高中数学单元测试——第6章幂函数、指数函数和对数函数（较难版02）

**基本信息** 高中数学第6章幂函数、指数函数和对数函数单元复习卷（较难版），覆盖函数定义、性质、图像及应用，通过基础巩固与综合应用题梯度设计，培养抽象能力、推理意识与应用意识，适配单元知识整合与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、定点、大小比较、图像辨析|如第5题图像辨析，考查几何直观（数学眼光）| |多选题|3/18|奇偶性、单调性、值域|如第10题综合函数性质判断，培养推理能力（数学思维）| |填空题|3/15|对称性、单调性参数、存在性问题|第14题存在性问题，强化逻辑推理| |解答题|5/77|幂函数性质、指数函数应用、实际问题|第18题森林砍伐问题，结合生态保护情境，体现数学应用（数学语言）|

高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．（本题5分）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，设，则下列函数是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数的定义域为，若，都有，则称函数为“距”增函数．若函数，且是上的“3距”增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．不等式的解集是 B．，都有 C．是R上的递减函数 D．的值域为 11．（本题6分）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若，则不等式的解集为 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 13．（本题5分）若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是______ 14．（本题5分），，若，，使得，则实数的最大值是______． 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 16．（本题15分）已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 17．（本题15分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 19．（本题17分）已知函数. (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第6章 幂函数、指数函数和对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 2．（本题5分）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的真数大于，分母不为及偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 3．（本题5分）函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的图象过定点可得答案. 【详解】，故函数恒过定点. 故选：D. 4．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，且对数函数在上单调递增， 所以，即. 又， 所以. 5．（本题5分）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断． 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 6．（本题5分）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，设，则下列函数是偶函数且在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性判断函数奇偶性，再根据奇偶函数性质，结合复合函数的单调性逐项判断即可 【详解】对于选项A，令，则，所以是奇函数，所以A错误； 对于选项B，令，则，所以是偶函数，因为当时，，由复合函数单调性知，在上是减函数，所以B正确； 对于选项C，令，则，所以是偶函数，因为当时，，由复合函数单调性知，在上是增函数，所以C错误； 对于选项D，令，则，所以是偶函数，因为当时，，所以，由复合函数单调性知，在上是增函数，所以D错误． 故选：B． 7．（本题5分）设且，函数f（x）＝的定义域为R．若的值域为，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数值域结合分段函数特征及对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】若，则的取值范围是． 当时，，分两种情形讨论： 若，则在单调递增，相应的取值范围是， 因此要使的值域是，应当有，两端都取a为底可得，解得． 当，则在单调递减，相应的取值范围是，此时无法满足的值域是，故舍去． 综上可得． 8．（本题5分）已知函数的定义域为，若，都有，则称函数为“距”增函数．若函数，且是上的“3距”增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，当时，恒成立，分，两种情况可求得实数的取值范围. 【详解】函数，且是上的“3距”增函数， 当时，恒成立． 又为增函数，． 当时，，即恒成立， 于是，解得； 当时，，即恒成立， 整理得，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：B． 二、多选题 9．（本题6分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数单调性可判断A项，由幂函数单调性可判断B项，运用作差法及对数函数性质可判断C项，运用作差法及不等式性质可判断D项. 【详解】对于A项，因为是减函数，而，所以，故A项正确； 对于B项，因为在上单调递增，而，所以，故B项正确； 对于C项，，因为，，，所以，即，故C项错误； 对于D项，，因为，，，所以，即，故D项正确. 故选：ABD. 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．不等式的解集是 B．，都有 C．是R上的递减函数 D．的值域为 【答案】AD 【分析】由题意可得，利用绝对值不等式、指数不等式的解法计算即可判断A；利用奇偶函数的定义计算即可判断B；举例说明即可判断C；根据指数型函数的值域的求法计算即可判断D. 【详解】A：，由，得，即， 得，解得，即原不等式的解集为，故A正确； B：，故B错误； C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误； D：由知，即函数的值域为，故D正确. 故选：AD 11．（本题6分）已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 C．若函数的值域为，则实数 D．若，则不等式的解集为 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件，将问题转化成恒成立，即可求解；对于B，利用对数函数与二次函数的性质，结合复合函数的单调性，即可求解；对于C，利用复合函数的单调性，即可求解；对于D，利用对数函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以恒成立， 当时，上式不等式为，显然不恒成立； 当时，则，解得，故A正确； 对于B，因为函数在区间上为增函数， 所以当时，，符合题意； 当时，，解得； 综上，，故B错误； 对于C，因为的值域为，所以的最小值为， 显然，否则没有最小值， 所以，解得，故C正确； 对于D，当时，， 由，可得，解得，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（本题5分）若函数与的图象关于直线对称，则为______. 【答案】3 【分析】利用反函数的概念计算即可. 【详解】易知函数与的图象关于直线对称， 即上一点，则有在上， 设，则，解得. 故答案为：3 13．（本题5分）若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题意可知在上单调递减，因此每一段函数必须为减函数且在断开处也满足减函数定义才行. 【详解】因为，所以， 所以在上单调递减， 所以, 解得, 故答案为：. 14．（本题5分），，若，，使得，则实数的最大值是______． 【答案】2 【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由，，使得，可知； 因为在上单调递减，则； 又因为的定义域为， 且在上单调递增，位增函数， 所以在上单调递增，则； 可得，解得：， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 16．（本题15分）已知函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由对数的单调性解不等式求解集； （2）讨论、，根据对数复合函数的单调性求最值，结合已知求参数值. 【详解】（1）由题设，则，可得， 所以，不等式解集为. （2）令在上递增， 当，则在定义域上递减，此时在上递减， 则； 当，则在定义域上递增，此时在上递增， 则； 所以或. 17．（本题15分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 18．（本题17分）一片森林原来面积为2014万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的． （1）求每年砍伐面积的百分比； （2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？ 【答案】（1）；（2）5；（3）15． 【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为，由指数函数的性质列式求解； （2）由求解可得； （3）由求解可得． 【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得； （2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则， ，，； （3）设今后最多还能砍伐年， 则， ，，． 答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年． 【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，设百分比为，那么年后，剩余量为．抓住这个模型，通过解指数方程、指数不等式可得． 19．（本题17分）已知函数. (1)写出函数的定义域并判断其奇偶性； (2)若，求实数的取值范围. (3)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)定义域为，偶函数 (2) (3). 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，由不等式，得出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为，结合对数型函数的单调性，求得，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上偶函数. （2）解：由函数， 可得， 又由，可得，解得， 即实数的取值范围为. （3）解：若存在使得不等式成立，即， 由，其中， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 可得，所以，即， 所以实数的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $