江苏省江浦高级中学2027届高三上学期数学暑假作业（一）（集合、常用逻辑用语、不等式）

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语、不等式三大模块，通过基础题型与综合应用结合，渗透定义法、转化法、基本不等式等解题方法，构建“概念-推理-应用”的逻辑链条，培养数学抽象与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|3题|子集个数公式、集合运算定义法|从集合概念到真子集、交并补运算，结合新定义（如第10题）深化理解| |常用逻辑用语|3题|充分必要条件判定（集合包含关系）、命题真假转化|以不等式、椭圆方程为载体，建立逻辑关系与数学对象的关联| |不等式|10题|恒成立问题转化（函数最值）、基本不等式求最值（“一正二定三相等”）、二次不等式解集与根关系|从不等式性质到实际应用（如第8题成本问题），形成“性质-解法-应用”完整链条|

江苏省江浦高级中学2027届高三数学暑假作业（一） （ 集合、常用逻辑用语、不等式） 一、单选题 1．已知全集为实数集,集合,,则( ) A． B． C． D． 2．集合的真子集的个数为( ) A． B． C． D． 3．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中,最小值为的是( ) A． B． C． D． 5．“”是“方程表示椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若命题“,”是真命题,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 7．设,则“”是“”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 8．某工厂产品的年产量在吨至吨之间，年生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似表示为，则每吨的成本最低时的年产量为（ ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 二、多选题 9．已知关于的不等式的解集为,则( ) A． B． C． D．不等式的解集为 10．集合,是实数集的子集,定义且,若集合,,则以下说法正确的是( ) A． B． C． D． 11．已知,,且满足,下列正确的选项有( ) A．的最大值为 B．的最大值为 C．的取值可以为 D．的取值可以为 三、填空题（每小题5分，共2小题10分） 12．若不等式的解集为,则的解集为__________. 13．已知正数满足，则的最小值为__________ 四、解答题 14．已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）若，求实数的取值范围； 15．已知．（1）若，求取值范围． （2）若的最大值为，解不等式． 16．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题。 （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 江苏省江浦高级中学2027届高三数学暑假作业（一）参考答案 （ 集合、常用逻辑用语、不等式） 一、单选题 1．已知全集为实数集,集合,,则( ) A． B． C． D． 选B解：由题意知,或,,∴. 2．集合的真子集的个数为( ) A． B． C． D． 选C解：集合,所以集合的真子集的个数为. 3．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 选D解：∵在时恒成立∴在时恒成立 由于在时单调递减∵，∴，∴∴故选：D 4．下列函数中,最小值为的是( ) A． B． C． D． 选B解：对于B选项,, 当且仅当,即时等号成立,故选B. 5．“”是“方程表示椭圆”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 选B解：若表示椭圆,则,得,即且,则是方程表示椭圆的必要不充分条件. 6．若命题“,”是真命题,则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 选D解：因为命题“,”是真命题等价于有两个不等的实根,所以,即,解得或,故选D. 7．设,则“”是“”的( ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件 选B解：则,所以“”是“”的充分条件,但时,可能无意义,所以“”是“”的充分不必要条件. 8．某工厂产品的年产量在吨至吨之间，年生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似表示为，则每吨的成本最低时的年产量为（ ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 选B解：成本，当且仅当即时取“”，故选B． 二、多选题 9．已知关于的不等式的解集为,则( ) A． B． C． D．不等式的解集为 选A,B,D解：由题知,方程的两个根为,,且,故A正确; 由韦达定理知,,解得,,故B正确;,故C错误; 不等式等价于,即,解得解集为,故D正确. 故选:ABD. 10．集合,是实数集的子集,定义且,若集合,,则以下说法正确的是( ) A． B． C． D． 选B,C,D解：对于集合,由于二次函数开口向上,对称轴为,定义域为,所以当时有最小值为,当时有最大值为,所以. 对于集合,由于二次函数开口向上,对称轴为轴,定义域为,所以当时,有最小值为,当时有最大值为,所以.所以,.故选BCD. 11．已知,,且满足,下列正确的选项有( ) A．的最大值为 B．的最大值为 C．的取值可以为 D．的取值可以为 选A,C,D解：①②,当且仅当时,等号成立,A正确,B错误,③,当且仅当时,等号成立,故的取值可以为,C正确,④若,代入,所以,当且仅当,即或时命题成立,D正确. 三、填空题 12．若不等式的解集为,则的解集为__________. 填或解：由题意可得和为方程的两个根,, 所以,即,其解集为或. 13．已知正数满足，则的最小值为__________ 填解：.当且仅当，即，时，. 四、解答题） 14．已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （3）若，求实数的取值范围； 解：（1）因为，所以集合可以分为或两种情况来讨论； 当时，当时，得综上， （2）若存在实数，使，则必有，无解．故不存在实数，使 （3） 若，则有 即 实数的取值范围是 15．已知．（1）若，求取值范围． （2）若的最大值为，解不等式． 解：（1）因为所以，即 . （2） 因为 ， 所以， 不等式，即， 设，解得. 16．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题。 （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 解：（1）命题：“，都有不等式成立”是真命题， 得在恒成立， ∴ 得即 （2）不等式 ①当,即时解集，若是的充分不必要条件， 则, ∴ 此时. ②当即时解集，若是的充分不必要条件，则成立 ③当,即时解集，若是的充分不必要条件，则成立， ∴ 此时 . 综上①②③：． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $