高中数学单元测试——第5章函数概念与性质（适中版01）

**基本信息** 高中数学第5章函数概念与性质单元卷，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识点，通过基础题与探究题梯度设计，适配单元复习，提升数学抽象、推理与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|定义域、同一函数判断|基础巩固，考查概念辨析| |多选题|3/18|函数关系、奇偶性应用|能力提升，体现逻辑推理| |填空题|3/15|函数值、单调性参数范围|简洁检测运算能力| |解答题|5/77|分段函数、机器人利润应用题、单调性证明|综合应用，如机器人利润问题体现数学建模，“优美区间”探究培养创新意识|

高中数学单元测试 —— 第5章 函数概念与性质（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．4 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．（本题5分）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．当时，单调递增 11．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 三、填空题 12．（本题5分）若函数，且，则__________． 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 14．（本题5分）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 19．（本题17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 函数概念与性质（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据函数的表达式求得正确答案. 【详解】依题意，. 故选：A 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（），利用两边恒等求出即可得结果． 【详解】设，（） ∴， 即， 所以，解得，， ∴，故选B． 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式. 5．（本题5分）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇偶性排除两个答案，再利用自变量取正数，函数值一定为非正数，即可得到判断. 【详解】因为,所以是奇函数， 即图象关于原点对称，故CD错误； 因为当时，，故A错误，B正确； 故选：B 6．（本题5分）已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 7．（本题5分）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质及函数单调性求解不等式即得. 【详解】由奇函数在定义域上单调递减，得， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8．（本题5分）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）设集合，则下列曲线能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的概念一一判断即可得正确答案. 【详解】对于选项和选项，集合中有的数(如：）在集合中对应两个值，不唯一， 所以不符合函数定义，所以选项和选项错误； 对于选项和选项，集合和集合均为数集，且集合中的每一个数在集合中都有唯一的数与它对应，符合函数的定义， 所以选项和选项正确. 故选：BD. 10．（本题6分）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．当时，单调递增 【答案】ACD 【分析】利用可得A正确；由的值可求得B错误；利用奇偶性求得时，的解析式，进而得到，根据奇偶性定义可知C正确；结合解析式可确定D正确. 【详解】对于A，是奇函数，，A正确； 对于B，为定义在上的奇函数，，又， ，B错误； 对于C，当时，，， ，， 当时，， 当时，，为偶函数，C正确； 对于D，由C知：， 在上单调递减，在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 11．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 【答案】ABD 【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则，画出图象如下： 对于A选项，因，且，则函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，由图可得有三个解，故B正确； 对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误； 对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）若函数，且，则__________． 【答案】2 【分析】根据解析式，代入得，即可求解. 【详解】由，得，解得， 故答案为：. 13．（本题5分）已知函数在上单调递减，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由函数在上单调递减， 可得，可得，解得. 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：问题化为值域是值域的子集为关键. 四、解答题 15．（本题13分）已知定义在R上的偶函数，当,时，. (1)求函数在上的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)在,上的最大值是，最小值是． 【分析】（1）根据题意，设，则，分析可得的解析式，结合函数为偶函数，分析可得答案； （2）由（1）的结论可得函数的解析式，分析其在,的单调性，进而分析可得答案． 【详解】（1）根据题意，设，则，则， 又由为偶函数，则 （2）由（1）的结论：， 在,上单调递增，在,上单调递减， 则；， 函数在,上的最大值是，最小值是． 16．（本题15分）已知函数． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域． 【答案】(1)； (2) 定义域为，值域为. 【详解】（1）当， ；当，. 故； （2）略 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知是奇函数． (1)求的解析式； (2)判断并证明在区间上的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 则，即， 所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义列式求解即可； （2）根据函数单调性的定义判断并证明； （3）结合（2）及为奇函数可得时，，时，，时，，时，，进而得到或，再求解不等式即可. 【详解】（1）由为奇函数，得， 则，整理得，即， 所以. （2）略 （3）由（2）知，函数在上单调递增，且， 则时，，时，， 而函数为奇函数，则时，，时，， 由，则或， 先解不等式，即，则， 即，解得或； 再解不等式，即， 则，即，解得或. 综上所述，不等式的解集为. 19．（本题17分）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）函数不存在“优美区间”，理由如下: 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $