高中数学单元测试——第7章三角函数（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学三角函数单元复习卷，以基础概念与核心性质为主，融合实际应用与创新问题，适配单元知识巩固及数学眼光、思维、语言素养的培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|终边相同角、定义域、三角函数定义等基础概念|注重概念辨析，如第1题终边相同角判断| |多选题|3题18分|三角公式、函数周期性与对称性|强调性质综合，如第10题考查正切函数多性质| |填空题|3题15分|三角函数求值、参数范围|突出简洁计算，如第12题已知正切求正弦| |解答题|5题77分|五点法作图、图像变换、庐山索道实际应用、创新定义“远离”|综合应用与创新，如第18题结合索道运行考查函数模型，第19题定义新情境发展数学思维|

高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将角化成角度，并写出与其终边相同的角的形式，通过各选项的角依次检验即得. 【详解】因为，而与终边相同的角可表示为， 对于A，因，不是的整倍数，故A错误； 对于B，因，不是的整倍数，故B错误； 对于C，因，不是的整倍数，故C错误； 对于D，因，是的整倍数，故D正确. 故选：D. 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的定义域进行求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边过点，所以， 所以. 故选：D 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 5．（本题5分）下列函数中，以为周期的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦余弦正切函数的周期计算判断各个选项即可. 【详解】的周期为，A选项不正确； 的周期为，B选项不正确； 的周期为，C选项正确； 的周期为，D选项不正确； 故选：C. 6．（本题5分）函数 ，的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合余弦函数的性质逐一排除即可. 【详解】当， ， 所以该函数是奇函数，图象关于原点对称，排除AD. 当时，，可以排除C. 故选：B 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 8．（本题5分）定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的单调性结合对数的运算和三角函数的单调性可得. 【详解】函数在上单调递增,函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 由为偶函数，故 又，而，即， 故. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据诱导公式逐个选项判断即可. 【详解】根据诱导公式四，，A正确； 对于B，，B正确； 根据诱导公式五，，C错； 根据诱导公式三，，D正确. 故选：ABD 10．（本题6分）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 【答案】ABD 【分析】由正切函数定义域，周期，单调区间，对称性结合题意可得答案. 【详解】对于A，的最小正周期满足：，故A正确； 对于B，定义域满足， 则定义域为：，故B正确； 对于C，对称中心的横坐标满足：，则对称中心为： ，其中，故C错误； 对于D， 单调递增区间满足： ， 其中，则单调递增区间为，.故D正确. 故选：ABD 11．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】由图象确定函数最小正周期可求出，结合函数最值求出，判断A；代入验证可判断B；结合正弦函数的单调性可判断CD； 【详解】由题意知，解得，所以，解得， 所以， 又，所以，解得， 又，所以，所以，故A正确； 当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 当时，， 由于在上的单调性和在上的单调性相同， 且在上不单调，故在上不单调，故C错误； 令，解得， 又在区间上单调递增，则的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）已知，则________. 【答案】/0.2 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】由，可得， 所以. 故答案为：. 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 【答案】（答案不唯一） 【分析】将点代入，利用余弦函数的图象和性质，求值即可. 【详解】由题意：，. 所以，. 所以的值可以为：，，… 故答案为：（答案不唯一） 14．（本题5分）若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为_________. 【答案】 【分析】由题意可知或恒成立，数形结合，可知的图象不能在直线，即的同一侧，即可求得答案. 【详解】由题意知存在实数a，对任意的，都有恒成立， 即或恒成立； 在同一坐标系中，作出函数的图象如图： 由图象可知， 当时，要使不等式恒成立，，此时满足题意的实数有无数多个； 当时，要使不等式恒成立，只有； 当时，需使得的图象不能在直线，即的同一侧， 故此时需满足，综合可知，实数m的最大值为， 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和单调递增区间． 【答案】(1)列表: 0 图象如图所示： (2)值域为，递增区间为. 【分析】（1）完善表格，然后描点连线可得； （2）根据正弦函数的有界性和单调性，利用整体代入法可得. 【详解】（1）列表: 0 图象如图所示： （2）因为，则，即值域为. 由解得， 所以函数的递增区间为出 16．（本题15分）已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，若关于的方程在上恰有两个实数解，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，令可解出单调递增区间； （2）先求出解析式，求得在的值域，由恰有两个实数解，结合函数图象即可求出范围. 【详解】（1）. ，，∴，. 的单调递增区间为 （2） ∵，∴， ∴ 使有两个实数解，，∴. 的取值范围为. 17．（本题15分）已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值． (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，；， (3) 【分析】（1）先根据最值得出，再根据周期得出，最后代入点结合求值得出解析式； （2）应用换元法结合正弦函数最值求解； （3）先根据平移得出解析式，再结合正弦函数图象及方程的解列式计算求解. 【详解】（1）由图知，，函数的最小正周期满足， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是． （2）因为，所以， 则当时，即当时，， 当时，即当时，； （3）的图象向右平移个单位长度得到， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到. 由，可得， 因为在上有两个解，所以与在上有两个交点， 作出函数的图象. 由图知,，解得， 即a的取值范围为． 18．（本题17分）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 【答案】(1)最大高度为米，分；最小高度为米，分； (2)（ⅰ）分；（ⅱ）. 【分析】（1）利用正弦函数的性质求解. （2）（ⅰ）根据给定条件建立不等式，再解正弦函数不等式即可；（ⅱ）设出新的函数解析式，利用待定系数法求解. 【详解】（1）函数，中，， 当，即时，；当，即时，， 所以缆车运行过程中的最大高度为米，分；最小高度为米，分. （2）（ⅰ）由，得， 因为，所以或，解得或， 所以在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长为分. （ⅱ）依题意，改造后的函数解析式为， 由缆车的最大高度提升至800米，得，即， 由改造后缆车在时位于最低点，得，取， 则， 由，得， 改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，而函数的周期为20分钟， 因此的时间总长为缆车旋转半周的时间，而的时间总长为10， 则，解得，所以新的函数解析式. 19．（本题17分）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 【答案】(1)或，； (2)① ②函数的周期为，对称轴方程为或，最大值点为或. 【分析】（1）根据定义列出不等式即可求出； （2）通过解出，，即可求出的解析式，据此可得出周期、对称轴、最大值点. 【详解】（1）由新定义可得，，即， 解得，即 , 由正弦函数的性质可得或，. （2）①若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为，即或 ，解得， 综上，时，； ②若，由①可知，. . 函数图象如图， 函数的周期为，对称轴方程为或， 当或时，有最大值，即最大值点为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第7章 三角函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）下列函数中，以为周期的函数是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数 ，的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）定义在上的函数，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为， D．函数的单调递增区间为， 11．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．若在区间上单调递增，则的最大值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，则________. 13．（本题5分）已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 14．（本题5分）若存在实数a，对任意的，都有恒成立，则实数m的最大值为_________. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数 (1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； 列表： 作图： (2)直接写出函数的值域和单调递增区间． 16．（本题15分）已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图像向右平移个单位后，得到函数的图像，若关于的方程在上恰有两个实数解，求的取值范围. 17．（本题15分）已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值． (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围． 18．（本题17分）九江庐山风景区有一条著名的索道，游客乘坐缆车可从山脚直达山顶．为优化运营效率，景区管理人员根据缆车运行数据，发现缆车距离地面的高度（单位：米）随时间t（单位：分钟，以缆车从山脚出发时为）的变化可近似表示为，． (1)求缆车运行过程中的最大高度和最小高度，并指出达到最大高度和最小高度时对应t的值； (2)为保障游客安全，当缆车高度低于250米时，需开启应急照明系统． （ⅰ）求在缆车一次运行全程中，应急照明系统开启的时间总长； （ⅱ）景区计划对索道进行升级改造，将缆车的最大高度提升至800米，同时保持运行周期不变，且改造后缆车在时位于最低点．若改造后应急照明系统开启的时间总长为10分钟，求新的函数解析式． 19．（本题17分）若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． (1)若0比sinx远离，求x的取值范围； (2)已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $