高中数学单元测试——第4章指数与对数（适中版01）

**基本信息** 高中数学指数与对数单元复习卷，以基础运算为核心，融合种子增长、车载AI芯片等现实情境，梯度覆盖概念理解与实际应用，适配单元巩固与数学思维、应用意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数幂运算、对数化简|第5题以种子增长模型考查指数应用，第6题结合车载AI芯片运算性能强化对数工具性| |多选题|2/12|根式与分数指数幂互化、指数函数性质|第8题通过条件判断深化指数函数单调性推理| |填空题|2/10|指数幂表示、对数方程|第10题结合指数式与对数式互化考查运算能力| |解答题|3/48|对数表示、不等式恒成立|第13题以正实数关系为载体，综合对数表示与不等式求最值，体现数学思维的逻辑性|

高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质可化简得出所求代数式的值. 【详解】由题意得. 故选：A. 2．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 【答案】A 【分析】先计算出，代入求解即可. 【详解】因为，故， 所以. 故选：A 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数的运算性质可得答案. 【详解】． 故选：C. 4．（本题5分）化简后的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式、指数幂运算求得正确答案. 【详解】. 故选：C 5．（本题5分）科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（    ）（参考数据：） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可. 【详解】第代种子的数量为， 由题意得，得，即. 因为， 故种子数量首次超过100万粒的是第7代种子. 故选：B. 6．（本题5分）在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 【答案】D 【详解】由题意得，每秒至少执行的运算次数， ， 即. 二、多选题 7．（本题6分）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据根式和分数指数幂运算逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 故选：BC. 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 三、填空题 9．（本题5分）已知，将化为有理数指数幂形式，则________. 【答案】 【分析】将根式化成分数指数幂即可. 【详解】. 故答案为： 10．（本题5分）若，且，则______． 【答案】3 【分析】将化为对数式，根据题干得到关于的方程，求解方程即可. 【详解】由可得，， 则， 因为，且， 所以， 即得，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：3. 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 【答案】（1） ；（2）1 . 【分析】（1）根据对数运算法则进行计算； （2）非零数的零次幂等于1，结合对数运算法则求出结果. 【详解】（1）因为， 而，，所以． （2） ． 12．（本题16分）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 所以. 13．（本题18分）已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】解：（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知a是的小数部分，则的值为（    ） A．2 B．4 C．‒2 D．4‒ 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）化简后的结果为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代12粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（    ）（参考数据：） A．第6代种子 B．第7代种子 C．第8代种子 D．第9代种子 6．（本题5分）在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 二、多选题 7．（本题6分）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 三、填空题 9．（本题5分）已知，将化为有理数指数幂形式，则________. 10．（本题5分）若，且，则______． 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，，试用a，b表示； （2）求值：． 12．（本题16分）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 13．（本题18分）已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $