高中数学单元测试——第6章幂函数、指数函数和对数函数（适中版01）

**基本信息** 高中数学第6章幂函数、指数函数和对数函数单元复习卷，覆盖核心概念与性质，通过基础题巩固知识、能力题提升思维、应用题强化建模，适配单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|幂函数定义、指数函数定点、函数奇偶性|结合图像辨析（如第5题），基础与辨析并重| |多选题|3/18|指数对数运算、函数单调性|多维度考查性质（如第11题定义域与单调性）| |填空题|3/15|反函数、含参单调性、不等式存在性|聚焦易错点（如第13题参数取值范围）| |解答题|5/77|幂函数奇偶性、函数建模（森林砍伐）、含参最值|实际情境应用（第18题）与逻辑推理（第19题）结合，体现数学思维与建模素养|

高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 8．（本题5分）定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 11．（本题6分）已知，下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B． C．在为减函数 D．不等式的解集为 三、填空题 12．（本题5分）函数的反函数为，则___________. 13．（本题5分）若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是______ 14．（本题5分）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数的值域． 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 17．（本题15分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 19．（本题17分）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出函数解析式，代入可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以， 解得，所以. 故选：D. 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象过定点可得答案. 【详解】，故函数恒过定点. 故选：D. 4．（本题5分）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数函数的单调性，将其与比较即得的大小关系. 【详解】， 故. 故选：C. 5．（本题5分）已知（且且），则函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足， 当时，，函数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图象可能是B. 故选：B． 6．（本题5分）设函数，则（    ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】C 【分析】先利用奇偶函数的定义，判断出的奇偶性，再由指数函数的性质，即可求解. 【详解】易知的定义域为，又，所以是偶函数， 当时，，易知在区间单调递增， 故选：C. 7．（本题5分）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据取大函数的定义，取值判断ABD；分段推理判断C. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 当时，，当时，， 对于A，，而，A错误； 对于B，，而，B错误； 对于C，当时，，由，得， 函数在R上是增函数，则； 当时，由，得，则，C正确； 对于D，，而，D错误. 故选：C 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 10．（本题6分）已知函数，则（    ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数 【答案】AC 【分析】求函数的奇偶性可判断AB；分离参数可得，根据指数函数的值域可判断C；根据单调性的定义可判断D. 【详解】的定义域为，，则， 所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误； ，因为,所以,， 所以,故的值域为,C正确； 设,则 , 因为，所以， 所以,即， 所以函数是增函数，故D错误， 故选:AC. 11．（本题6分）已知，下列说法正确的是（    ） A．函数定义域为 B． C．在为减函数 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】对于A，求得函数定义域为即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断. 【详解】对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误； 对于B，因为， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，B正确； 对于C，令，则在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 所以在上为减函数，C正确； 对于D，，令， 当时，解得或，所以或， 当时，，所以无实数解， 所以不等式的解集为，D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）函数的反函数为，则___________. 【答案】12 【分析】根据反函数的性质即可求解. 【详解】由可得，所以， ， 故答案为：12 13．（本题5分）若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题意可知在上单调递减，因此每一段函数必须为减函数且在断开处也满足减函数定义才行. 【详解】因为，所以， 所以在上单调递减， 所以, 解得, 故答案为：. 14．（本题5分）设，若存在使不等式成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】设，则，，然后根据得出，最后根据题意得出存在，使得成立，进而结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】设，则，， 因为，所以， 不等式，即， 则存在，使得成立， 而函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， 则时，，所以， 即实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为奇函数． （1）求实数m的值； （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据幂函数的定义可得，即可解得或5，根据为奇函数，即可确定m的值. （2）由（1）可得，，令，，利用换元法，即可求得的值域，即可得答案. 【详解】（1）∵函数为幂函数， ，解得或5， 当时，，为奇函数， 当时，，为偶函数， 函数为奇函数，； （2）由（1）可知，，则，， 令，则，， 则，， 函数为开口向下，对称轴为的抛物线， 当时，函数， 当，函数取得最大值为1， 的值域为，故函数的值域为． 【点睛】解题的关键是熟练掌握幂函数的定义，换元法求值域等知识，易错点为换元后，需写出t的范围，再根据t的范围，进行求值计算，属基础题. 16．（本题15分）已知函数. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再计算，即可证明； （2）首先判断函数的单调性，根据单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 又， 所以函数是定义在上的奇函数. （2）因为， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 不等式，即，即，即， 解得， 所以的取值范围为. 17．（本题15分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）；（2）5；（3）15． 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， ，，； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 19．（本题17分）已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得函数在上的最大值为，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，使得结论成立，理由如下： 首先要使函数在上有意义，需，所以， 易知函数在上的最大值必在端点处产生， 故只需，或， 由①得或，由②得，又，故无解，舍去； 由④得或，由③得，又，故无解，舍去； 综上可知，不存在使结论成立． 【分析】（1）结合对数函数性质化简不等式，再求其解； （2）令，条件可转化为即在上有解，进一步转化为，根据基本不等式求的最小值可得结论； （3）结合对数函数性质可得，结合条件列不等式，解不等式确定满足条件的不存在. 【详解】（1）（1）因为，， 所以不等式可化为， 又是增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为； （2）由题意令，因为，所以， 所以不等式在上有解， 即在上有解， 分离参数得， 所以在上有解， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $