第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷）数学沪教版高一必修第二册

第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．函数的单调递增区间为________. 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简，再结合余弦函数的性质求解. 【详解】， 令， 得， 故函数的单调递增区间为， 2．函数在区间上的最大值为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含cosx的二次式的最值 【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，即可求解． 【详解】函数， 因为，则 所以当时，取得最大值，最大值为1. 3．已知函数（）的最小正周期为，则____. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求正切（型）函数的周期 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，得到， 所以， 所以. 4．函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则_____________，_____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数的图象和性质求出，周期和，，进而求出函数解析式，再求出． 【详解】解析：由题图可知，， ，． 又，． 又图象过点，． 由题图可知，． ，． ，． ． 故． 故答案为：； 5．关于函数，有下列命题： ①为偶函数； ②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度； ③的图象关于直线对称； ④在内的增区间为和．其中正确命题的序号为______． 【答案】②③ 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】①：利用偶函数的性质，结合诱导公式进行判断即可；②：利用正弦型函数图象的变换性质进行判断即可；③：利用正弦型函数的对称性进行判断即可；④：利用正弦型函数的单调性进行判断即可. 【详解】①：因为函数，所以， 令 因为 所以不是偶函数，所以本说法不正确； ②：将的图象向右平移个单位长度，得到 的图象，所以本说法正确； ③当时， ， 所以的图象关于直线对称，所以本说法正确； ④：， 因为， 所以令，得，而，所以增区间为； 令，得，而，所以增区间为； 令，得，而，所以增区间为 在内的增区间有三个，所以本说法不正确； 故答案为：②③ 6．已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求正切型三角函数的单调性、由图象确定正切（型）函数解析式 【分析】根据给定条件，结合函数图象求出的解析式，再按和分类去绝对值符号化简函数解析式，结合正切函数单调性分析求解. 【详解】由，得函数的最小正周期，解得， 由图象得，且，则，， 当时，，，则， 当时，，，则， 由函数在不单调，得，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 7．设函数，的图象如图所示，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数图象求得，进而根据函数周期性求解即可. 【详解】由图可知，，周期满足：，， 所以，，，即， 所以， 所以， 所以, 所以 故答案为： 8．已知函数的部分图像如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______. 【答案】 2 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】先根据|MN|与周期的关系求出；再利用图象过的点求出；最后将代入函数求. 【详解】已知，是直线与曲线的两个相邻交点，且. 设则，且， 则，则，同理， 因此，解得， 因为函数的图象过点，可得， 所以，，则，， 由于，则，那么， 将代入可得：. 故答案为：2； . 9．记函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为_____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由，可得，由，可得， 据此可得，从而可得答案. 【详解】因为，且，所以． 且，所以直线是曲线的一条对称轴， 所以，解得，且， 所以，因为，解得，此时， 则，且，所以， 因在上单调递增，在上单调递减， 则，， 从而在上的值域为. 故答案为：. 10．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 【答案】 （答案不唯一）. 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、和差化积公式 【分析】由三角函数的图像变换，求得，得到，根据，得到，求得，进而得到的最小值；再由的最大值为，得到，求得，得到答案. 【详解】将函数的图像向左平移个单位长度， 得到， 则， 因为，可得，所以， 解得，因为，所以的最小值为， 若的最大值为，即，即，所以， 所以的一个取值可以为. 故答案为：；（答案不唯一）. 11．将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】利用图象的平移变换得，结合条件得在区间上没有对称轴，从而得，即可求解. 【详解】由题意知， 由，得，由题意知在区间上没有对称轴， 则，即， 解得，由，得，又， 当时，；当时，；当时无解， 综上所述，. 故答案为：. 12．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何中的三角函数模型、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角函数的定义表示出点，，在直角三角形中表示出，进而得出，最后写出矩形的面积表达式，利用三角恒等变换化简从而得到最大值. 【详解】设点，，因为，所以，， 所以矩形的面积， ， 因为，所以.， 所以， 所以矩形的面积的最大值为. 故答案为： 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.64 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】写出平移后函数解析式，由函数图象关于轴对称知函数为偶函数，结合诱导公式可得的表达式，然后可得最小正值． 【详解】将函数的图像向右平移个单位， 所得图象对应的解析式为， 因为所得图象关于y轴对称，所以所得函数为偶函数， 因此， 解得，故的最小正值是． 14．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用正弦型函数的单调性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【详解】当时，， 令，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在为单调递增函数， 所以当时，函数在区间上单调递增，即充分性成立； 反之：当时，可得， 又由正弦函数的单调递增区间为， 要使得函数在区间上单调递增，则满足， 即，且，解得，所以必要性不成立， 综上可得：“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 15．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．点是图象的一个对称中心 C．若，则的值域为 D．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【详解】设函数的最小正周期为， 由题图及五点作图法得，，则，又， 所以，所以， 又，即，又，则，故. 对于C，当时，的值域为，故C错误； 对于A，由知在上不单调递增，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于D，，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，故D正确. 16．已知函数，且，已知的值域为，若在区间上恰有3个零点，则正实数的一个可能取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据题意分、两种情况，结合整体法处理正弦型函数零点问题求解即可． 【详解】解：的值域为，， ①当时，，即， 又，， ， ，，， 又在区间上恰有3个零点， ， 解得； ②当时，，即， 又，， ， ，，， 又在区间上恰有3个零点， ， 解得； 综上，或． 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数的最大值为. (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 【答案】(1)最小正周期为；. (2) (3). 【难度】0.5 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质即可求解； （2）利用正弦函数的单调性求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【详解】（1）， 此时函数的最小正周期， 因为的最大值为，且函数的最大值为，所以， 解得. （2）由（1）可知， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）由，得， 即，所以， 解得， 因此，满足的的取值集合为. 18．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 【答案】(1)； (2)4s 【难度】0.55 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据最低点和最高点位置解方程组可得，再由周期性计算可得，的值； （2）令解不等式，由正弦函数单调性可得，可求出点P距离地面的高度不低于100米的时间. 【详解】（1）根据意义可知，即，解得； 因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为s，，所以； 由点P的起始位置在最低点处，即可知时，， 即，可得，又，所以. （2）由（1）可知； 令，可得，即， 因此可得 由题意可得，所以， 因此或， 解得，所以； 即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米. 19．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)（） (3)的最大值为1，． 【难度】0.68 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期定义求解； （2）由“整体法”求单调区间即可； （3）根据所给已知条件，利用“整体法”求解最大值及． 【详解】（1） ， 所以最小正周期． （2）由（），解得：（）， 故函数的单调递增区间是（）． （3）由，得，所以 当，即时，取得最大值1． 20．已知函数的最小正周期为，最大值为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)；， (2) 【难度】0.63 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用已知函数的性质求参数，再由正弦型函数的性质求对称中心； （2）经过变换得到解析式，将零点问题转化成交点问题求解. 【详解】（1）由，得 ，而，得. 所以由，得，而， 所以，则. 由解得，， 所以的对称中心为，. （2）将的图象向左平移个单位，得到函数 ，再将所得图象上各点 的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数. 由函数在区间上有两个不同的零点，即 在区间上有两个不同的交点. 而时单调递增，时单调递减， 且，， ，所以有. 21．已知函数同时满足下列3个条件中的2个．这3个条件为： ①；②；③0是函数的一个零点. (1)直接写出满足题意的2个条件的序号，并求出的值： (2)设，若函数在上无最小值，求的取值范围． 【答案】(1)满足①③， (2) 【难度】0.75 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）假设函数同时满足①②，运用正弦型函数的对称性和最值性质进行运算判断即可； 假设函数同时满足①③，运用正弦型函数的对称性和零点的定义进行运算判断即可； 假设函数同时满足②③，运用正弦型函数的最值性质和零点的定义进行运算判断即可； （2）运用两角差的正弦公式、降幂公式、辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，根据正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）若函数同时满足①②： 因为，所以函数的一个对称中心为， 所以，所以， 所以，因为，所以令，得，即， 显然函数的最大值为， 因为，所以 不恒成立， 所以函数不能同时满足①②； 若函数同时满足①③： 由上可知满足①时，， 因为， 所以0是函数的一个零点，所以函数可以同时满足①③； 若函数同时满足②③： 因为，所以当时，函数有最大值， 所以有， 因为，所以令，得，即， 因为， 所以0不是函数的一个零点，所以函数不能同时满足②③； （2）由（1）可知：， ， 当时，， 因为，且函数在上无最小值， 所以， 所以的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．） 1．函数的单调递增区间为________. 2．函数在区间上的最大值为__________． 3．已知函数（）的最小正周期为，则____. 4．函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则_____________，_____________． 5．关于函数，有下列命题： ①为偶函数； ②要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度； ③的图象关于直线对称； ④在内的增区间为和．其中正确命题的序号为______． 6．已知函数的部分图象如图所示，其中，函数在不单调，则a的取值范围为______． 7．设函数，的图象如图所示，则________． 8．已知函数的部分图像如图所示，其中M，N是直线与曲线的两个相邻交点.若，则______，______. 9．记函数的最小正周期为，且，，则在上的值域为_____________． 10．将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为________；若的最大值为，则的一个取值为____________． 11．将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数的图象，若不存在使得，则的取值范围是______. 12．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形面积的最大值为___________． 二、单选题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分．） 13．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．点是图象的一个对称中心 C．若，则的值域为 D．的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 16．已知函数，且，已知的值域为，若在区间上恰有3个零点，则正实数的一个可能取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数的最大值为. (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 18．为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足（，，），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处. (1)求A，，，b； (2)在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？ 19．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)当时，求的最大值以及取得最大值时的值． 20．已知函数的最小正周期为，最大值为. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.设函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围. 21．已知函数同时满足下列3个条件中的2个．这3个条件为： ①；②；③0是函数的一个零点. (1)直接写出满足题意的2个条件的序号，并求出的值： (2)设，若函数在上无最小值，求的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $