月考卷(一) 集合与常用逻辑用语、不等式、函数-【高考领航】2026年高考数学总复习四测通关卷

月考卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式、函数 (满分：150分　时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则¬p为(　　) A．∀n∈N，n2＞2n B. ∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D. ∃n∈N，n2＝2n 2．已知全集U＝R，集合A＝{x＞2}，B＝＜－1}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{x≤x＜2} B. {x≤x≤2} C．{x|2≤x＜} D. {x|2＜x≤} 3．已知函数f(x)＝若f[f(－1)]＝4，且a＞－1，则a＝(　　) A．－ B. 0 C. 1 D. 2 4．已知函数y＝f(x)的定义域是R，值域为[1，2]，则下列四个函数①y＝2f(x)－1；②y＝f(2x－1)；③y＝2f(x)-1；④y＝log2f(x＋1)＋1，其中值域也为[1，2]的函数个数是(　　) A．4 B. 3 C. 2 D. 1 5．函数f(x)＝ax2＋的图象被称为牛顿三叉戟曲线，当a＝b＝1时，函数f(x)的大致图象为(　　) 6．(2025·北京朝阳区模拟)设函数f(x)＝若f(x)≤2，则实数x的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B. (0，4] C. [－1，4] D. (－∞，4] 7．定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项中一定成立的是(　　) A．f(－3)＝1 B. f(0)＝0 C. f(3)＝2 D. f(5)＝－1 8．已知f(x)＝(1－x)ex-1，g(x)＝(x＋1)2＋a，若存在x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B. C. (0，e) D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是(　　) A．“x＜1”是“＞1”的必要不充分条件 B．命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是“∃x＜1，x2＜1” C．x＋y＝0的充要条件是＝－1 D．若x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1 10．已知实数a，b满足ln a＋ln b＝ln (a＋4b)，则下列结论正确的是(　　) A．＝1 B. a＋b的最大值为9 C．ab的最大值为9 D. ab的最小值为16 11．已知函数f(x)＝则(　　) A．f(－3)＋f(2019)＝－3 B．f(x)在[4，5]是增函数 C．若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实数根，则k∈ D．若函数y＝f(x)－b在(－∞，4)有6个零点xi(i＝1，2，…，6)，则的取值范围是(0，6) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(开放题)若函数f(x)满足：(1)对于任意实数x1，x2，当0＜x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)； (2)f＝f(x1)－f(x2)，则f(x)＝________．(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可) 13．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)＋f(2－x)＝0，且当x∈(0，1)时，f(x)＝x2，则f(1)＝________．若g(x)＝f(x)－lg x，则函数g(x)的零点共有________个． 14．已知f(x)＝xex＋≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对∀x∈R有f(x)≤f(2)，且函数g(x)＝的定义域为(1，2)． (1)求f(x)的解析式； (2)若t＞0，求f(x)在[0，t]上的值域． 16.(15分)已知函数f(x)＝(m＋1)x2＋1. (1)若函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求m的取值范围； (2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最小值为g(m)，求g(m)的表达式． 17．(15分)某市作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，每年都有大量的游客来参观旅游．为提高经济效益，管理部门对某一景点进行了改造升级，经市场调查，改造后旅游增加值y(万元)与投入x(x≥10)(万元)之间满足y＝ax2＋bx－ln (a，b为常数)，当x＝10时，y＝－ln 2；当x＝15时，y＝－ln 3. (1)写出该景点改造升级后旅游增加利润L(x)(万元)与投入x(万元)之间的函数解析式；(利润＝旅游增加值－投入) (2)投入多少万元时，旅游增加利润最大？最大利润约是多少万元(精确到0.1，参考数据：ln 5≈1.6)? 18.(17分)已知函数f(x)＝ex－x－1. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)当x≥0时，求证：f(x)＋x＋1≥x2＋cos x. 19．(17分)已知函数f(x)＝ex－ax－ln 2(a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝2时，求函数g(x)＝f(x)＋ln 2－cos x在上的零点个数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 月考卷(一)　集合与常用逻辑用语、不等式、函数 1．C　2.D 3．C　由题意知，f(－1)＝(－1)2＋a＝1＋a，又a＞－1，所以1＋a＞0，所以f[f(－1)]＝f(1＋a)＝21+a＝4，解得a＝1.故选C. 4．B　对于①，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)－1∈[1，3]，①不满足条件；对于②，对于函数y＝f(2x－1)，2x－1∈R，则函数y＝f(2x－1)的值域为[1，2]，②满足条件；对于③，因为1≤f(x)≤2，则y＝2f(x)-1∈[1，2]，③满足条件；对于④，因为1≤f(x)≤2，f(x＋1)∈[1，2]，则y＝log2f(x＋1)＋1∈[1，2]，④满足条件．故选B. 5．D　当a＝b＝1时，f(x)＝x2＋≠0}，则f′(x)＝2x－，令f′(x)＞0，得；令f′(x)＜0，得x＜0或，所以函数在(－∞，0)和上单调递减，在上单调递增．故选D. 6．C　当x≤1时，由x≤2，可得x≥－1，故－1≤x≤1；当x＞1时，由log2x≤2，可得x≤4，故1＜x≤4.综上，－1≤x≤4.故选C. 7．A　由函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，得f(3－x)＝f(3＋x)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)，又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，得f(1)＝2－f(1)，则f(1)＝1，f(5)＝f(1)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1.故选A. 8．B　∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则f(x)max≥，由题得f′(x)＝－ex-1＋(1－x)·ex-1＝－xex-1，当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以＝f(0)＝，由题得g(x)min＝g(－1)＝a，所以a≤.故选B. 9．BC　由＞1得到0＜x＜1，故“x＜1”是“＞1”的必要不充分条件，A正确；命题“∀x≥1，x2≥1”的否定是“∃x≥1，x2＜1”，B错误；若x＝y＝0则得不到＝－1，故不是充要条件，C错误；易知x，y至少有一个大于1时，x＋y＞2，D正确． 10．AD　因为ln a＋ln b＝ln (a＋4b)，所以a＞0，b＞0，且ln (ab)＝ln (a＋4b)，即ab＝a＋4b，所以＝1，故A正确；所以ab＝a＋4b≥2，即≥4，所以ab≥16，当且仅当a＝4b时，即a＝8且b＝2时等号成立，故D正确，C错误；由＝1，a＞0，b＞0，所以a＋b＝(a＋b)·＝5＋＝9，当且仅当时，即a＝6且b＝3时等号成立，故a＋b的最小值为9，故B错误；故选AD. 11．BCD　作出f(x)的图象如图所示： f(－3)＝－3，f(2019)＝f(1)＝f(－1)＝1，所以f(－3)＋f(2019)＝－2，A错误；由图象可知f(x)在[4，5]是增函数，B正确； 由图象可知k∈时，直线y＝kx＋1与函数y＝f(x)的图象恰有3个交点，C正确；由图象可得，当y＝f(x)－b在(－∞，4)上有6个零点，xi(i＝1，2，3，4，5，6)，则0＜b＜1，且有f(x1)＝f(x2)＝…＝f(x6)＝b，所以由二次函数的对称性得＝6，故 的取值范围是(0，6)，D正确． 12．解析：对于任意实数x1，x2，当0＜x1＜x2时，都有 ， 故可选一个递增的对数函数f(x)＝logax(a＞1)．例如f(x)＝log2x. 答案：log2x(logax(a＞1)型的都对) 13．解析：因为f(x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(1)＋f(1)＝0，解得f(1)＝0；由f(x)＋f(2－x)＝0，则f(2－x)＝－f(x)， 又函数f(x)是定义域为R的奇函数， 则f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，函数g(x)的零点个数即函数y＝f(x)与y＝lg x 的交点个数，在同一坐标系中作出两函数的图象： 由图象可知，两函数有5个交点，即函数g(x)的零点共有5个． 答案：0　5 14．解析：由题知，f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(－1)＝e2.g(x)＝－(x＋1)2＋a，当x∈[－1，＋∞)时，g(x)单调递减且g(x)≤a，存在x1∈R，x2∈[－1，＋∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，只需e2≤a即可，所以实数a的取值范围是[e2，＋∞)． 答案：[e2，＋∞) 15．解：(1)由f(x)≤f(2)知a＜0，且－＝2， 由题知f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＞0的解集为(1，2)， 即令f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＝0，有x1＝1， x2＝2， 故x1＋x2＝－＝2， 解得a＝－1，b＝4，c＝－2，即f(x)＝－x2＋4x－2. (2)y＝f(x)是开口向下，对称轴为x＝2的抛物线， f(0)＝－2，f(t)＝－t2＋4t－2，f(2)＝2， 根据二次函数的对称性，得 当0＜t≤2时，f(x)在[0，t]上的值域为[－2，－t2＋4t－2]； 当2＜t＜4时，f(x)在[0，t]上的值域为[－2，2]； 当t≥4时，f(x)在[0，t]上的值域为[－t2＋4t－2，2]. 16．解：(1)由题意，f′(x)＝x2－(m＋1)x＝x[x－(m＋1)]≥0在[2，＋∞)上恒成立，∴m＋1≤x在[2，＋∞)上恒成立， ∴m＋1≤2，∴m≤1. (2)∵f′(x)＝x[x－(m＋1)]， ∴当m＋1≤2，即m≤1时，f(x)在区间[2，3]上单调递增， 此时f(x)min＝f(2)＝－2m＋； 当2＜m＋1＜3，即1＜m＜2时，f(x)在区间[2，m＋1]上单调递减，在区间[m＋1，3]上单调递增， 此时f(x)min＝f(m＋1)＝－(m＋1)3＋1； 当m＋1≥3，即m≥2时，f(x)在区间[2，3]上单调递减， 此时f(x)min＝f(3)＝－. 综上，g(m)＝ 17．解：(1)由已知得 解得∴y＝－x－ln (x≥10)，则该景点改造升级后旅游增加利润L(x)＝－x－ln x－ln (x≥10)． (2)由(1)得L(x)＝－x－ln (x≥10)， 则L′(x)＝－ ＝－，令L′(x)＝0，可得x＝25. 当x∈[10，25)时，L′(x)＞0，L(x)单调递增； 当x∈(25，＋∞)时，L′(x)＜0，L(x)单调递减． ∴当x＝25时，L(x)取得最大值，且L(x)max＝L(25)＝－ln 5≈11.9，∴当投入25万元时，旅游增加利润最大，最大利润约为11.9万元． 18．解：(1)易知函数f(x)的定义域为R， ∵f(x)＝ex－x－1，∴f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝ex－1＞0， 解得x＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 令f′(x)＝ex－1＜0，解得x＜0，∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)， ∴函数f(x)的极小值为f(0)＝0，没有极大值． (2)证明：要证f(x)＋x＋1≥x2＋cos x， 即证ex－x2－cos x≥0， 设g(x)＝ex－x2－cos x(x≥0)，要证原不等式成立即证g(x)≥0成立． g′(x)＝ex－x＋sin x(x≥0)，∵sin x≥－1，∴g′(x)＝ex－x＋sin x≥ex－x－1(当且仅当x＝－＋2kπ，k∈N*时等号成立)， 由(1)知ex－x－1≥0(当且仅当x＝0时等号成立)， ∴g′(x)＞0，∴g(x)在[0，＋∞)上是增函数， ∴g(x)≥g(0)＝0， ∴当x≥0时，f(x)＋x＋1≥x2＋cos x得证． 19．解：(1)f(x)＝ex－ax－ln 2，其定义域为R，f′(x)＝ex－a， ①当a≤0时，f′(x)＞0，所以f(x)在R上单调递增， ②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞ln a，令f′(x)＜0，得x＜ln a， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增， 当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． (2)由已知得g(x)＝ex－2x－cos x，x∈， 则g′(x)＝ex＋sin x－2. ①当x∈时，因为g′(x)＝(ex－1)＋(sin x－1)＜0，所以g(x)在上单调递减， 所以g(x)＞g(0)＝0，所以g(x)在上无零点； ②当x∈时，因为g′(x)单调递增， 且g′(0)＝－1＜0，g′＝－1＞0， 所以存在x0∈，使得g′(x0)＝0， 当x∈(0，x0)时，g′(x)＜0，当x∈时，g′(x)＞0， 所以g(x)在上单调递增，且g(0)＝0，所以g(x0)＜0，又因为g＝－π＞0， 所以g(x0)·g＜0，所以g(x)在上存在一个零点， 所以g(x)在上有两个零点； ③当x∈时，g′(x)＝－3＞0，所以g(x)在上单调递增，因为g＞0，所以g(x)在上无零点． 综上所述，g(x)在上的零点个数为2. 学科网（北京）股份有限公司 $