2.1.2 有理数的减法（课时1） 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦有理数减法法则，通过北京冬季气温温差情境导入，衔接有理数加法知识，借助温度计直观理解温差计算，搭建从加法到减法的学习支架，引导学生探究减数为负数的新运算。 资料特色以数学抽象和逻辑推理为核心，从温差情境归纳法则，通过对比算式、换数验证（如0-(-3)=0+(+3)）推导规律，“两变一不变”口诀强化转化运算，例题分层覆盖整数、小数、分数及应用题，助力学生提升运算能力与建模意识，为教师提供清晰教学路径与重难点突破策略。

2.1.2 有理数的减法（课时1） 课题 2.1.2 有理数的减法（课时1） 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标：1. 数学抽象：通过温度差等具体情境，归纳有理数减法法则，体会从特殊到一般的数学思想 2. 逻辑推理：通过减法与加法的对比分析，推导有理数减法转化为加法的运算规律 3. 数学运算：能运用减法法则准确进行有理数减法运算，掌握"两变一不变"的转化方法 4. 数学建模：用有理数减法解决生活中的实际问题，如温差计算、高度差等 教学重难点：重点：有理数减法法则的理解与运用 难点：理解减法转化为加法的算理，准确进行"两变一不变"的转化 突破策略：通过具体算式的对比验证，让学生经历从特殊到一般的归纳过程；通过"两变一不变"口诀强化转化步骤，配合例题和分层练习巩固法则 一、情境导入 【过渡语】同学们，在上一节课中我们学习了有理数的加法。在实际问题中，我们还经常遇到有理数的减法。让我们先来看一个生活中的例子。 北京冬季气温情境 同学们请看屏幕上的情境：北京冬季某一天的气温为 −3~3°C。也就是说，这一天北京的最低气温是 −3°C，最高气温是 3°C。 请同学们思考：这一天北京的温差是多少？也就是说，最高气温比最低气温高多少摄氏度？ 学生活动：同桌之间互相讨论，尝试用自己的语言描述"温差"的含义，并思考如何用算式来表示温差的计算。 教师引导：温差就是最高气温减去最低气温。从温度计上可以直观地看出，3°C 比 −3°C 高了 6°C。 教师追问：那么我们怎样用算式来表示这个温差呢？学生回答：用最高气温减去最低气温，即 3 减去 −3。 教师板书：这一天北京的温差为 3 即 3 − (−3)。从温度计上可以看出，温差是 6°C，所以 3 − (−3) = 6。 学生活动：观察这个算式，发现其中出现了"3 减去 −3"这样的运算，减数是一个负数，这是小学没有学过的内容。 【过渡语】在小学，我们学过正数及 0 的减法运算。引入负数后，在有理数范围内怎样进行减法运算呢？这就是我们今天要研究的内容——有理数的减法。 【知识点】有理数减法的实际意义：有理数减法可以用来表示生活中两个具有相反意义的量的差值，如温差、高度差、收支差等。当减数是负数时，减法运算需要新的法则来指导。 设计意图：通过北京冬季温差的实际情境引入，让学生感受到学习有理数减法的必要性。温度计的直观形象帮助学生理解"3 比 −3 高 6"，为后续探究减法法则做好铺垫。学生通过讨论温差的计算方法，初步感知减法运算的实际意义。 二、探究新知 【过渡语】在小学，我们学习减法时，知道减法是加法的逆运算。在把减法推广到有理数范围内时，为使减法运算具有一致性，规定有理数的减法与加法之间仍然具有上述关系。 教师回顾：在小学，我们知道减法是加法的逆运算。例如，因为 3 + 4 = 7，所以 7 − 4 = 3。同样地，有理数的减法也与加法有这种逆运算关系。 教师进一步说明：刚才我们通过温度计知道 3 − (−3) = 6，也就是说 3 比 −3 高 6。而我们也知道 3 + (+3) = 6，即 3 加上 3 等于 6。 1. 探究一：从温差算式发现规律 教师引导：我们来看刚才的温差算式。一方面，从温度计可以知道 3 − (−3) = 6。另一方面，根据有理数加法法则，3 + (+3) = 6。 教师追问：请同学们观察这两个算式，它们的得数都是 6，那么 3 − (−3) 和 3 + (+3) 之间有什么关系？ 学生思考后回答：因为 3 − (−3) = 6，3 + (+3) = 6，两个算式的结果相同，所以 3 − (−3) = 3 + (+3)。 教师追问：说一说，从上面的式子能看出减去 −3 相当于加上哪个数吗？ 学生回答：减去 −3 相当于加上 +3，也就是加上 −3 的相反数。 教师强调：这是一个非常重要的发现！减去一个负数（−3），等于加上这个负数的相反数（+3）。那么这个规律是否适用于所有有理数呢？我们继续探究。 【知识点】减法与加法的关系：通过具体算式 3 − (−3) = 6 和 3 + (+3) = 6，可以发现 3 − (−3) = 3 + (+3)。这说明"减去 −3"相当于"加上 −3 的相反数 +3"。 重点强调 关键发现：3 (−3) = 3 + (+3)，即减去 −3 等于加上 −3 的相反数 +3。这里的转化包含两个变化：运算符号""变成了"+"，减数 −3 变成了它的相反数 +3。 设计意图：通过温差算式和加法算式的对比，引导学生发现"减去一个数等于加上这个数的相反数"这一规律。从具体到抽象，为后续的归纳验证奠定基础。 2. 探究二：换数验证 【过渡语】刚才我们发现 3 − (−3) = 3 + (+3)。这个规律是否具有普遍性呢？让我们换几个数来验证。 教师引导：把 3 分别换成 0、−1、−5，用上面的方法来考虑 0 − (−3)、(−1) − (−3)、(−5) − (−3)。看看这些数减 −3 的结果与它们加 +3 的结果是否相同。 请同学们分组计算，每组负责一个数的验证。完成后汇报你们的发现。 学生活动：分组计算，在练习本上完成验证过程。 验证1：0 − (−3) 与 0 + (+3) 第一组汇报：0 − (−3) 表示 0 比 −3 大多少。从数轴上看，0 在 −3 的右侧，相距 3 个单位长度，所以 0 − (−3) = 3。而 0 + (+3) = 3。两个结果相同。 因此，0 − (−3) = 0 + (+3)，即减去 −3 等于加上 +3。 验证2：(−1) − (−3) 与 (−1) + (+3) 第二组汇报：(−1) − (−3) 表示 −1 比 −3 大多少。从数轴上看，−1 在 −3 的右侧，相距 2 个单位长度，所以 (−1) − (−3) = 2。而 (−1) + (+3) = 2。两个结果相同。 因此，(−1) − (−3) = (−1) + (+3)，即减去 −3 等于加上 +3。 验证3：(−5) − (−3) 与 (−5) + (+3) 第三组汇报：(−5) − (−3) 表示 −5 比 −3 大多少。从数轴上看，−5 在 −3 的左侧，相距 2 个单位长度，但 −5 比 −3 小，所以 (−5) − (−3) = −2。而 (−5) + (+3) = −2。两个结果相同。 因此，(−5) − (−3) = (−5) + (+3)，即减去 −3 等于加上 +3。 教师引导总结：通过以上三组验证，我们发现无论是 0、正数还是负数，减去 −3 的结果都等于加上 +3（即 −3 的相反数）。这说明"减去一个数等于加上这个数的相反数"这一规律具有普遍性。 【知识点】换数验证的结论：把 3 分别换成 0、−1、−5 后，0 − (−3) = 0 + (+3)、(−1) − (−3) = (−1) + (+3)、(−5) − (−3) = (−5) + (+3) 均成立。这进一步验证了"减去一个数等于加上这个数的相反数"的普遍性。 算理讲解 为什么减去一个数等于加上这个数的相反数？因为减法是加法的逆运算。a b = c 意味着 c + b = a，而 c = a + (−b) 也满足 c + b = a + (−b) + b = a + 0 = a。所以 a b = a + (−b) 成立。 设计意图：通过换数验证，让学生经历从特殊到一般的归纳过程。分组活动培养学生的合作意识和探究能力。三组验证从不同角度（0、负数更小、负数更大）全面验证了规律的普遍性。 3. 探究三：减法转化为加法 【过渡语】前面我们验证了"减去一个负数等于加上这个负数的相反数"。那么"减去一个正数"是否也等于"加上这个正数的相反数"呢？让我们继续探究。 教师引导：请同学们计算 9 − 8、9 + (−8)、15 − 7、15 + (−7)，看看能有什么新发现。 学生计算：9 − 8 = 1，9 + (−8) = 1（异号相加，|9| > |−8|，取正号，9 − 8 = 1）。 因此，9 − 8 = 9 + (−8)，即减去 8 等于加上 8 的相反数 −8。 学生计算：15 − 7 = 8，15 + (−7) = 8（异号相加，|15| > |−7|，取正号，15 − 7 = 8）。 因此，15 − 7 = 15 + (−7)，即减去 7 等于加上 7 的相反数 −7。 教师追问：从以上算式中，你们能发现什么规律？请用自己的语言来描述。 学生回答：无论是减去正数还是减去负数，减去一个数都等于加上这个数的相反数。 教师追问：观察 9 − 8 = 9 + (−8)，这个转化过程中什么变了？什么没变？ 学生回答：运算符号"−"变成了"+"，减数 8 变成了它的相反数 −8，而被减数 9 没有变。 可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行。 【知识点】减法转化为加法：有理数的减法可以转化为加法来进行。转化的关键是"两变一不变"——运算符号"−"变成"+"，减数变成它的相反数，被减数不变。 概念辨析 减法转加法的"两变一不变"： ① 两变：运算符号""变成"+"，减数变成它的相反数； ② 一不变：被减数不变。 例如：9 8 → 9 + (−8)，""变"+"，8 变 −8，9 不变。 设计意图：通过正数减正数的验证，进一步完善"减去一个数等于加上这个数的相反数"的普遍性。引导学生观察"两变一不变"的转化过程，为法则的归纳做好准备。 4. 有理数减法法则 【过渡语】通过以上三个探究，我们可以归纳出有理数的减法法则。 教师引导学生回顾三个探究的结论，将它们整理成系统的法则。学生分组讨论，用自己的语言表述减法法则，然后与课本上的法则进行对比。 学生代表发言：通过探究我们发现，减去一个数等于加上这个数的相反数。无论减数是正数、负数还是 0，这个规律都成立。 教师板书法则并讲解：有理数减法法则——减去一个数，等于加这个数的相反数。 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数。 也就是说：a − b = a + (−b)。 两个有理数相减，差是一个有理数。 教师强调：减法法则用字母表示为 a − b = a + (−b)。这里 a 是被减数，b 是减数，−b 是减数的相反数。这个公式适用于所有有理数。 教师追问：法则中"加这个数的相反数"具体包含哪些操作？学生回答：就是把减号变成加号，同时把减数变成它的相反数，被减数保持不变。 【知识点】有理数减法法则的文字表述与符号表述：文字表述为"减去一个数，等于加这个数的相反数"；符号表述为 a − b = a + (−b)。两者含义完全一致，符号表述更加简洁。 教师进一步说明：显然，两个有理数相减，差是一个有理数。这意味着有理数集合对减法运算是封闭的（在减数不为 0 时差仍为有理数，减数为 0 时差为被减数本身，也是有理数）。 思考：按照有理数减法法则进行正数及 0 的减法运算，它和小学学过的正数及 0 的减法运算一致吗？ 学生回答：一致。例如 9 − 8 = 9 + (−8) = 1，结果与小学学过的 9 − 8 = 1 相同。这说明有理数减法法则包含了小学学过的减法，是减法法则在有理数范围内的推广。 设计意图：系统归纳减法法则，通过文字表述和符号表述两个维度帮助学生理解法则。通过与小学减法的对比，让学生认识到有理数减法是小学减法的推广，建立知识间的联系。 5. 有理数减法的运算步骤 【过渡语】知道了减法法则，我们在实际计算时应该按照怎样的步骤来进行呢？ 教师讲解：根据有理数减法法则，有理数减法的运算步骤分为两步： 第一步：根据有理数减法法则，把减号变为加号，把减数变为它的相反数。也就是完成"两变"——减号变加号，减数变相反数。 第二步：运用有理数加法法则进行计算。转化为加法后，按照上节课学过的加法法则来确定和的符号和绝对值。 教师强调：减法转化为加法，简记为"两变一不变"。"两变"是指运算符号"−"需要变成"+"，减数需要变成它的相反数；"一不变"是指被减数不变。 【知识点】有理数减法的运算步骤：（1）根据有理数减法法则，把减号变为加号，把减数变为它的相反数（"两变一不变"）；（2）运用有理数加法法则进行计算。 解题技巧 减法运算"两变一不变"口诀： 两变：减号变加号，减数变相反数； 一不变：被减数不变。 操作示例：(−3) (−5) → (−3) + (+5)，减号""变成了"+"，减数 −5 变成了 +5，被减数 −3 不变。然后按加法法则计算：(−3) + (+5) = 2。 教师示范：以 0 − 7 为例演示两步法。第一步"转化"：0 − 7 = 0 + (−7)（减号变加号，7 变 −7，0 不变）。第二步"计算"：0 + (−7) = −7（一个数与 0 相加仍得这个数，但这里 0 加 −7 等于 −7）。 学生活动：请两位同学到黑板上演示 (−3) − (−5) 和 7 − (−4) 的转化和计算过程，其余同学在练习本上完成。 教师点评：第一位同学：(−3) − (−5) = (−3) + (+5)，减号变加号，−5 变 +5。然后 (−3) + (+5)，异号相加，|+5| > |−3|，取正号，5 − 3 = 2，结果为 2。正确！ 教师点评：第二位同学：7 − (−4) = 7 + (+4)，减号变加号，−4 变 +4。然后 7 + (+4)，同号相加，取正号，7 + 4 = 11，结果为 11。正确！ 教师追问：在转化的过程中，最容易出错的地方是什么？学生回答：最容易忘记把减数变成相反数，只改了运算符号却忘了改变减数。或者相反，改了减数却忘了改运算符号。 教师强调：所以"两变"必须同时进行，不能只变一个。建议同学们在转化时，先写被减数（不变），再把减号改成加号（第一变），最后把减数改成相反数（第二变），这样不容易遗漏。 设计意图：通过"两变一不变"口诀帮助学生掌握减法转化为加法的操作方法。教师示范和学生上台演示相结合，强化运算技能。教师追问帮助学生识别易错点，提升运算准确性。 6. 两数相减，差的符号 【过渡语】学完减法法则后，我们来思考一个问题：两数相减，差的符号有什么规律？ 教师引导：请同学们思考，当被减数大于减数时，差是正数还是负数？当被减数小于减数时呢？ 学生活动：举例验证。例如 5 − 3 = 2（正数），3 − 5 = −2（负数），(−3) − (−5) = 2（正数），(−5) − (−3) = −2（负数）。 学生回答：当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数；当被减数等于减数时，差为 0。 教师进一步说明：这与小学学过的结论一致——大数减小数得正数，小数减大数得负数。在有理数范围内，"大"和"小"需要考虑正负性。例如 −3 比 −5 大，所以 (−3) − (−5) = 2 为正数。 【知识点】两数相减差的符号规律：当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数；当被减数等于减数时，差为 0。即 a − b > 0 等价于 a > b，a − b < 0 等价于 a < b，a − b = 0 等价于 a = b。 知识拓展 差的符号与大小关系：a b 的符号反映了 a 与 b 的大小关系。 若 a > b，则 a b > 0（差为正）； 若 a < b，则 a b < 0（差为负）； 若 a = b，则 a b = 0（差为零）。 这一性质是后续比较两个有理数大小的重要方法——作差比较法。 教师补充：利用这个性质，我们可以通过作差来比较两个有理数的大小。例如，比较 −3 和 −5 的大小：因为 (−3) − (−5) = (−3) + (+5) = 2 > 0，所以 −3 > −5。这种方法叫做"作差比较法"，在今后的学习中会经常使用。 设计意图：将减法运算与大小比较联系起来，培养学生的数感和逻辑推理能力。通过作差比较法的学习，为后续比较有理数大小提供工具，拓展学生的数学视野。 三、例题精讲 例1 计算： （1） （2） （3） （4） 审题分析 本题考查有理数减法法则的直接应用。需要先将每道减法算式转化为加法算式（"两变一不变"），再按照加法法则进行计算。 解题关键：准确完成"两变"——减号变加号，减数变相反数。特别注意（1）中减数是负数 −5，变相反数为 +5；（2）中减数是负数 −4，变相反数为 +4；（3）中减数是正数 7，变相反数为 −7；（4）中减数是负数 −7，变相反数为 +7。 解题过程 解：（1）(−3) − (−5) = (−3) + (+5) = 2。减号变加号，−5 变 +5。异号相加，|+5| > |−3|，取正号，5 − 3 = 2。 （2）7 − (−4) = 7 + (+4) = 11。减号变加号，−4 变 +4。同号相加，取正号，7 + 4 = 11。 （3）0 − 7 = 0 + (−7) = −7。减号变加号，7 变 −7。0 加任何数仍得该数，结果为 −7。 （4）7 − (−7) = 7 + (+7) = 14。减号变加号，−7 变 +7。同号相加，取正号，7 + 7 = 14。 方法总结 解题技巧 有理数减法运算的关键步骤： ① 第一步"转化"：把减号变成加号，把减数变成它的相反数（"两变一不变"）； ② 第二步"计算"：按照有理数加法法则确定和的符号与绝对值。 注意：减数为负数时，变相反数为正数；减数为正数时，变相反数为负数。 教师强调：在计算过程中，建议同学们先写出转化后的加法算式，再进行计算。特别是当减数是负数时，变相反数后变成正数，不要弄混。 变式训练 计算：（1） （2） （3） （4） 学生独立完成变式训练后，教师请学生汇报答案并说明解题思路。 （1）6 − 9 = 6 + (−9) = −3。减号变加号，9 变 −9。异号相加，|−9| > |6|，取负号，9 − 6 = 3，结果为 −3。 （2）(−4) − (−7) = (−4) + (+7) = 3。减号变加号，−7 变 +7。异号相加，|+7| > |−4|，取正号，7 − 4 = 3。 （3）(−10) − (−6) = (−10) + (+6) = −4。减号变加号，−6 变 +6。异号相加，|−10| > |+6|，取负号，10 − 6 = 4，结果为 −4。 （4）0 − (−12) = 0 + (+12) = 12。减号变加号，−12 变 +12。0 加正数等于该正数。 例2 计算（涉及小数）： （1） （2） 审题分析 本题考查含小数的有理数减法。同样需要先将减法转化为加法，再按加法法则计算。注意小数的加减运算要仔细。 解题过程 解：（1）(−0.5) − (−2.5) = (−0.5) + (+2.5) = 2。减号变加号，−2.5 变 +2.5。异号相加，|+2.5| > |−0.5|，取正号，2.5 − 0.5 = 2。 （2）3.5 − (−1.5) = 3.5 + (+1.5) = 5。减号变加号，−1.5 变 +1.5。同号相加，取正号，3.5 + 1.5 = 5。 方法总结 解题技巧 含小数的有理数减法与整数减法的步骤完全相同：先转化（两变一不变），再按加法法则计算。小数加减时注意小数点对齐，仔细计算。 例3 计算（涉及分数）： 计算：(−1又) − (−2又) 审题分析 本题考查含分数的有理数减法。先将减法转化为加法，再按加法法则计算。涉及带分数的运算，需要先将带分数化为假分数，再通分计算。 解题过程 解：(−1又) − (−2又) = (−1又) + (+2又)。减号变加号，−2又 变 +2又。 将带分数化为假分数：−1又 = −，+2又 = +。 通分：− = −，所以 − + = 。 结果为 ，即 1又。 方法总结 解题技巧 含分数的减法运算步骤：① 转化为加法（两变一不变）；② 将带分数化为假分数；③ 通分；④ 按加法法则计算。注意结果的符号和约分。 例4 应用题 某地一天早晨的气温是 −7°C，中午比早晨高了 10°C，求中午的气温。 审题分析 本题考查有理数减法在实际问题中的应用。中午比早晨高 10°C，意味着中午气温 = 早晨气温 + 10。也可以理解为温差 = 中午气温 − 早晨气温 = 10，所以中午气温 = 早晨气温 + 10。 解题过程 解：根据题意，中午的气温为： (−7) + 10 = 3 所以中午的气温为 3°C。 验证：(−7) − 3 = (−7) + (−3) = −10，即早晨气温比中午低 10°C，与题意一致。 方法总结 解题技巧 解决实际问题时，先将实际问题转化为有理数运算（确定正负），再按照减法或加法法则进行计算。注意"高了多少"意味着做减法（求差），"变成了多少"意味着做加法。 设计意图：通过分层例题精讲，让学生掌握有理数减法的基本运算方法（整数、小数、分数），并通过应用题培养数学建模素养。每道例题按"审题分析→解题过程→方法总结→变式训练"展开，结构清晰，便于学生理解和模仿。 课堂小结 1. 知识回顾 本节课通过北京冬季温差的情境引入，探究了有理数减法法则。我们经历了从具体算式（3 − (−3) = 3 + (+3)）到换数验证（0、−1、−5），再到正数减正数验证（9 − 8 = 9 + (−8)）的探究过程，最终归纳出有理数减法法则。 【知识点】本节课核心知识：1. 有理数减法法则——减去一个数，等于加这个数的相反数，即 a − b = a + (−b)；2. "两变一不变"——减号变加号、减数变相反数、被减数不变；3. 减法运算步骤——先转化（两变一不变），再按加法法则计算；4. 两数相减差的符号规律——大数减小数得正，小数减大数得负。 2. 法则要点 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。用字母表示为 a − b = a + (−b)。 转化口诀："两变一不变"——运算符号"−"变成"+"，减数变成它的相反数，被减数不变。 运算步骤：第一步把减法转化为加法，第二步按加法法则计算。 3. 方法总结 归纳总结 有理数减法法则记忆口诀： 减法其实并不难，转化加法最关键； 两变一不变记心间，减号变加号在前； 减数变成相反数，被减数呀不能变； 加法法则来收尾，符号绝对值要算全。 运算步骤两步走：一转化来二计算，准确无误最保险。 4. 易错点提醒 易错提示 ① "两变"必须同时进行：减号变加号的同时，减数也必须变相反数。不能只变一个。 ② 减数是负数时，变相反数后变成正数，不要把负号保留。 ③ 减数为 0 时，a 0 = a + 0 = a，结果为被减数本身。 ④ 0 减去一个数等于这个数的相反数：0 b = 0 + (−b) = −b。 学科网（北京）股份有限公司 $