高中数学单元测试——第7章三角函数（适中版02）

**基本信息** 高中数学三角函数单元复习卷，覆盖定义、图像性质及实际应用，梯度设计合理，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、定义域、三角函数值|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|三角函数性质、图像对称性|多角度辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|三角恒等变换、图像交点|简洁计算，体现几何直观| |解答题|5/87|图像变换、实际温度模型、新定义应用|综合应用，发展模型观念与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两角是否相差整数倍即可. 【详解】对于A，，所以与角终边不相同，故A错误； 对于B，，所以与角终边相同，故B正确； 对于C， ，所以与角终边不相同，故C错误； 对于D，，所以与角终边不相同，故D错误. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边过点，所以， 所以. 故选：D 4．（本题5分）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定所在象限，再求出和，代入求值. 【详解】由，，可知是第二象限角， 则，， 所以. 故选：C. 5．（本题5分）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数的周期性以及奇偶性逐一判断，即可得到结果. 【详解】正弦函数、余弦函数的周期都是，故排除AD， 是奇函数且最小正周期为，故C满足题意， 而函数的最小正周期为， 而， 且的定义域是全体实数， 所以是偶函数，即不满足题意. 故选：C. 6．（本题5分）函数在区间上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负确定. 【详解】函数， 令，为奇函数， 为偶函数，所以函数为奇函数，排除选项AB， ，，， 所以，排除选项C， 故选：D. 7．（本题5分）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先求出正弦型函数的单调递减区间，再根据题给区间是减区间的子集建立不等式组，求解得到的取值范围后确定最大值. 【详解】正弦函数的单调递减区间为. 令，则的单调递减区间满足： ， 解不等式得： . 由于在上单调递减，故，， 同时区间长度，得. 当时，则 ，解得，即. 当时，无解； 当时，对应减区间不符合题设区间要求， 因此的最大值为. 8．（本题5分）已知定义在上的函数满足，对任意两个不相等的正实数，，都有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助、与的单调性可得，再利用函数对称性与单调性判断即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 函数在上单调递增，所以， ，， 故，，，则， 又因为函数满足，即， 所以的图象关于轴对称，即为偶函数， 则，， 又因为对任意不相等的两个正实数，，都有成立， 所以在上单调递增， 则，即. 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可. 【详解】由三角函数定义可得，，， 对于A选项，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10．（本题6分）已知函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．方程的解为 【答案】ABC 【分析】根据正切函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数函数的周期，故A正确； 对于B，因为， 所以是函数的一个对称中心，故B正确； 对于C，由，得，所以函数在内无间断点且单调递增，故C正确； 对于D，由，可得，所以， 解得，故D错误. 故选：ABC. 11．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．为函数的一个对称中心 C．将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图形 D．在上单调递增，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，再逐项判断可得正确答案. 【详解】由图象可得，，所以， 此时，又， 所以，即， 又，所以，故，故A错误； 由， 所以为函数的一个对称中心，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度， 得到，为偶函数，故C正确； 由，当时，， 由在上单调递增，则，解得， 所以的取值范围为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）若，则_______． 【答案】 【分析】利用诱导公式逐步化简可得答案. 【详解】由题意可得，则，所以． 故答案为： 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 【答案】（答案不唯一） 【分析】将点代入，利用余弦函数的图象和性质，求值即可. 【详解】由题意：，. 所以，. 所以的值可以为：，，… 故答案为：（答案不唯一） 14．（本题5分）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则______．    【答案】/ 【分析】通过两点间的距离以及三角函数的周期性来求解函数中的参数，进而求出指定点的函数值. 【详解】设，由可得， 令，得或， 即， ，， 由题图可知， 因为零点在增区间中， ，解得， ，， 故． 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦函数的性质得方程，求解即可； （2）根据五点作图法的基本步骤，先列表，再描点、连线即可. 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以， 所以. 令， 解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由可知 故函数在区间上的图像如下： 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 【答案】（1）单调增区间为；对称中心为；（2）；（3）． 【分析】（1）根据三角函数基本性质求得单增区间和对称中心. （2）根据函数图像性质，确定三角函数不等式解集. （3）根据函数图像性质求得定义域内的值域. 【详解】解：（1）由三角函数的性质易知，的单调增区间应满足，故单调增区间为； 对称中心应满足，故对称中心为． （2）由得 ∴， ∴， ∴所求x的取值集合为． （3）∵∴ ∴ ∴ 即 ∴在上的值域为． 【点睛】方法点睛：借助三角函数图像问题，来研究不等式，值域，单调区间等问题. 17．（本题15分）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 【答案】(1)， (2)对称轴为：（），增区间为：（） (3) 【分析】（1）根据图象以及三角函数对称性可求得周期，再由经过的点坐标可得解析式； （2）利用整体代入法根据正弦函数的对称轴方程以及单调区间即可求解； （3）由平移规则得出的解析式并画出图象，再由数形结合可得结果. 【详解】（1）由题意，， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是. （2）结合图象可知，函数的对称轴为（）， 令，，解得，， 即函数的增区间为（）. （3）的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示： 因为在上有两个解，所以，即； 即a的取值范围为. 18．（本题17分）已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，. (1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差； (2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ (3)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 【答案】(1) (2)点 (3)小时 【分析】（1）利用正弦型函数来求指定区间内的最值即可求解； （2）利用正弦函数值在指定区间内有两解来求另一个解即可； （3）利用正弦型函数满足的不等式，结合指定区间，即可求解. 【详解】（1）当时，有，则， 此时函数在时取到最大值为，在时取到最小值为， 所以该地区这一天这一段时间内的最大温差为； （2）当时，， 则 ， 根据，可知， 所以16点的温度与12点的温度相等； （3）由题意可得：， 因为，所以可得：， 解得：， 所以该细菌能生存的最长时间为小时. 19．（本题17分）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 【答案】(1)或，； (2)① ②函数的周期为，对称轴方程为或，最大值点为或. 【分析】（1）根据定义列出不等式即可求出； （2）通过解出，，即可求出的解析式，据此可得出周期、对称轴、最大值点. 【详解】（1）由新定义可得，，即， 解得，即 , 由正弦函数的性质可得或，. （2）①若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为，即或 ，解得， 综上，时，； ②若，由①可知，. . 函数图象如图， 函数的周期为，对称轴方程为或， 当或时，有最大值，即最大值点为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数在区间上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 8．（本题5分）已知定义在上的函数满足，对任意两个不相等的正实数，，都有成立，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为 B．是函数的一个对称中心 C．函数在区间上单调递增 D．方程的解为 11．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．为函数的一个对称中心 C．将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图形 D．在上单调递增，则的取值范围为 三、填空题 12．（本题5分）若，则_______． 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 14．（本题5分）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则______．    四、解答题 15．（本题13分）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 17．（本题15分）已知函数在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数的最小正周期T及的解析式； (2)求函数的对称轴方程及单调递增区间； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求a的取值范围. 18．（本题17分）已知某地某一天4点~16点的温度变化近似满足函，. (1)求该地区这一天这一段时间内的最大温差； (2)直接写出当天这段时间内，16点的温度与哪些时刻的温度相等？ (3)某种细菌能在温度不低于条件下生存，在4点～16点这段时间内，该细菌最多能生存多长时间? 19．（本题17分）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $