第5章 函数概念与性质 章末检测 -2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦函数概念与性质，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，覆盖定义域、单调性、奇偶性等核心知识点，适配高中数学单元复习，助力数学思维与应用意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义域、单调性判断等|基础概念辨析，如第1题定义域求解| |多项选择|3/18|奇偶性、分段函数性质|综合判断，如第10题奇函数性质应用| |填空题|3/15|函数性质开放题、新定义|含开放型（第12题单调递减奇函数）与最值问题| |解答题|5/77|函数奇偶性证明、实际应用、新定义|如第19题“倒域区间”新定义探究，第17题生产利润实际应用，体现创新与数学建模|

章末检测（五）　函数概念与性质 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）＝＋的定义域是（　　） A.[－1，＋∞） B.（－∞，0）∪（0，＋∞） C.[－1，0）∪（0，＋∞） D.R 2.已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则该函数的减区间为（　　） A.（－3，－1）∪（1，4） B.（－5，－3）∪（－1，1） C.（－3，－1），（1，4） D.（－5，－3），（－1，1） 3.函数f（2x＋1）＝x2－3x＋1，则f（3）＝（　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（　　） A.y＝ B.y＝－x3 C.y＝x2 D.y＝x＋2 5.已知函数f（x）＝若f（－a）＋f（a）≤0，则实数a的取值范围是（　　） A.[－1，1] B.[－2，0] C.[0，2] D.[－2，2] 6.函数y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜的最小值为（　　） A.0 B.1 C. D.2 7.若函数y＝f（x）的图象如图所示，函数y＝f（2－x）的图象为（　　） 8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　） A.（4，＋∞） B.（0，4） C.（0，2） D.（2，＋∞） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域为R B.f（x）的值域为R C.f（x）为奇函数 D.f（x）为增函数 10.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2＋x，则下列说法正确的是（　　） A.f（－2）＝－6 B.f（x）在定义域R上为增函数 C.当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x2－x D.不等式f（x－1）＜6的解集为（－∞，3） 11.已知函数f（x）＝，m∈R，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B.f（x）是奇函数 C.当m＝0时，f（x）与y＝x为同一个函数 D.当m＝1时，｜f（x）｜的最小值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.写出一个单调递减的奇函数　　　　. 13.记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min{x1，x2，…，xn}，则min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的最大值为　　　　. 14.已知函数f（x）＝则函数f（x）是　　　　　函数（填奇偶性）；若f（f（a））＜f（f（－3）），则实数a的取值范围为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x2＋（x≠0）. （1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）若f（1）＝2，试判断f（x）在[2，＋∞）上的单调性. 16.（本小题满分15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0. （1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系； （2）若f（1＋m）＋f（3－2m）≥0，求实数m的取值范围. 17.（本小题满分15分）某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是万元. （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； （2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 18.（本小题满分17分）已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3. （1）若f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围； （2）在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围. 19.（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数f（x）的取值区间恰为［，］，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”.已知定义在[－2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝－x2＋2x. （1）求g（x）的解析式； （2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”； （3）求函数g（x）在定义域内的所有“倒域区间”. 章末检测（五）　函数概念与性质 1.C　要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C. 2.C　在某个区间上，若函数y＝f（x）的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为（－3，－1），（1，4）. 3.A　设2x＋1＝3，得x＝1，则f（3）＝1－3＋1＝－1.故选A. 4.B　对于A，y＝为奇函数，在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，在定义域内不是减函数，所以A不合题意；对于B，y＝－x3为奇函数，在定义域R上为减函数，所以B符合题意；对于C，y＝x2为偶函数，所以C不合题意；对于D，由于y＝x＋2为非奇非偶函数，所以D不合题意.故选B. 5.D　依题意，可得或 或 解得－2≤a≤2.故选D. 6.B　y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜＝由于y＝4－3x在（－∞，1）上单调递减，y＝x在[1，2]上单调递增，y＝3x－4在（2，＋∞）上单调递增，故y＝｜x－2｜＋｜2x－2｜在x＝1处取得最小值，最小值为1.故选B. 7.C　函数y＝f（x）的图象先关于y对称可得函数y＝f（－x）的图象，再向右平移2个单位长度得函数y＝f[－（x－2）]的图象，即y＝f（2－x）的图象.故选C. 8.C　由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，不等式f（x）－＞0，即＞0，等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又由f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8的解集为（0，2）.故选C. 9.ACD　根据分段函数的定义可知，f（x）的定义域为R，选项A正确；f（x）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选A、C、D. 10.ABD　因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2＋x，所以当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2＋（－x）]＝－x2＋x，所以选项C不正确；因为f（－2）＝－（－2）2＋（－2）＝－6，所以选项A正确；二次函数f（x）＝x2＋x的对称轴为x＝－，所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递增，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，而f（x）是奇函数，它的图象关于原点对称，所以f（x）在定义域R上为增函数，因此选项B正确；因为f（x）是奇函数，f（－2）＝－6，所以f（2）＝6，于是由f（x－1）＜6⇒f（x－1）＜f（2）⇒x－1＜2⇒x＜3，所以选项D正确.故选A、B、D. 11.ABD　要使函数f（x）＝有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；因为f（－x）＝＝－＝－f（x），且f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）是奇函数，故B正确；当m＝0时，f（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），而y＝x的定义域为R，定义域不同，所以f（x）与y＝x不是同一个函数，故C错误；当m＝1时，｜f（x）｜＝｜｜＝＝｜x｜＋≥2＝2，当且仅当｜x｜＝即x＝±1时等号成立，故D正确.故选A、B、D. 12.f（x）＝－x（答案不唯一）　解析：f（x）＝－x，在定义域R上是减函数，又f（－x）＝x＝－（－x）＝－f（x），所以函数是奇函数. 13.　解析：如图所示，y＝min{x＋1，x2－x＋1，－x＋6}的图象为图中的实线部分，则易知所求最大值即为图中B点的纵坐标，又B，故所求最大值为. 14.奇　a＜－3　解析：法一　当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝（－x）2＋2（－x）＝x2－2x＝－（－x2＋2x）＝－f（x），当x≤0时，－x≥0，则f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x＝－（x2＋2x）＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数.因为f（－3）＝3＞0，f（f（－3））＝f（3）＝－3，所以f（f（a））＜－3.若f（a）＜0，则f2（a）＋2f（a）＜－3，无解；若f（a）≥0，则－f2（a）＋2f（a）＜－3，解得f（a）＞3或f（a）＜－1，又f（a）≥0，所以f（a）＞3.进一步分类讨论，若a＜0，则a2＋2a＞3，解得a＞1或a＜－3，即a＜－3；若a≥0，则－a2＋2a＞3，无解，综上，a＜－3. 法二　画出函数f（x）的图象，如图所示，易知f（x）是奇函数. 以下同法一. 15.解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，f（－x）＝f（x），函数f（x）是偶函数. 当a≠0时，f（x）＝x2＋（x≠0），而f（－1）＋f（1）＝2≠0，f（－1）－f（1）＝－2a≠0，∴f（－1）≠－f（1），f（－1）≠f（1）. ∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （2）若f（1）＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，此时f（x）＝x2＋. ∀x1，x2∈[2，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝－＝（x1＋x2）（x1－x2）＋＝（x1－x2）， 由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在[2，＋∞）上单调递增. 16.解：（1）因为a＞b，所以a－b＞0， 由题意得＞0， 所以f（a）＋f（－b）＞0. 又f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（－b）＝－f（b）， 所以f（a）－f（b）＞0，即f（a）＞f（b）. （2）由（1）知f（x）为R上的增函数， 因为f（1＋m）＋f（3－2m）≥0， 所以f（1＋m）≥－f（3－2m）， 即f（1＋m）≥f（2m－3）， 所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为（－∞，4]. 17.解：（1）由题意可知，2≥30. 整理得（5x＋1）（x－3）≥0， 解得x≤－或x≥3. 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. 所以x的取值范围是[3，10]. （2）易知获得的利润y＝ ＝120，x∈[1，10]， 令t＝∈，则y＝120（－3t2＋t＋5）. 当t＝，即x＝6时，ymax＝610， 故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元. 18.解：（1）由题意，得函数f（x）是二次函数，且f（0）＝f（2），可得函数f（x）的对称轴为x＝1， 要使f（x）在区间[2a，a＋1]上不单调，则满足2a＜1＜a＋1，解得0＜a＜， 即实数a的取值范围是（0，）. （2）由f（x）的最小值为1，可设f（x）＝k（x－1）2＋1， 又f（0）＝3，即k×（0－1）2＋1＝3，解得k＝2， 所以函数的解析式为f（x）＝2（x－1）2＋1＝2x2－4x＋3. 由在区间[－1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方， 可得2x2－4x＋3＞2x＋2m＋1在区间[－1，1]上恒成立， 化简得m＜x2－3x＋1在区间[－1，1]上恒成立， 设函数g（x）＝x2－3x＋1， 则g（x）在区间[－1，1]上单调递减， 所以g（x）在区间[－1，1]上的最小值为g（1）＝－1， 所以m＜－1. 所以实数m的取值范围为（－∞，－1）. 19.解：（1）当x∈[－2，0）时，则－x∈（0，2]， 由奇函数的定义可得g（x）＝－g（－x）＝－[－（－x）2＋2（－x）]＝x2＋2x， 所以g（x）＝ （2）设g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[a，b]，则1≤a＜b≤2，因为函数g（x）在[1，2]上单调递减，且g（x）在[a，b]上的值域为［，］， 所以解得 所以函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］. （3）因为g（x）在x∈[a，b]时，函数值g（x）的取值区间恰为［，］，其中a≠b且a≠0，b≠0，所以则 只考虑0＜a＜b≤2或－2≤a＜b＜0. ①当0＜a＜b≤2时，因为函数g（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， 故当x∈[0，2]时，g（x）max＝g（1）＝1，则≤1，所以1≤a＜2，所以1≤a＜b≤2， 由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为［1，］； ②当－2≤a＜b＜0时，g（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，0]上单调递增， 故当x∈[－2，0）时，g（x）min＝g（－1）＝－1，所以≥－1，所以－2＜b≤－1. 所以－2≤a＜b≤－1， 因为g（x）在[－2，－1]上单调递减，则解得 所以g（x）在[－2，－1]内的“倒域区间”为［，－1］. 综上所述，函数g（x）在定义域内的“倒域区间”为［1，］和［，－1］. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $