高中数学单元测试——第一章直线与圆（较易版02）

**基本信息** 高中数学直线与圆单元复习卷，以基础巩固为主，梯度覆盖直线倾斜角、圆的方程等核心知识，通过公园监控等实际情境题培养数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|直线倾斜角、平行关系、点到直线距离|基础概念辨析，强化运算能力| |多选题|3题/18分|直线与圆位置关系、弦长计算|多选项设计，考查推理意识| |填空题|3题/15分|两直线距离、切线方程|简洁设问，巩固核心技能| |解答题|5题/77分|直线方程、圆的标准方程、轨迹问题|分层设计，含实际情境题，发展应用意识与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题5分）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 5．（本题5分）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 7．（本题5分）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 13．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 14．（本题5分）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 16．（本题15分）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 18．（本题17分）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 19．（本题17分）已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究： ①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由； ②求线段的中点的轨迹方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断直线的斜率，得到直线方程，再得出倾斜角. 【详解】由直线过，两点，可得不存在， 所以直线方程为，倾斜角为. 故选：C. 2．（本题5分）直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4．（本题5分）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 5．（本题5分）已知，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，可得定点坐标. 【详解】因为，所以， 由，可得，所以， 当时，所以对为任意实数均成立, 故直线过定点. 故选：A. 6．（本题5分）直线被圆截得的弦长为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由圆的方程写出圆心及半径，求圆心到直线的距离，然后由垂径定理求得弦长. 【详解】圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：B. 7．（本题5分）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 8．（本题5分）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）直线的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】将两直线的方程均化为斜截式，先固定，判断另外一条是否与之相符. 【详解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误； 对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确； 对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确； 对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误. 故选：BC. 10．（本题6分）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 【答案】AD 【分析】利用点到直线距离公式计算判断直线与圆的位置关系判断A，B，结合圆心能否在直线上判断C，应用几何法求弦长判断D选项． 【详解】直线l过定点，圆C：，所以圆心为，半径为 对于A，若，则圆心到直线的距离，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离，解得或，故B错误； 对于C，将到代入l的方程，得不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C 错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：AD. 11．（本题6分）已知，圆，则以下选项正确的有（    ） A．圆C上到B的距离为2的点有两个 B．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则的最小值为 C．若过A的直线被圆C所截得的弦为，则弦的中点的轨迹方程是 D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】A由定点到圆心距离及圆的半径判断；B首先判断在圆内，再根据所截弦长最短知直线与垂直，写出直线方程，进而求最小弦长；C由题意的轨迹是以为直径的圆，即可得圆的方程；D根据切线性质判断、和两个切点所成的四边形为正方形，进而可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，最后求定点到圆上点的最小值即可. 【详解】由题设，圆心为且半径，则，故， 所以圆C上到B的距离为2的点有一个，A错误； 由，即在圆内，故过A的直线被圆C所截得的弦长最小，只需直线与垂直，故直线为，此时，B正确； 若过A的直线被圆C所截得的弦的中点为，则， 故的轨迹是以为直径的圆，所以轨迹方程为，C正确； 若D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，结合切线的性质知：、和两个切点所成的四边形为正方形， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即，而， 故该圆上点到的最小值为，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 13．（本题5分）过点作圆的切线，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 14．（本题5分）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知直线过点且与直线：垂直． (1)求直线的方程； (2)若直线l经过，且过直线与的交点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知设出的方程为，代入点的坐标，求出的值，即可得出答案； （2）联立直线与的方程，求解方程组得出交点坐标，然后即可根据两点式方程，求出答案. 【详解】（1）由已知可设直线的方程为. 又直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. （2）联立直线与的方程， 可得， 所以，直线与的交点. 又直线l经过， 代入直线的两点式方程可得，， 整理可得. 16．（本题15分）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）略 （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 18．（本题17分）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】(1)游客不在该摄像头监控范围内 (2)观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【详解】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 19．（本题17分）已知圆，线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，且点满足线段，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点斜率为的直线与曲线交于，两点，试探究： ①设为坐标原点，若，这样的直线是否存在，若存在求出；若不存在说明理由； ②求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)①直线不存在，理由见解析；② 【分析】（1）运用相关点代入法求解轨迹方程即可； （2）根据向量等式，求解直线的斜率k,结合联立方程组法确定k的取值范围，进而确定直线是否存在；根据中点坐标公式，再运用参数法求解点 D的轨迹方程. 【详解】（1）设，则， 设，，， 即. （2）①设存在满足条件的直线l，设直线l方程为， 则 设，直线与圆交于两点，则， 由韦达定理得：， ，则 即，与不符，所以满足条件的直线不存在； ②MN中点坐标为： ，设MN中点D为 则，即 所以中点的轨迹方程为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $