经过，， 则直线的方程，即， 直线的方程为，即， 联立方程，解得， 所以点坐标为. （2）由题意可知：， 点到直线：的距离， 则， 所以的面积为7. 12．（本题16分）已知三条直线：，：，：，若与的距离是. (1)求的值. (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件： ①是第一象限的点；②点到的距离等于点到的距离；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求出点坐标；若不能，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由与间的距离是，我们代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值； （2）设，由点到直线的距离公式，我们可得到一个关于，的方程组，解方程组即可得到满足条件的点的坐标． 【详解】（1）， 与间的距离为， ，； （2）设点， 由条件②知，点在直线上， 且， ， ， 由条件③知，， ，即或， 因为点在第一象限，， 或， 解得（舍）， ， 所以存在点同时满足①②③. 13．（本题18分）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)面积的最小值是6，此时直线l的方程为 【分析】 （1）根据直线过原点、直线与不过原点两种情况进行分类讨论，由此求得直线的方程. （2）将直线方程化为斜截式，再结合不经过第二象限列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围. （3）根据两点的位置确定的坐标以及的取值范围，求得面积的表达式，结合的取值范围，结合基本不等式，求得面积的最小值与此时直线l的方程. 【详解】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $