第1章 三角形 单元测试 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 苏科版八年级上册三角形单元检测卷，覆盖全等判定、性质应用、图形变换等核心知识点，通过基础巩固与综合探究题，培养抽象能力、推理意识和几何直观，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|三边关系（1）、逆定理（2）、全等判定（3）|结合生活情境（5题池塘距离估计）| |填空题|6题|三角板角度计算（11）、直角三角形性质（12）、角平分线应用（15）|动态问题（16题最值探究）| |解答题|6题|全等证明（17）、尺规作图（18）、折叠变换（21）|综合探究（22题阅读理解，培养创新意识）|

第1章三角形检测卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 (2024) 一、单选题 1.下列长度的三条线段能组成三角形的是() A.3,6,12B.5,6,10 C.5,6,11 D.3,4,8 2.下列定理中，没有逆定理的是() A.全等三角形的对应角相等 B.角平分线上的点到角两边的距离相等 C.等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3.如图，在一个平分角的仪器中， AB=AD,BC=DC,将点4放在角的顶 点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的 平分线，其原理是通过判定△ABC≌△ADC,得到∠BAC=∠DAC,其中判 定这两个三角形全等的依据是() 试卷第1页，共3页 B E A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 4.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD, ∠A=∠ABD.若AC=9,BC=6,则BD的长为() B A.2 B.1.5 C.3 D.6 5.如图，为估计池塘两岸A，B两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点 ,测符OA=16m,OB=12m,则4，B两点间的距离不可能是《） A A.15m B.20m c.25m D.30m 6.在△ABC中，按如图方式作图得点D,则下列结论错误的是() 试卷第2页，共3页 A.AD=AC B.AD=BD C.∠B=∠BAD D.∠AED=∠BED=90° 7.如图点D、E、F分别是BCAD、AC边上的中点.若阴影部分的面积为 9,则△ABC的面积是() A.18 B.24 C.27 D.32 8.已知三角形的三边长分别为1，a,4,则化简la-l+a-的结果等于() A.6 B.7 C.8 D.2a-8 9.如图，已知在四边形ABCD中，AB=12cm,BC=8cm,CD=14cm, ∠B=∠C,点E为线段4B的中点，点P在线段BC上以3Cm/5的速度由点 B向点C运动，同时点P在线段CD上由点C向点D运动，要使△BPE与 △CP全等，点P的运动速度为() 试卷第3页，共3页 O A E A.3cm/s B.4cm/s c.2cm/s或4.5cm/s D.3cm/s或4.5cm/s 10.在△ABC中，∠A=90°，AB=AC,将△ABC按如图所示的方式依次折 叠； 有下面四个结论： ①DE平分∠FDC;②FE=AD;③∠ADB=3∠BDF;④△FED的周长等 于BC的长.其中正确结论的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为， 试卷第4页，共3页 30 45 12.如图，在直角三角形4BC中，∠C=909∠A=60°.若AC+AB=9cm, 则AC=cm. B 13.如图，己知△ABC≌△ADE,点D恰好在BC边上，若∠EAC=50°， 则∠ADE的度数为 14.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角∠BAC=30°，梯子的长为 10米，则梯子与墙角的距离BC为. 米 15.△ABC中，AD是角平分线， ∠ACB=2∠ABC,AB=3CD,E是AC延 长线上一点，CD=CE,连接BE,DF⊥AB于F,若△ADC的面积是8， 试卷第5页，共3页 (1)若AC=2CD,则S△MBn= (2)则AD·BE-DF.CE= 16.在如图所示的△ABC中，己知∠ABC=30°，AB=m,BC=n,BD平 分∠ABC交AC于点D,则△ABC的面积为（用含m,n的式子表示）： 若动点E、F分别在线段BD、AB上，连接AE、EF,则AE+EF的最小值为 D 三、解答题 17.如图，在△ABC中，D为边CB上一点，F为CB延长线上一点， EF‖AC交AB的延长线于点E,EF=CD,CA=FD 试卷第6页，共3页 (I)求证：△CAD≌△FDE: (2)求证：CA=CB. l8.如图，已知Rt△ABC,∠C=90°，点D在BC上，连接AD. ■ B C (I)尺规作图：在线段AD的延长线上求作一点E,使得∠CBE+∠ADC=90° (不写作法，保留作图痕迹)： (2连接EC,若AC=BD,S.cE=8,求DE的长 试卷第7页，共3页 19.在△ABC中，AB=BC,点D是边AB上一点，连接CD D E 图1 图2 图3 ()如图1，若∠ABC=40°，∠BCD=15°，求证：△ADC是等腰三角形： (2)以CD为边，在CD下方作等边三角形△DEC,连接BE. ①如图2，若AC=BC,探究线段BD,BC,BE的数量关系，并说明理由： ②如图3，若∠ABC=30°，AB=6,求线段BE的取值范围. 20.如图，是由边长为1的小正方形组成的4×6的网格，每个小正方形的顶点 叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点，且AB=5,仅用无刻度直尺在给定的 试卷第8页，共3页 网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示. 图1 图2 (I)如图1，M是边AB上一点，先画出△ABC的中线BD,再在线段BC上画 点N,使得∠BAW=∠BCM; (2)如图2，H是边BC上一个格点，先画出△ABH的高HE,再在射线HE上 画点F,使得AE=HF. 21.已知AMBC是等腰直角二角形，4C=BC,∠ACB=90°，点D为边BC 上一点，过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,连接 CE,∠CAD=n∠BAD 试卷第9页，共3页 A 图1 图2 (I)如图1，若n=1,点F为边AB的中点，连接CF,交AD于点G,连接 BG ①求∠BGE的度数： ②猜想线段GE与AD的数量关系，并说明理由： ②如图2，若n=2,点C与点P关于AE对称，连接DE与AB交于点P, PE=Q.请直接写出MP-BP的值，（用含的代数式表示）· 22.【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 试卷第10页，共3页 B B D 图1 图2 如图1，△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使 DE=AD ,请根据小明的方法思考： (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是一 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是 A.2<AD<8B.2≤AD≤8C.4<AD<16 D.4≤AD≤16 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等 三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E、交AD于F,且 AE=EF.求证： AC=BF 试卷第11页，共3页 试卷第12页，共3页 参考答案 题号 1 2 6 7 10 答案 B A D B D A B A D D 1.B 【分析】本题考查三角形三边关系，依据“三角形任意两边之和大于第三边”， 通过比较较短两边之和与最长边的大小关系来判断能否组成三角形. 【详解】解：A.最长边为12,3+6=9<12，长度为3,6,12的三条线段不 能组成三角形，不符合题意： B.最长边为10,5+6=11>10，长度为5,6,10的三条线段能组成三角形， 符合题意： C.最长边为11,5+6=11，长度为5,6,11的三条线段不能组成三角形，不 符合题意： D.最长边为8,3+4=7<8，长度为3,4,8的三条线段不能组成三角形， 不符合题意. 故选：B 2.A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆 命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定 答案第1页，共2页 理.据此逐项分析即可. 【详解】解：选项A:原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应 角相等的三角形是全等三角形”·对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题 是假命题，故原定理没有逆定理： 选项B:原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两 边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定 理 选项C:原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆 命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合， 则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理： 选项D:原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的 逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”， 该逆命题是真命题，故原定理有逆定理： 故选：A. 3.D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质.直接根据SSS判定 答案第2页，共2页 △ADC≌△ABC即可. 【详解】解：在△ADC和△ABC中， AD=AB DC=BC AC=AC' :△ADC≌aABC(SSS) .∠BAC=∠DAC. 故选：D 4.B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，通过作辅 助线构造出等腰三角形是解题关键。 延长BD交AC于点E,证明△CDB≌ACDE(ASA),得CE=BC=6, BD-DE AE=BE=3 然后利用等腰三角形的判定可求出 进而得到BD 【详解】解：延长BD交AC于点E, B :CD平分∠ACB,BD⊥CD,BC=6, :.∠BCD=∠ECD,∠CDB=∠CDE=90°， 答案第3页，共2页 在△CDB和△CDE中， ∠CDB=∠CDE=90° CD =CD ∠BCD=∠ECD :△CDB≌aCDE(ASA)】 .CE=BC=6,BD=DE, AC=9, .AE=AC-CE=3, .∠A=∠ABD, .'AE=BE=3. 2 故选：B 5.D 【分析】本题考查三角形的三边关系的应用，根据三角形的任意两边之和大于 第三边，任意两边之差小于第三边得到AB的取值范围，进而根据各选项数值 即可求解. 【详解】解：由题意，OA=16m,OB=12m, 答案第4页，共2页 .16-12<AB<16+12,即4<AB<28, 只有选项D中30m不可能是A,B两点间的距离，此选项符合题意， 故选：D 6.A 【分析】此题考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对 等角，根据线段垂直平分线的性质求解即可， 【详解】解：由作图得，DE垂直平分AB .AD=BD,DE⊥AB, .∠B=∠BAD,∠AED=∠BED=9O°，故B,C,D正确： 根据题意无法得到AD=AC,故A错误. 故选：A. 7.B 【分析】本题考查了中线平分面积，根据阴影部分的面积设 =x,SF=y,则x+y=9,根据中线平分面积的计算得到x三 1 y85.C,向此列式求解即可。 【详解】解：.阴影部分的面积为9， 答案第5页，共2页 :设S.e=X,S.DEr=y,则x+y=9, :点E是线段AD的中点， 1 .DEMDD2DE :点D是线段BC的中点， S.A8C=2S,40D=4S,WDE =4x 1 x=458c 同理，Sr=2SDEF=2y, S.Acp=2SAoF=2x2y=4y :.S.4ac=2S.Acm=2×2Sr=2×2×2S.er=8y 1 .:s 1 1 SBC 8C9 .4 解得， S。MBc=24 故选：B. 8.A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三 边关系确定字母的取值范围，以及绝对值的性质是解题的关键。 答案第6页，共2页 先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符 号，最后化简式子得到结果. 【详解】解：，三角形三边长分别为1，a,4, .4-1<a<4+1, .3<a<5, .3<a<5, ∴.a-1>0,a-7<0, a-l+a-7=(a-l)+(7-a) :.a-lta-7=a-1+7-a=6 故选：A. 9.D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应 边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键.已知 ∠B=∠C,要使△BPE与△CP全等，需分两种情况讨论： BE=CP BP=CO BE=CO BP=CP ；根据这两种全等情况，结合已知边长和点 P的运动速度，计算出运动时间，进而求出点之的运动速度. 答案第7页，共2页 【详解】解：：1B=12cm,E为4B中点， 、BE=6cm 设运动时间为t秒，则BP=3tcm,PC=(8-3t)cm 情况L:当△BPE≌aCPO(SMS)时，BE=CP,BP=CO BE=CP :6=8-31 3s2 ..BP=CO CO=31=2cm _C2-2=3cm/s ·点o的速度 3 情况2：当ABPE≌aCOP(SMS)时，BE=CQ,BP=CP, BP=CP 3=83/ 6t=8 4 : 3, 答案第8页，共2页 .BE=CO .CQ=6cm co6=4.5cmls ·点o的速度 t 4 3 综上，点P的运动速度为3cm/s或4.5cm/s. 故选：D. 10.D 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质及角平分线的定 义. 根据折叠的性质得到∠CDE=∠FDE,得到DE平分∠FDC,可判断①；根 据折叠的性质得到∠DEC=∠DEF=90°，∠C=∠DFC,根据等腰直角三角 形的性质得到∠ABC=∠C=45°，求得∠DFC=45°，由折叠的性质得到 ∠ABD=∠EBD,AD=DE,根据等腰直角三角形的性质得到 ∠FDE=∠DFE=45° ，从而得到FE=DE 进而可判断②：由 ∠ABD=∠CBD,∠ABC=∠C=45°，得到 ∠ABC=∠C=2∠DBF=2∠BDF ，根据三角形的外角的性质得到 答案第9页，共2页 ∠ADB=∠DBC+∠C=∠BDF+2∠BDF=3∠BDF,可判断@：根据等腰 直角三角形的性质得到DE=CE=EF，根据平行线的性质得到 ∠ABD=∠DBF=∠BDF,从而得到BF=DF,于是得到 CAFED=DF+DE+EF=BF+EF+CE=BC,可判断④. 【详解】解：：△CDE沿着直线DE折叠得到△DEF, .∠CDE=∠FDE, .DE平分∠FDC,故①正确： .△CDE沿着直线DE折叠得到△DEF, .∠DEC=∠DEF=90°，∠C=∠DFC, .·AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠C=45°， .∠DFC=45°， :△ABD沿着BD折叠得到△EBD, .AD=DE, 又：∠FDE=90°-∠DFE=45°， .FE=DE, .FE=AD,故②正确： 答案第10页，共2页 .∠ABD=∠CBD,∠ABC=∠C=45°， .∠ABC=∠C=2∠DBF=2LBDF, .∠ADB=∠DBC+∠C=∠BDF+2∠BDF=3∠BDF,故③正确： △CDF是等腰直角三角形，DE⊥CF, .DE=CE=EF, .∠ABC=∠DFE=45°， AB∥DF, ∴.∠ABD=∠DBF=∠BDF, .'BF =DF, CAFED=DF+DE+EF-BF+EF+CE-BC 故④正确， 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D 11.75°75度 【分析】此题考查平行线的性质，利用三角板的特征求得∠2的度数，再根据 平行线的性质，即可解答，关键是根据两直线平行，同位角相等解答. 【详解】解：如图，，一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上， ∠B=∠ADE=90°，∠C=30°，∠AED=45° 答案第11页，共2页 ∴.∠BAC=90°-∠C=60°，∠DAE=90°-∠AED=45° .∠2=180°-∠BAC-∠DAE=75° :1∥k, .∠1=∠2=75°. 故答案为：75°. C B 45° 12.3 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，先求出∠B=30°，再根据 含30度角的直角三角形的性质求出AB=2AC,再根据AC+AB=9cm即可 求解。 【详解】解：在直角三角形1BC中，∠C=90,∠A=60 ∠B=30°， .AB=2AC, .AC+AB =9cm, .AC+2AC=9cm, 答案第12页，共2页 解得：AC=3cm, 故答案为：3. 13.65°165度 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边对等角，根据全等的性质，得到 ∠B=∠ADE,∠BAC=∠DAE,AB=AD 进而得到∠BAD=∠CAE,等边 对等角，求出∠B的度数即可. 【详解】解：：△ABC≌△ADE, :∠B=∠ADE,∠BAC=∠DAE,AB=AD .∠BAD=∠CAE=50°， A∠B=∠ADB=080-∠B1D)=65°， .∠ADE=65°： 故答案为：65° 14.5 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据30度所对的直角边等 于斜边的一半，即可得出结果. 【详解】解：由题意，∠ACB=90°，AB=10, 答案第13页，共2页 ∠BAC=30°， sB0-4B=5米： 故答案为：5. 15. 12 40 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的 性质及三角形面积的计算. (I)过点D作DM⊥AE,利用角平分线的性质得到DF=DM,结合 AC=2CD与S,ADc=8 求出CD·DM的值，再根据AB=3CD计算△ABD的 面积： (2)先通过角的关系证明∠CED=∠ABC,结合角平分线证明 △ABD≌△AED ，从而推出 AC=2CD ，再利用三角形面积关系求出 DF.CE 与AD·BE的值，最后计算差值. 【详解】(1)解：如图，过点D作DM⊥AE, B D 答案第14页，共2页 :AD是角平分线，DF⊥AB,DM⊥AE, .DF =DM AC=2CD S.ADC=8 .4C-DM2CD-DM8CD:DM-8. 又：AB=3CD, :DF-x3CD:DM-x3x8-12 故答案为：12： (2)解：如图，连接DE,延长AD交BE于点H, B D: .CD=CE, ∴.∠CDE=∠CED .'∠ACB=∠CDE+∠CED=2∠CED=2∠ABC, .∠CED=∠ABC AD是角平分线， 答案第15页，共2页 .∠BAD=∠EAD, 在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EAD,∠ABD=∠AED,AD=AD, :△ABD≌AAED(AAS). G.AB=AE:BD=ED:ADLBE=BE 2 AB=3CD,AE=AC+CE=AC+CD. ..3CD=AC+CD,AC=2CD=2CE. :S,cmse=25,c=4, :SD=S,H0c+ScE=8+4=12 又5m)4DE=12 2 ∴.AD.HE=24. BE =2HE, .AD.BE AD.2HE =48 由(I)得CD·DM=8,且DF=DM,CE=CD, .AD.BE-DF.CE=48-8=40: 故答案为：40. 1 16. mn 4 答案第16页，共2页 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，全等三角 形的判定和性质，垂线段最短，探究出AE+EF最小值的位置是解题的关键. 过点A作AM⊥BC于点M,用m的代数式表示出AM,根据三角形面积公式 即可求出△ABC的面积；在BC上取一点F',使BF'=BF,探究出AE+EF 最小时，点A,E,F'三点在一条直线上，且AF'⊥BC,即可解决问题. 【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M,则∠AMB=90°， D B M ∠ABC=30°， AM-34B-Im m 2 2 -mn 2 2 21 4: 在BC上取一点F',使BF'=BF, ,BD平分∠ABC, .∠EBF=∠EBF', 在△BEF和△BEF'中， 答案第17页，共2页 BF=BF ∠EBF=∠EBF' 1 BE=BE :△BEF≌aBEF'(SAS) .EF EF, :AE+EF AE+EF', ∴.当AE+EF最小时，点A,E,F'三点在一条直线上，且AF'⊥BC, 1 ·AE+EF的最小值为AM的长，即2m 1 -mn 之m 故答案为：4, 17.(1) 证明：·EF∥AC .∠C=∠F, EF=CD,CA=FD :.ACAD≌aFDE(SAS) (2) 证明：，△CAD≌△FDE, ∴.DE=AD,∠DEF=∠ADC .∠DEA=∠DAE, 答案第18页，共2页 ∠DEF=∠DEA+∠BEF,∠ADC=∠DAE+∠ABD=∠DAE+∠EBF, .∠BEF=∠EBF, ∴.EF=BF, ..EF=CD .CD=BF, .BC=CD+BD=BF+BD=DF, CA=FD .CA=CB 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明 △CAD≌△FDE 是关键。 (1)根据平行线的性质得到∠C=∠F,，再根据已 EF=CD,CA=FD即可 证明△CAD≌aFDE(SAS): (2)根据全等三角形的性质得到DE=AD,∠DEF=∠ADC,再证明 CD=BF,则BC=DF,由CM=FD 即可得到结论. 【详解】(1)略 (2)略 18.(1)图见解析 答案第19页，共2页 2DE=4 【分析】本题考查尺规作图，直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，作 辅助线构造全等三角形是解题关键. (I)以点B为圆心，BD长为半径作弧，交AD延长线于点F,再分别以点 F和点D为圆心，大于2 FD长为半径作弧，交于点G,连接BG,交AD延 长线于点E,点E即为所求，由BG⊥DF，再利用直角三角形两锐角互余及 对顶角相等，可证∠CBE+∠ADC=90°， (2)过点C作CH⊥AD,证明△BDE≌△ACH得CH=DE,再由 1 S.E-DE.CH=8,代入CH=DB解得DE=4. 【详解】(1)解：如图即为点E, B 的延长线于点， E G F .BE⊥AD E .∠BED=90° ∴.∠CBE+∠BDE=90° 答案第20页，共2页 .∠BDE=∠ADC .∠CBE+∠ADC=90° (2)解：如图，连接CE,过点C作CH⊥AE于点H, H .CH⊥AD .∠CHA=90° ∴.∠CAH+∠ACH=90°∠CDH+∠DCH=90° .∠BDE+∠DBE=9O°∠BDE=∠CDH .∠CDH+∠DBE=90° ∴.∠DBE=∠DCH .∠DCH+∠ACH=90° ∴.∠DCH=∠CAH ∴.∠DBE=∠CAH ∴在△BDE和△ACH中， 答案第21页，共2页 AC=BD ∠DBE=∠CAH ∠CHA=∠DEB :.△BDE≌△ACH(AAS) .CH=DE SCDE=8 EXCH=8. ∴.2 即DE2=16 解得DE=4, 答：DE=4. 19.(1)见解析 Q0BC=BD+BE,理由见解析：② 3≤BE≤6 【分析】(1)由题意易证∠BAC=∠ACB,利用三角形内角和定理即可求出 ∠B1C=∠1CB=70°，进而求出∠1CD=55°，再利用三角形外角的性质即 可求出∠ADC=55°，得到∠ACD=∠ADC,即可证明： (2)①先证明△ABC是等边三角形，易得∠ACD=∠BCE,再证明 △ACD≌△BCE(SAS),推出AD=BE,即可得出结论：②过点C,E作 答案第22页，共2页 CG⊥AB,EH⊥BC垂足分别为G,H,证明△CGD≌aCHE(AAS),利用直 角三角形的性质求出CG=CH=3,进而得到BH=3,易证EH是BC的垂 直平分线，得到BE=CE,进而得到BE=CD,由点D与点G重合时，CD 有最小值3，点D与点B重合时，CD有最大值6，即可解答. 【详解】(1)证明：：AB=BC, .∠BAC=∠ACB, .∠ABC=40°， :.∠BAC=∠ACB=2180°-∠1BC)=70°， ∠BCD=15°， ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=55°，∠ADC=∠ABC+∠BCD=55°， :.∠ACD=∠ADC, .△ADC是等腰三角形： (2)解：①BC=BD+BE,理由如下： ,△DEC是等边三角形， :CD=CE,∠DCE=60° .AC=BC,AB=BC. 答案第23页，共2页 .△ABC是等边三角形， :AC=BC,∠ACB=60 .∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=60°， .∠ACD=∠BCE, AC=BC ∠ACD=∠BCE 在 和 中， △ACD△BCE CD=CE :△ACD≌aBCE(SAS), .AD=BE, ∴.AB=AD+BD=BE+BD, .AB=BC, .BC=BD+BE ,ECG⊥AB,EH⊥B ②过点 作】 垂足分别为G,H G D B :△DEC是等边三角形， ,CD=CE,∠DCE=60° :∠ABC=30°，∠CGB=900 答案第24页，共2页 .∠BCG=60°， ∴.∠DCG+∠BCD=∠ECH+∠BCD=60°， .∠DCG=∠ECH, ∠CGD=∠CHE=90° ∠DCG=∠ECH 在 和 中， △DCG△ECH CD=CE :△DCG≌AECH(AAS) .CG=CH, :∠ABC=30°，∠CGB=90°，BC=AB=6 :.CH-CG-18C=3 .BH=BC-CH=3. EH⊥BC,BH=CH=3 .EH是BC的垂直平分线， .BE=CE, .BE=CD, ∴点D与点G重合时，CD有最小值3，点D与点B重合时，CD有最大值6， .线段BE的取值范围为3≤BE≤6. 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角 答案第25页，共2页 形全等的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的 性质，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键。 20.(1) 如图，线段BD,点N即为所求， (2) 如图，线段HE,HF即为所求， P.B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知 识，熟练掌握网格的特征是解题的关键 (1)根据网格的特征找到AC的中点D,连接BD,CM相交于点K,再连接 AK并延长交BC于点N即可： BC (2)根据网格的特征构造△PLH≌△HBA,则AB与LH的交点即为点E,作 POI‖AB,PO与LH的交点即为点F. 【详解】(1)略 答案第26页，共2页 (2)略 21.(1)①∠BGE=45°： ②解：AD=2GE,理由如下： 由①可知，∠BGE=45°，∠ABG=22.5°，则∠CBG=22.5°， .BE⊥AD, .△BGE为等腰直角三角形， .BE=GE,∠EBG=45°，则∠CBE=22.5°，∠ABE=67.5°， 即∠CAD=∠CBE=22.5°， 延长AC,BE交于点H,则∠ACD=∠BCH=90°，∠H=67.5°， .△ABH为等腰三角形， AE⊥BE, .BH=2BE, H C G F 又：AC=BC, :.△ACD≌aBCH(ASA) .AD=BH, 答案第27页，共2页 .AD=2BE =2GE ②AP-BP=2a 【分析】(1)①由n=1,可知AD平分∠CAB,根据△ABC是等腰直角三 角形，AC=BC,∠ACB=90°，可求得∠CAD=LBAD=22.5°，CF垂直平 分AB,可知AG=BG,则∠BAD=∠ABG=22.5°，即可求解： ②由①可知，∠BGE=45°，∠ABG=22.5°，则∠CBG=22.5°，进而可知 △BGE为等腰直角三角形，得BE=GE,∠EBG=45°，则∠CBE=2.59 ∠ABE=67.5°，即∠C4D=∠CBE=2.5,延长4C,BE交于点H,则 ∠4CD=∠BCH=90°，∠H=67.5°，可知△1BH为等腰三角形，得 BH=2BE,再证△ACD≌△BCH(ASA),得AD=BH,可得结论： (2)过C作CK1CE交AE于点K,易证△ACK≌△BCE(ASA),可得 ∠CEA=45°，再由”=2可符∠BAD=15°，∠CMD=30° 由对称可得 AC=AQ∠CAD=∠QAD=30°∠CEA=∠QEA=45° 所以易证 △AC0为等边三角形， ∠EPB=60°=∠APO,在PA上截取 M=PO,连 接M0,易得AM=CP,PO=PM=BP 进而得解 【详解】(1)解：①.n=1,则∠CAD=∠BAD, 答案第28页，共2页 即AD平分∠CAB, :△ABC是等腰直角三角形，AC=BC,∠ACB=90°， .∠CAB=∠CBA=45°，故∠CAD=∠BAD=22.5°， 又：F是AB中点， :.CF⊥AB，,且CF=AF=BF,CF垂直平分AB, .AG=BG,则∠BAD=∠ABG=22.5°， .∠BGE=45°： ②略 (2)如图，过C作CK⊥CE交AE于点K, 则∠ACB=∠KCE=90°， ∴.∠ACK=∠BCE=90°-∠BCK, :∠ACD=∠AEB=90°，∠ADC=∠BDE, .∠CAK=∠CBE, AC=BC, :△ACK≌aBCE(ASA) 答案第29页，共2页 ..CK=CE, .∠CEA=45°， 当n=2时，则∠CAD=2∠BAD, :∠CAD+∠BAD=45°， ∠BAD=15°，∠CAD=30°， 连接CO、CP,由对称可知4C=A0,∠CAD=∠01D=30°， ∠CEA=∠QEA=45° :∠CA0=60°，∠PA0=150 :△1C0为等边三角形， :4C=A0=CQ,∠A0C=60° :∠CEA=∠QEA=450 :.∠CEP=90°，∠EPB=∠BAD+∠QPE=60° :∠AP0=600 在PA上枚取PM=P吧，连接MO, 则△PM0为等边三角形， :M0=P2,∠POM=60°=∠AQC :∠AOM=LCQP 答案第30页，共2页 .A0=CO OM=Op :△AOM≌aCOP(SAS)】 :AM=CP,∠QAM=∠QCP=15o :∠BCP=∠BCA-∠ACQ-∠QCP=150 :∠QCP=∠BCP .CO=CA=CB CP=CP :△OCP≌aBCP(SAS) :PO=PB=PM∠CPQ=∠CPB .AP-BP=AP-PM=AM=CP, :∠CPO=∠CPB.∠EPB=∠APQ=60° .∠CPE=∠ACP=60°， 在Rt△PCE中，∠PCE=90°-∠CPE=30°，PE=a, ∴.CP=2a,则AM=2a, .AP-BP=2a 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、含 30° 的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称问题等内容，添 加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 答案第31页，共2页 22.(1)B: (2)A; (3)证明：如图2，延长AD到M,使AD=DM,连接BM, F D 是 中线， M 图2 .AD△ABC ∴.CD=BD “在△ADC和△MDB中， DC=DB ∠ADC=∠MDB DA=DM ∴AADC≌aMDB(SAS) :.BM=AC∠CAD=∠M AE=EF ∴.∠CAD=∠AFE .∠AFE=∠BFD .∠BFD=∠CAD=∠M 答案第32页，共2页 ∴.BF=BM=AC .AC=BF 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识 点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键. (I)根据AD=DE,∠ADC=∠BDE,BD=DC推出△ADC和△EDB全等即 可· (2)根据全等得出BE=AC=6,AE=2AD,由三角形三边关系定理得出 10-6<2AD<10+6 求出即可。 (3)延长AD到M,使AD=DM,连接BM,根据边角边证 △ADC≌△MDB,推BM=AC.∠CD=∠M,根据C=F,推出 ∠CAD=∠AFE=∠BFD,求出∠BFD=∠M,根据等腰三角形的性质求出 即可. 【详解】(I):AD是△ABC中线， ∴CD=BD 在△ADC和△EDB中， 答案第33页，共2页 AD=ED ∠ADC=∠BDE, CD=BD ∴.△ADC≌△EDB(SAS) 故答案为：B: (2)由(1)知：△ADC≌aEDB, ∴.BE=AC=6AE=2AD ~在△MBE中，B=10,由三角形三边关系定理得： 10-6<2AD<10+6 .2<AD<8 故答案为：A; (3)略 答案第34页，共2页