高中数学单元测试——第6章幂函数、指数函数和对数函数（较易版02）

**基本信息** 聚焦幂函数、指数函数和对数函数单元核心知识，通过基础巩固与素养导向设计，适配单元复习检测，助力数学思维与应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|幂函数定义（题1）、定义域（题2）、函数图像（题5）|基础概念辨析，突出数学抽象能力| |多选题|3/18|函数奇偶性与单调性（题10）、不等式性质（题9）|多角度考查逻辑推理，体现数学思维严谨性| |填空题|3/15|反函数（题12）、单调性参数范围（题13）|强调知识迁移，培养数学眼光| |解答题|5/77|实际应用（森林砍伐问题，题18）、函数最值与不等式（题19）|结合现实情境，突出数学语言表达与模型意识，贴合真题命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题目条件求出幂函数的表达式，再代入值即可求解． 【详解】幂函数的一般形式为（为常数），所以， 解得，故幂函数解析式为， ． 故选：B． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数定义域计算求解. 【详解】因为，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）函数的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令知，由此可得定点. 【详解】当时，， 所以的图象恒过定点. .故选：D. 4．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 5．（本题5分）若，则函数与，且在同一坐标系上的部分图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况分别根据指数函数图象和对数函数图象可得选项. 【详解】解：当时，函数为增函数，且图象过点，向右和x轴无限接近，函数，且为增函数，且图象过点，向左和y轴无限接近，此时B选项符合要求， 当时，函数为减函数，且图象过点，函数，且为减函数，且图象过点，向左和y轴无限接近，此时无满足条件的图象. 故选：B. 6．（本题5分）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义及指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为奇函数， 又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：A 7．（本题5分）已知，且的值域是，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知和对数函数及一次函数的单调性，分、讨论求解即可． 【详解】当时，为增函数，此时； 若，则时，为减函数，此时， 则函数的值域不可能为，舍去； 若，则时，为增函数，此时， 要使的值域是，需满足，解得，则. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据取大函数的定义，取值判断ABD；分段推理判断C. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，，当时，， 对于A，，而，A错误； 对于B，，而，B错误； 对于C，当时，，由，得， 函数在R上是增函数，则； 当时，由，得，则，C正确； 对于D，，而，D错误. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断A选项；利用对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用指数函数和幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，因为，则，且对数函数为增函数， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，因为，则， 因为指数函数为减函数，幂函数在上为增函数， 所以，，D对. 故选：ABD. 10．（本题6分）设，则（    ） A．为偶函数 B．值域为 C．在上是减函数 D．在上是增函数 【答案】AC 【分析】根据指数函数的图象与性质，依次判断选项即可. 【详解】函数定义域为，， 所以函数为偶函数，故A正确； 当时，， 结合指数函数的性质知在上是减函数，故C正确，D错误， 由的值域为，得函数的值域为，故B错误. 故选：AC 11．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式求解定义域，利用复合函数的单调性求解单调区间及最值，利用单调性解对数不等式即可. 【详解】因为， 由，解得，所以的定义域是，故A正确； 的对称轴为：， 所以在上单调递增，在上单调递减； 在单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值为，故B，D正确； ，即，所以， 所以，解得，故C错误. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【答案】3 【分析】利用反函数的概念计算即可. 【详解】易知函数与的图象关于直线对称， 即上一点，则有在上， 设，则，解得. 故答案为：3 13．（本题5分）函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 14．（本题5分）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据存在性和任意性的定义，结合二次函数和指数函数的最值性质进行求解即可. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 16．（本题15分）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，在上单调递减 【分析】（1）对于求的解析式，我们可以通过换元法，将换为来求解.（2）对于求函数单调性，当时，先求出的表达式，再根据对数函数的性质以及复合函数单调性的判断方法（同增异减）来求解. 【详解】（1）设，则. 已知，将代入可得： 所以. （2）当时，. 先求函数的定义域，令，即，解得或. 对于二次函数，其对称轴为. 当时，二次函数单调递减，因为对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递增. 当时，二次函数单调递增，对数函数在上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则，此时单调递减. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 17．（本题15分）已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）因式分解得到，结合，得到，求出解集； （2）变形得到，，结合函数对称轴，分两种情况，由函数最小值列出方程，求出m的值. 【详解】（1）时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为， 令，因为， 所以，（当且仅当时取得等号） 则，， ①当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为-3． 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）；（2）5；（3）15． 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， ，，； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 19．（本题17分）已知函数的最小值为3． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）解原不等式可得，即，利用对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以， 因为的最小值为3， 所以， 解得，故的值为2； （2）对于不等式，令，则， 解得， 则，所以，即或， 解得或， 所以不等式的解集是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的图象恒过的定点是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若，则函数与，且在同一坐标系上的部分图象只可能是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 7．（本题5分）已知，且的值域是，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．（本题5分）定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（本题6分）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设，则（    ） A．为偶函数 B．值域为 C．在上是减函数 D．在上是增函数 11．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 13．（本题5分）函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 14．（本题5分）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 16．（本题15分）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)若，求的单调性. 17．（本题15分）已知函数，． (1)若，解关于的不等式； (2)若函数的最小值为-4，求m的值． 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 19．（本题17分）已知函数的最小值为3． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $