高中数学单元测试——第四章指数函数、对数函数与幂函数（较易版01）

**基本信息** 高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数单元复习卷，以基础巩固为主，梯度设计合理，融入新能源汽车销售、森林造林等现实情境，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|指数对数运算、函数图像定点|基础概念辨析，如指数函数过定点问题| |多选题|3/18|幂函数定义域与单调性|多选项考查概念准确性，如幂函数性质判断| |填空题|3/15|根式化简、光线强度衰减|生活情境应用，如玻璃透光率计算| |解答题|5/77|指数模型、函数拟合、单调性证明|分层设计，如新能源汽车销售模型选择培养数据意识与模型观念|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂的运算性质可得答案. 【详解】. 故选：D 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】令，求出的值，再代入计算可得. 【详解】因为， 令，解得，则. 故选：B 5．（本题5分）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 6．（本题5分）已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质求解. 【详解】∵，∴恒过定点， ∴，，∴， 故选：A. 7．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的分布以及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】由函数的值域为， 得函数的值域包含， 则函数的图象与轴有交点， 即方程有实根， 所以，解得或； 由函数在上单调递增， 而函数在定义域上单调递增， 则函数在上单调递增且恒为正， ，解得； 综上，实数的取值范围是. 故选：A． 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为、与的图象的交点问题，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由指数式和对数式的运算规则，逐个判断选项. 【详解】，故选项正确； ，故B选项错误； ，故C选项正确； 对于，故D选项错误. 故选：AC. 10．（本题6分）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据幂函数过点可以求出解析式，然后逐项分析即可. 【详解】设幂函数，为常数，因为的图象过点， 所以，所以， 所以幂函数，故A选项正确； 由可知函数定义域为，故B选项不正确； 因为，此时， 不满足在定义域上单调递减，故C选项不正确； 由的函数定义域为，值域为， 所以无最小值，故D选项正确； 故选：AD. 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）化简：___________． 【答案】 【分析】利用换底公式以及对数运算的性质，可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 14．（本题5分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．） 【答案】 【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果. 【详解】假设需要块这样的玻璃，则，， ， 至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可； (2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或． 又的图像关于y轴对称，所以， 故． （2）由（1）可知，． 因为，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以． 故在上的值域为． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，设出增长率，列出指数方程，求解即可； （2）根据（1）中所求，设出植树造林的年限，列出指数方程，求解即可. 【详解】（1）设森林面积的年增长率为，根据题意可得：， 即，则，故. 故森林面积的年增长率为. （2）设该地已经植树造林年，根据题意可得：， 即，则，解得. 故该地已经植树造林年. 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）由函数与图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围． 【详解】（1）函数的定义域为R，因为函数为偶函数． 所以，即， 所以，所以； （2）因为函数与图象有2个公共点， 所以， 即，， 设，则，即. 又在R上单调递增，所以方程有两个不等的正根； 所以，解得， 所以a的取值范围为． 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 【答案】(1)模型②，理由： 由表中数据可知，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢． 对于模型①，销售量逐月减少，不符合题意； 对于模型②，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变慢，符合题意； 对于模型，销售量逐月增加，但增加速度随的增加而变快，不符合题意， 所以最符合实际的函数为模型②． (2) (3)第16个月 【分析】（1）结合表格根据每个函数模型销售量和月份的增减变化逐一判断； （2）选取两组数据，构建关于的方程组，求解即可； （3）根据题意和（1），求解不等式即可. 【详解】（1）略 （2）选取数据组，代入， （可选择中任意两组） 得，解得， 故函数解析式为． （3）令， 即，解得， 故从第16个月开始销售量不低于11百辆． 19．（本题17分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2)在上单调递增，证明如下： 的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数、对数函数与幂函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 5．（本题5分）已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 6．（本题5分）已知函数的图象恒过定点，则（    ） A．2 B．0 C． D． 7．（本题5分）若函数的值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递减 D．无最小值 11．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）化简：___________． 13．（本题5分）函数的值域为，能使成立的一个值为________． 14．（本题5分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．） 四、解答题 15．（本题13分）已知幂函数的图像关于y轴对称． (1)求的解析式； (2)求函数在上的值域． 16．（本题15分）某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年． (1)求森林面积的年增长率； (2)到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？ 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 18．（本题17分）中国新能源技术引领全球发展趋势，新能源汽车备受人们喜爱．某销售部统计了6个月新能源汽车的销售量（百辆）如下表： 第个月 1 2 3 4 5 6 销售量（百辆） 3 5 6.2 7 7.6 8.2 为描述从第1个月开始销售量随时间的变化关系，现有三个函数模型可供选择：①；②；③． (1)请选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选择表中的数据，求出函数解析式； (3)预测从第几个月开始销售量不低于11百辆? 19．（本题17分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $