高中数学单元测试——第5章函数概念与性质（适中版02）

**基本信息** 本卷聚焦高中数学第5章函数概念与性质单元复习，以科技情境和分层设计为特色，通过基础巩固与创新应用结合，适配数学眼光、思维与语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、函数同一、奇偶性（如第2-3题）|基础概念辨析，突出数学抽象| |多选题|3/18|函数关系判断、奇偶性与单调性（第9-10题）|多维度思维考查，体现推理意识| |填空题|3/15|分段函数求值、单调性参数范围（第12-13题）|简洁性与综合性结合| |解答题|5/77|奇函数解析式（15题）、机器人利润模型（17题）、新定义函数（19题）|科技情境应用，创新问题设计，强化数学应用意识|

高中数学单元测试 —— 第5章 函数概念与性质（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（本题5分）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 11．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 三、填空题 12．（本题5分）设，若，则___________． 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 函数概念与性质（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要使函数有意义，则，求解即可． 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 故函数的定义域为：． 故选：C. 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，且，与的对应法则相同，A是； 对于B，函数的定义域为，值域为，与的值域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，与的定义域不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，D不是. 故选：A 4．（本题5分）若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答. 【详解】设，由题设有， 解得，所以． 故选：B． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 7．（本题5分）已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 8．（本题5分）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先比较的大小，再由函数的单调性和奇偶性求解即可. 【详解】当时，恒成立， 可知函数在上单调递增， 又因为函数是偶函数， 所以， 设，则， 所以，又， 所以，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 10．（本题6分）对于函数（），下面几个结论中正确的是（   ） A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数的值域为 D．函数在上是增函数 【答案】BCD 【分析】利用函数奇偶性定义可判断AB，再利用分段讨论单调性来求值域，可判断CD. 【详解】因为，且定义域为，所以函数是奇函数，故A错误，B正确； 当时，， 此时在时单调递增，所以， 当时，， 当时，由奇函数的对称性可知，此时， 综上可得：函数的值域为，故C正确； 当时，， 此时在时单调递增，根据奇函数对称性可知， 在时也单调递增，由于函数的定义域为，且， 所以函数在上是增函数，故D正确； 故选：BCD 11．（本题6分）设函数的定义域为，对于任意给定的正数P，定义函数则你为的“P界函数”．若函数，则（   ） A． B．的最小值为 C．在上单调递减 D．为偶函数 【答案】ABD 【分析】根据题意得出的解析式，即可判断ABC；求得的解析式，作出函数的图象，由图象判断D． 【详解】根据题意，由，解得， ，所以，故A正确； 当时，， 且在上单调递增，在上单调递减， ，所以， 即的值域为，故B正确，C错误； 因为，则的图象如图所示， 由图可知的图象关轴对称，所以函数为偶函数，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）设，若，则___________． 【答案】2 【分析】直接代入求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数若存在，使得成立，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分，，，四种情况，进行讨论，结合函数单调性进行求解，得到答案. 【详解】当时，，由得， 故，， 由于在上单调递减，且， 故，所以； 当时，，由得， 故，， 由于在上单调递增，且， 故，所以； 当时，，由得， 故对恒成立，故满足要求； 当时，，同理可得满足要求； 综上，. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数性质求对称区间的解析式，及奇函数满足，即得答案； （2）求两个分段的二次函数值域，再求三段值域的并集即可. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ， 由题， 当， ， 所以， （2）在单调递增， 所以 在单调递增， 所以， 又因为， 所以的值域为. 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）定义． (1)写出函数的表达式； (2)已知函数，求的最小值； (3)已知函数，当时，的最小值为－8，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）根据函数的定义求出解析式； （2），数形结合求出最小值； （3）令，求出，根据两段函数在上的最值即可求解. 【详解】（1）根据已知， 可得. （2）由题可知， 由，解得或；由，解得， 故当或时；当时， 作出函数的图象： 由图可得； （3）令，解得， 所以 因为，所以． 因为恒过定点，所以，即， 所以， 所以实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $