章末过关检测卷(四) 指数与对数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

章末过关检测卷(四) 指数与对数 （用时：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．将化为分数指数幂，其形式是(　　) A．2 B．－2 C．2－ D．－2－ 解析：选B.＝(－2)＝(－2×2)＝－2.故选B. 2．计算9－的结果是(　　) A． B．18 C．36 D． 解析：选A.9－＝＝＝.故选A. 3．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－等于(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以x－＝8－＝＝＝.故选C. 4．若实数a，b，c满足25a＝403b＝2 015c＝2 019，则下列式子正确的是(　　) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝ 解析：选A.由已知，得52a＝403b＝2 015c＝2 019，得2a＝log52 019，b＝log4032 019，c＝log2 0152 019，所以＝log2 0195，＝log2 019403，＝log2 0192 015，而5×403＝2 015，所以＋＝，即＋＝.故选A. 5．已知＝(　　) A．15 B．12 C．16 D．25 解析：选A.∵m＋m－＝4，∴m＋m－1＝(m＋m－)2－2＝14，∴＝m＋m－1＋1＝15.故选A. 6．已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是(　　) A．d＝ac B．a＝dc C．c＝ad D．d＝a＋c 解析：选B.由已知得5a＝b，10c＝b，∴5a＝10c.∵5d＝10，∴5dc＝10c，∴5dc＝5a，∴dc＝a.故选B. 7．对于一个声强为I(单位：W/m2)的声波，其声强级L(单位：dB)可由如下公式计算：L＝10lg (其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70 dB，声强为I2时的声强级为60 dB，则＝(　　) A．10 B．100 C．1010 D．10 000 解析：选A.由题意可得即两式相减得lg ＝1，所以＝10.故选A. 8．定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg (10x＋10y)，x，y∈R.对于任意实数a，b，c，给出如下结论： ①a*b＝b*a； ②(a*b)*c＝a*(b*c)； ③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c) 其中正确结论的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选D.由题意，得a*b＝lg (10a＋10b)＝lg (10b＋10a)＝b*a，故①正确； (a*b)*c＝lg (10a＋10b)*c＝lg [10lg (10a＋10b)＋10c]＝lg (10a＋10b＋10c)，a*(b*c)＝a*lg (10b＋10c)＝lg [10a＋10lg (10b＋10c)]＝lg (10a＋10b＋10c)，故②正确； (a＋c)*(b＋c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)，(a*b)＋c＝lg (10a＋10b)＋c＝lg (10a＋10b)＋lg 10c＝lg (10a·10c＋10b·10c)＝lg (10a＋c＋10b＋c)，故③正确．故选D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列各式中错误的是(　　) A．＝n7m－(m>0) B．＝ C．＝(x＋y)(x>0，y>0) D．＝ 解析：选ABC.＝＝n7m－7，故A中式子错误；＝＝3＝3＝，故B中式子错误；显然C中式子错误；＝＝＝，故D中式子正确．. 10．已知a，b均为正实数，若logab＋logba＝，ab＝ba，则＝(　　) A． B． C． D．2 解析：选AD.令t＝logab，则t＋＝， ∴2t2－5t＋2＝0，(2t－1)(t－2)＝0， ∴t＝或t＝2， ∴logab＝或logab＝2，∴a＝b2或a2＝b， ∵ab＝ba，代入得2b＝a＝b2或b＝2a＝a2， ∴b＝2，a＝4或a＝2，b＝4. ∴＝2或＝. 11．下列命题中，真命题是(　　) A．若log189＝a，log1854＝b，则182a－b＝ B．若logx27＝3(log318－log32)，则x＝± C．若log6[log3(log2x)]＝0，则x－＝ D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)＝0 解析：选ACD.对于A，因为log189＝a，log1854＝b，所以18a＝9，18b＝54， 所以182a－b＝＝＝，即A正确； 对于B，logx27＝3log39＝3×2＝6，所以x6＝27，所以x6＝33，又x>0，所以x＝，即B错误； 对于C，由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3， 转化为指数式为x＝23＝8， 所以x－＝8－＝＝＝＝，即C正确； 对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1， 所以logx(yx)＝log2(12)＝0，即D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．10lg 2－ln e＝________． 解析：ln e＝1，所以原式＝10lg 2－1＝10lg 2×10－1＝2×＝. 答案： 13．已知＋b＝1，则＝________． 解析：由＋b＝1，得＝32a×31－×3－＝32a＋1－－＝3. 答案：3 14．若a＝lg 2，b＝lg 3，则100a－的值为________． 解析：∵a＝lg 2，∴10a＝2，∵b＝lg 3，∴10b＝3，∴100a－＝＝. 答案： 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)计算： (1)log3＋log220－－log25； (2)； (3)eln 4＋log25＋lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2. 解：(1)原式＝log327－log33＋2log22＋log25－－log25＝－1＋2－＝0. (2)原式＝＝＝－4. (3)原式＝4＋4＋2lg 5＋lg 2×(2－lg 2)＋(lg 2)2＝8＋2(lg 2＋lg 5)＝8＋2＝10. 16．(15分)若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值． 解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0， 设t＝lg x，则2t2－4t＋1＝0. 令该方程的两根为t1，t2， 则t1＋t2＝2，t1t2＝. 由a，b是原方程的两个根， 不妨令t1＝lg a，t2＝lg b， ∴lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝， ∴lg (ab)·(logab＋logba) ＝(lg a＋lg b) ＝ ＝(lg a＋lg b)· ＝2× ＝12， 即lg (ab)·(logab＋logba)＝12. 17．(15分)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. (1)求p； (2)求证：－＝. 解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k. 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·. ∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2， 又＝logk4＝logk2，∴－＝. 18．(17分)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙，研究某种候鸟的专家发现，该种候鸟的飞行速度v(单位：m·s－1)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是常数).据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，飞行速度为1 m·s－1.若这种候鸟的飞行速度为2m·s－1，求其耗氧量要多少个单位． 解：由题意知解得 所以v＝－1＋log3， 要使飞行速度为2 m·s－1，则有v＝2， 即－1＋log3＝2， 即log3＝3，解得＝27，即Q＝270， 所以耗氧量要270个单位． 19．(17分)某化工厂生产化工产品，今年生产成本为50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶的生产成本为20元？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，精确到1年) 解：设x年后每桶的生产成本为20元． 1年后每桶的生产成本为50×(1－28%)， 2年后每桶的生产成本为50×(1－28%)2， x年后每桶的生产成本为50×(1－28%)x＝20. 所以，0.72x＝0.4，等号两边取常用对数，得x lg 0.72＝lg 0.4. 故x＝＝＝ ＝ ≈ ＝≈3(年). 所以，约3年后每桶的生产成本为20元． 学科网（北京）股份有限公司 $