高中数学单元测试——第8章函数应用（较易版01）

**基本信息** 高中数学第8章函数应用单元复习卷（较易版01），以基础巩固为主，融合电池剩余电量、阶梯水价等实际情境，覆盖函数零点、二分法及数学建模核心知识点，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点概念、二分法适用条件、零点区间判断|基础概念辨析，如第2题通过图像考查二分法适用条件| |多选题|2/12|函数零点个数、参数取值范围|分类讨论能力，如第7题探究零点个数与参数关系| |填空题|2/10|零点应用、费用优化模型|实际问题转化，如第10题仓库费用与运费优化| |解答题|3/48|定义域、零点证明、阶梯水价模型、函数单调性与恒成立|综合应用，如第12题阶梯水价函数构建与求解，体现数学语言表达现实世界；第13题函数性质探究，发展数学思维|

高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 2．（本题5分）下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二分法求函数零点所满足的条件可得出合适的选项. 【详解】观察图象与轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，故B不能用二分法求零点． 故选：B. 3．（本题5分）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】是上的减函数， 由，根据零点存在性定理，能确定零点不在区间内， 由，根据零点存在性定理，能确定在区间内存在唯一零点， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 由， 根据零点存在性定理，确定零点不在区间内， 故选：B 4．（本题5分）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 5．（本题5分）某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（   ） A．55% B．50% C．40% D．45% 【答案】D 【分析】根据函数模型，代入两组数据，化简可得、，即可得函数解析式，再代入即可. 【详解】代入两组数据有， 两式相除：， 化简，解得或（舍）， 再代入求得， 因此， 代入，得. 故选：D. 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 7．（本题6分）对于函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数一定有两个零点 B．时，函数一定有两个零点 C．时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 【答案】BCD 【分析】根据函数零点的定义求解可得答案. 【详解】当时，函数有唯一零点，故A不正确； 当时，由，，所以函数一定有两个零点，故B、C正确； 所以函数的零点个数是1或2，故D正确. 故选：BCD 8．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 【答案】ACD 【分析】画出的函数图象，数形结合判断A；根据是方程的两根，利用韦达定理判断B；根据判断C；利用的范围求出的范围，再结合对勾函数的单调性判断D. 【详解】画出的函数图象如图： 由图象可知，，故A正确； 因是方程的两根，则， 故无最大值，故B错误； ，则，则，故C正确； 因，则，得， 则， 因在上单调递增，，， 故，即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 【答案】21 【分析】由x＝3是函数的零点，即，将x＝3代入函数有，求解即得的值 【详解】∵x＝3是函数的零点，即 ∴，解得 故答案为：21 【点睛】本题考查了函数的零点，根据零点列方程，应用对数的概念求参数值 10．（本题5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元. 【答案】8.2 【分析】设仓库与车站距离为公里，可得出、关于的函数关系式，然后利用双勾函数的单调性求出的最小值. 【详解】设仓库与车站距离为公里，由已知，. 费用之和，求中， 由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减， 所以，当时，取得最小值万元，故答案为. 【点睛】本题考查利用双勾函数求最值，解题的关键就是根据题意建立函数关系式，再利用基本不等式求最值时，若等号取不到时，可利用相应的双勾函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 四、解答题 11．（本题14分）已知函数． (1)求的定义域； (2)证明：在内有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据对数的真数大于零及f恩木不等于零求解即可； （2）先判断函数在上的单调性，再根据零点的存在性定理即可得证. 【详解】（1）由， 得，解得或且， 所以的定义域； （2）令，其在上是增函数， 又函数是增函数， 所以函数在上是增函数， 因为在上是增函数， 所以函数在上是增函数， 又， 所以函数在内有且仅有一个零点. 12．（本题16分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 13．（本题18分）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，最小值为 (2) (3) 【分析】（1）令，借助作差法可得与的大小关系，即可得函数在上的单调性，从而可得其最小值； （2）参变分离后计算即可得； （3）作出函数图象分析即可得. 【详解】（1）时，， 令，则 ， 由，则、， 故，即， 故在上单调递增，则的最小值为； （2），由对任意，恒成立， 则，即对任意恒成立， 又，故， 即实数的取值范围为； （3）当时，， 由时，，当且仅当时，等号成立， 故可作出与图象如下图： 由图可得，当时，与有2个交点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第8章 函数应用（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列函数图象中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的零点所在区间（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）某新型电池剩余电量（单位：％）与使用时间（单位：小时）的关系满足，，，且均为常数．已知该电池使用2小时后剩余电量75%，使用8小时后剩余电量60%，则使用26小时后剩余电量为（   ） A．55% B．50% C．40% D．45% 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）对于函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数一定有两个零点 B．时，函数一定有两个零点 C．时，函数一定有两个零点 D．函数的零点个数是1或2 8．（本题6分）已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（   ） A．实数m的取值范围为 B．的最大值为1 C． D．取值范围为 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 10．（本题5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费（万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站公里处建仓库，这两项费用和分别为万元和万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元. 四、解答题 11．（本题14分）已知函数． (1)求的定义域； (2)证明：在内有且仅有一个零点． 12．（本题16分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 13．（本题18分）已知函数，． (1)当时，判断上的单调性并求函数的最小值； (2)若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； (3)若，，与有2个交点，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $