高中数学单元测试——第五章函数应用（适中版01）

**基本信息** 高中数学第五章函数应用单元复习卷，聚焦函数零点、二分法及实际应用，通过分层题型与真实情境设计，落实数学眼光、思维与语言素养，适配单元知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点判定、二分法步骤|基础概念辨析，如第2题二分法图像判断| |多选题|2/12|零点存在性讨论|选项分层设计，如第7题含参数零点个数分析| |填空题|2/10|零点个数计算、函数图像应用|结合生活情境，如第10题行程问题图像解读| |解答题|3/48|函数性质、实际建模、图像拼接|综合应用导向，如第12题民宿利润最大化（数学建模）、第13题指数与幂函数综合（数形结合）|

高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据零点定义求解即可. 【详解】令，所以，所以，所以， 故选：B 2．（本题5分）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的适用条件判断即可. 【详解】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号. 在B中，不满足，不能用二分法求零点， 由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点. 故选：B. 3．（本题5分）已知函数的零点在区间内，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为，， 所以函数在区间内有零点，所以. 故选：C. 4．（本题5分）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 5．（本题5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D 6．（本题5分）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知在区间上单调递增，再根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数与在区间上均为单调递增函数， 所以函数在区间上单调递增， 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得. 所以常数的取值范围为 故选：C 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则关于 零点叙述不正确的是（    ） A．当时，函数有两个零点 B．函数必有一个零点是正数 C．当时，函数有两个零点 D．当时，函数只有一个零点 【答案】ACD 【分析】在同一坐标系中作出与的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确． 【详解】⇔在同一坐标系中作出与的图象， 可观察出 当时，函数有一个零点, 当时，函数有一个零点, 当时，函数有两个零点, 函数必有一个零点是正数, A、C、D选项错误，选项B正确． 故选:ACD. 8．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 【答案】ACD 【分析】画出的函数图象，数形结合判断A；根据是方程的两根，利用韦达定理判断B；根据判断C；利用的范围求出的范围，再结合对勾函数的单调性判断D. 【详解】画出的函数图象如图： 由图象可知，，故A正确； 因是方程的两根，则， 故无最大值，故B错误； ，则，则，故C正确； 因，则，得， 则， 因在上单调递增，，， 故，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．（本题5分）若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 【答案】 【分析】令，即方程有一个根，利用判别式即可求解. 【详解】由题意得：令，即，所以方程有一个根， 所以，解得， 故答案为：. 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【详解】（1）依题意，得，即 即恒成立，得. （2）令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 12．（本题16分）随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． (1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； (2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 【答案】(1)， (2)投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元 【分析】（1）根据利润与成本关系是利用分段函数写出表达式即可； （2）利用二次函数性质以及基本不等式计算可得利润最大化时的民宿栋数. 【详解】（1）由题意可得， 当时， 当时， 所以； （2）当时， 因为在内单调递增，所以当时，的最大值为70， 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 因为130>70，所以当时，的最大值为130， 所以投资13栋民宿时获得的利润最大，最大利润为130万元． 13．（本题18分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象过点，求出即可求得的解析式； （2）根据幂函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据函数的零点与方程解的关系将问题转化为图象的交点问题即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）因为在上单调递减，且， ，解得. （3）存在实数解，即有解， 即函数的图象与函数的图象有交点， 所以，解得或. 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点为（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．（本题5分）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知函数的零点在区间内，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题5分）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 6．（本题5分）若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则关于 零点叙述不正确的是（    ） A．当时，函数有两个零点 B．函数必有一个零点是正数 C．当时，函数有两个零点 D．当时，函数只有一个零点 8．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 三、填空题 9．（本题5分）若函数只有一个零点，则实数的值是___________． 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 12．（本题16分）随着“广德三件套”（炖锅、奶茶、桃酥）火爆出圈，广德市凭借长三角几何中心的区位优势和文旅融合发展机遇，迎来海量游客，民宿需求持续激增、为承接旅游热潮、带动村民增收，某村集体计划投资改造一批精品民宿，于2026年初正式运营．据市场调研和成本核算：项目初期需投入固定成本（如基础设施升级、公共区域装修等）30万元；此外，装修及年度维护x栋民宿的变动成本为万元，且，调研数据显示，每栋装修完成的精品民宿，依托当地旅游热度，2026年一年可带来稳定的40万元收入． (1)请写出该批民宿改造后的2026年年利润（万元）关于民宿栋数x（x为正整数）的函数关系式； (2)为了实现2026年年利润最大化，该村应装修多少栋民宿？并求出年利润的最大值． （附：年利润年收入变动成本固定成本） 13．（本题18分）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成. (1)求的解析式； (2)已知，求的取值范围； (3)若方程存在实数解，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $