高中数学单元测试——第三章函数的概念与性质（适中版01）

**基本信息** 高中数学第三章“函数的概念与性质”单元复习卷，覆盖函数定义、单调性、奇偶性等核心知识，解答题融合实际应用（如医疗器械利润问题）与创新探究（性质P），适配单元巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数求值、定义域、同一函数判断|基础概念辨析，如第3题考查函数三要素| |多选题|3/18|函数图像、幂函数性质|第10题结合幂函数奇偶性与单调性，体现思辨性| |填空题|3/15|定义域、值域、对称性|第14题考查函数对称性，强化数学抽象| |解答题|5/77|幂函数解析式、实际应用、奇偶性证明、创新性质探究|第16题以医疗器械生产为情境，第19题定义性质P，突出数学建模与逻辑推理，契合核心素养中数学思维与语言表达要求|

高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 6．（本题5分）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 8．（本题5分）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 11．（本题6分）设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（    ） A．直线是函数图象的对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知正实数满足，，则的取值范围是__________. 13．（本题5分）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是______． 14．（本题5分）已知，若函数的图象关于直线对称，则________. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 16．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 19．（本题17分）已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 函数的概念与性质（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A．15 B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】代入运算得解. 【详解】. 故选：B. 2．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 故函数的定义域为. 故选：B. 3．（本题5分）下列四组函数中，与表示同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，函数的定义域、值域均为R，A不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，的定义域为R，B不是同一函数； 对于C，函数与的定义域均为，且，C是同一函数； 对于D，函数的定义域、值域均为R，的定义域为R，值域为，D不是同一函数. 故选：C 4．（本题5分）若函数在上是增函数，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是增函数，求解参数范围. 【详解】因为在上是增函数， 则,即. 故选：A 5．（本题5分）已知函数是奇函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】因为是分式，定义域为，又函数为奇函数， 所以定义域关于原点对称，， 所以，因为， 所以是奇函数，故. 6．（本题5分）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】令可得为奇函数，由题意，且，有，再令，结合函数单调性的定义可知在上单调递减，则，，即可得出的最小值. 【详解】因为，令，可得， 令可得，即， 所以为奇函数，， 因为，都有，所以，且，有， 因为， 所以，在上单调递减， 所以，， 故的最小值为6， 故选：C 7．（本题5分）已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【分析】根据条件，利用待定系数法，求出，即可求解. 【详解】由一次增函数，可设， 则， 所以，解得或（舍去）， 当时，，此时，， 故选：D 8．（本题5分）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 10．（本题6分）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和性质判断各项即可. 【详解】因为幂函数的图象过， 所以，解得，A正确； 所以，定义域为，因为， 所以是奇函数，B正确； 在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误； 根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确. 故选：ABD. 11．（本题6分）设函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，当时，.若，则（    ） A．直线是函数图象的对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C． D． 【答案】ABC 【分析】依题意由偶函数性质可得关于对称，再由奇函数性质可得关于点中心对称，即AB均正确，再由函数解析式以及所给函数值计算可得C正确，利用对称性计算可得D错误. 【详解】对于A，因为为偶函数，则，即， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，为奇函数，则，即， 从而的图象关于点中心对称，且，故B正确； 对于C，，即， 又，得，故C正确； 对于D，当时，， 又的图象关于直线对称，关于点中心对称， 所以，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（本题5分）已知正实数满足，，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】正实数满足，所以， 于是， 令， 该函数为二次函数，平方项系数为，图象是开口向上的二次函数，对称轴方程为， 由二次函数的性质得，， 所以的取值范围是， 故答案为： 13．（本题5分）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】易知时，，根据函数的值域为R，由时，充满求解. 【详解】解：当时，， 因为函数的值域为R， 所以当时，充满， ， 因为若函数的值域为R， 所以，解得或， 所以实数a的取值范围是， 故答案为：. 14．（本题5分）已知，若函数的图象关于直线对称，则________. 【答案】23 【分析】根据题意知是的零点，由的图象关于直线对称，知，，由此到和是方程的两个根，求得即可求解. 【详解】由，可得，或，或， 因为的图象关于直线对称， 所以，， 所以和是方程的两个根， 所以，得， 此时 , ， 即，符合题意， 所以. 故答案为：23. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标可得幂函数解析式； （2）根据二次函数性质可得最值. 【详解】（1）由幂函数的图象经过点， 得， 解得， 即； （2）由（1）知， 当时，，当时，， 故在上的值域为. 16．（本题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 17．（本题15分）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）合理赋值即可证明是奇函数； （2）结合（1），先说明的单调性，再求出其最大值，最后对于关于的一次函数恒成立问题，列不等式求解即可. 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 18．（本题17分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. (3). 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）略 （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 19．（本题17分）已知函数在区间D上的图像是一条连续不断的曲线，若对于给定的非零实数T，存在，使得，且，则称函数在区间D上具有性质． (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求正整数m的最小值； (3)若函数在区间上具有性质，求T的最大值． 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用解方程去判断是否存在，即可说明理由； （2）利用方程解的存在性，再去讨论区间的端点范围即可； （3）利用分类讨论去排除的可能性，从而去讨论时方程解的存在性,即可作出判断. 【详解】（1）假设函数在区间上是具有性质， 则存在，使得，且， 解得：，满足，使得， 故函数在区间上是具有性质； （2）因为函数在区间上具有性质， 所以存在，使得，且 ， 解得，因为，所以， 又因为，所以， 所以正整数m的最小值为； （3）作出函数图象： 当时，， 当时，存在，使得， 则必有，此时，而此时，必有， 则不可能成立，所以， 当时，假设存在，使得， 此时由可得：，解得， 此时存在，使得成立，故的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $