高中数学单元测试——第4章指数与对数（较难版01）

**基本信息** 本卷为高中数学指数与对数单元较难测试，以车载AI芯片运算等科技情境和分层设问（基础运算到综合证明）为特色，适配单元复习，强化运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数对数运算、化简求值|如第3题考查对数运算，第6题结合TOPS运算体现科技应用| |多选题|2/12|运算性质辨析|第7题辨析指数对数运算法则，强化推理意识| |填空题|2/10|恒等式、方程根应用|第10题结合方程根求指数式值，培养抽象能力| |解答题|3/48|综合证明与实际问题|13题结合对数方程与实际意义，发展应用意识与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质可化简得出所求代数式的值. 【详解】由题意得. 故选：A. 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 4．（本题5分）已知，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化为分数指数幂，再计算即可． 【详解】， 故选：D. 5．（本题5分）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数式和对数式的互化，以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，即. 因为，所以. 故选：A 6．（本题5分）在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 【答案】D 【详解】由题意得，每秒至少执行的运算次数， ， 即. 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断． 【详解】，故A错； ，故B正确； 与不同，故C错； ，故D正确. 故选：BD. 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，利用待定系数法计算即可. 【详解】根据题意，故. 故答案为： 10．（本题5分）已知a，b为方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】先根据对数换底公式化简方程，再设，解方程求出的值，利用对数运算性质求出即得答案. 【详解】原方程变形为． 令，则，解得或 ， 当时，可得；当时，可得， 即方程的两根分别为、，故． 四、解答题 11．（本题14分）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对数的运算性质可得出所求代数式的值； （2）利用根式的运算性质以及对数的换底公式化简可得出所求代数式的值； （3）解方程，得出的值，即可得出的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由可得，即，解得，故. 12．（本题16分）（1）若，求的值． （2）设都是正数，且，证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据对数的运算性质可得，再代入计算即可. （2）令，再用对数表示，再由对数运算性质即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以． （2）证明：令，得， 则， 则， 根据可知，． 13．（本题18分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 4．（本题5分）已知，化简：（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 10．（本题5分）已知a，b为方程的两个根，则______． 四、解答题 11．（本题14分）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，求. 12．（本题16分）（1）若，求的值． （2）设都是正数，且，证明：． 13．（本题18分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $