第7章 三角函数（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第7章 三角函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下面与终边相同的角是（      ） A． B． C． D． 2.下列函数中，最小正周期为π的函数是（  ） A． B． C． D． 3.已知，则（  ） A． B． C． D． 4.已知，，则（ ） A. B. C. D. 5.已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 是增函数 D. 6.已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 7.如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（  ） A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min 8.若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有（  ） A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知且，下列说法正确的是（  ） A. B. C. D. 10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 11.对于函数，下列说法正确的是（  ） A.该函数的最小值为； B.该函数是以为最小正周期的周期函数； C.当且仅当（）时，该函数取得最大值； D.当且仅当（）时，． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 13.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是 ． 14. 将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． (1)求的值； (2)求点B的坐标． 16.设函数与在区间上的图象交于点. （1）求、； （2）若，求的值. 17.已知函数的图象如图所示. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18.已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 19.对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 三角函数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下面与终边相同的角是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由终边相同的角求出最小正角和最大负角即可求解. 【解析】与终边相同的角可以表示为， 当时，为与终边相同的最小正角； 当时，为与终边相同的最大负角， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 2.下列函数中，最小正周期为π的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的周期公式即可判断AC；作出函数的图象，结合周期的定义即可判断BD. 【解析】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意； 对于B，作出函数的图象，    由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意； 对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意； 对于D，函数，其图象如图，    由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意. 故选：B. 3.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化成“齐次式”求解. 【解析】由 . 所以 . 故选：B. 4.已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】先判断，利用平方关系求出的值，再利用诱导公式化简求解即可. 【解析】因为，所以 又因为，所以， 所以， ， 故选：A. 5.已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 是增函数 D. 【答案】D 【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解． 【解析】对A：由，函数的最小正周期为，故A错误； 对B：由，，解得， 所以的定义域为，故B错误； 对C：，，解得，， 所以函数在，上单调递增，故C错误； 对D：由C知当时，在上单调递增，所以，故D正确； 故选：D. 6.已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可得在内有解，令，利用二次函数的性质即可求出. 【解析】方程在内有解，即在内有解， 令，，则， 所以，解得. 故选：C. 7.如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（  ） A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min 【答案】B 【分析】如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴，与垂直的向右的方向为轴建立坐标系，设时点距离底面的高度为，由题意得，，周期，求出函数解析式，令，解不等式继而可求解. 【解析】 如图，以点在地面的投影点为坐标原点，所在直线为轴， 与垂直的向右的方向为轴建立坐标系， 设时点距离底面的高度为， 由题意得，，周期， 所以， 所以，即， 可得，令，则， 所以， 令，即， 所以，解得， 令，则， 所以在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为. 故选：. 8.若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有（  ） A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【答案】C 【分析】在同一坐标系中画出函数与函数交点个数可得答案. 【解析】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称， 所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数， 即函数与的图象的交点个数， 作出函数与的图象，如图所示:    可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对. 故选:C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【分析】根据同角三角关系可得，进而分析判断. 【解析】因，解得或， 且，则，可得. 可得，，，， 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 10.已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 若、，且，则 D. 把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数为偶函数 【答案】ACD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性求出的值，代值计算可判断C选项；利用三角函数图象变换结合余弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【解析】对于A选项，由图可知，， 函数的最小正周期满足，可得，则， 则， 又因为，可得， 因为，则，所以，，可得， 所以，，A对； 对于B选项，当时，， 所以，在上不单调，B错； 对于C选项，当时，，由可得， 所以函数在区间内的图象关于直线对称， 若、，且，则， 所以，C对； 对于D选项，把的图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象， 再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则为偶函数，D对. 故选：ACD. 11.对于函数，下列说法正确的是（  ） A.该函数的最小值为； B.该函数是以为最小正周期的周期函数； C.当且仅当（）时，该函数取得最大值； D.当且仅当（）时，． 【答案】ABD 【分析】利用图象逐一判断选项即可. 【解析】依题意，， 则， ，因此函数为周期函数，是的一个周期， 作出函数的图象（图中实线），如图： 观察函数图象，得： 对于B，函数的最小正周期为，B正确； 对于A，函数的最小值为，A正确； 对于C，当且仅当或时，函数取得最大值，C错误； 对于D，当且仅当时，，D正确. 所以所有正确结论的序号是BD. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边的一点，且，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义列方程，求解即得. 【解析】由已知，， 所以， 所以，且， 解得. 故答案为：. 13.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是 ． 【答案】 【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积. 【解析】 可得：扇形面积， 三角形面积， 可得弓形面积， 故答案为： 14. 将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【解析】函数的最小正周期为， 将函数向右平移后的解析式为， 由，可得， 要使得平移后的图象有个最高点和个最低点，则需：，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边，分别与单位圆交于点A，B，已知，，，且点A的纵坐标为． (1)求的值； (2)求点B的坐标． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由点坐标可直接写出、、，然后由诱导公式化简代数式后代入对应值即可求得结果； （2）利用诱导公式即可得到、，即可得到点B的坐标. 【解析】（1）由题意可知：，则，，， 所以 （2）由题意可知， ∴， ， ∴. 16.设函数与在区间上的图象交于点. （1）求、； （2）若，求的值. 【答案】（1）， ;（2） 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系可得出关于的方程，由已知可得出，解出的值，可得出的值，进而可得出的值； （2）由已知可得出，利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值. 【解析】（1）由题意可得，则， 即，整理可得， 即， 因为，则，解得， 所以，，, （2）因为， 所以， . 17.已知函数的图象如图所示. （1）求函数的对称中心； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心. （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，， 则，. 所以的对称中心为，. （2）由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 18.已知函数（，）的最大值和最小正周期相同，的图象过点，且在区间上为增函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上只有4个零点，求b的最大值. 【答案】；（2） 【分析】（1）根据条件求得的解析式. （2）利用三角函数图象与性质即可求得 【解析】（1）函数的最大值是2，,函数的周期， 即， ，且，或， 当时，，当时，，满足条件； 当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，所以舍去， 所以函数； （2），得， ，解得：， 或，解得：， 函数在区间上只有4个零点， 这四个零点应是，，，， 那么的最大值应是第5个零点，即， 所以的最大值是. 19.对于定义在R上的连续函数，若存在常数t（），使得对任意的实数x都成立，则称是阶数为t的回旋函数． (1)试判断函数是否是一个阶数为的回旋函数，并说明理由； (2)若是回旋函数，求实数ω的值； (3)若回旋函数（）在[0，1]上恰有2024个零点，求ω的值． 【答案】(1)不是，理由见解析;(2)，;(3) 【分析】（1）代入题目给的定义求解即可， （2）求解分 讨论即可， （3）求解讨论得 【解析】（1）因为， 所以， 所以不恒成立， 所以函数不是一个阶数为的回旋函数． （2）设是阶数为t的回旋函数，则， 若，上式对任意实数x均成立； 若，， 因为的值域为，所以， 当时，对任意实数x有， 则，， 所以，； 当时，对任意实数x有， 则，，所以，． 综上所述，，． （3）因为对任意的x都成立， 由（2）可知，，， 所以． 令，解得（）． 因为函数在[0，1]上恰有2024个零点，所以，所以． 又因为，所以，所以． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $