高中数学单元测试——第4章指数与对数（较难版02）

**基本信息** 高中数学第4章指数与对数单元复习较难卷，以指数对数运算为核心，通过车载AI芯片运算等科技情境及对数运算历史意义等素材，考查运算能力、推理意识与应用意识，适配单元综合提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数幂运算、对数化简|第6题结合车载AI芯片运算，体现科技情境，考查实际应用| |多选题|2/12|指数对数性质辨析|第8题通过参数关系判断命题正误，培养推理意识| |填空题|2/10|恒等式化简、方程根与对数|第10题结合方程根求对数式值，强化知识综合| |解答题|3/48|指数对数综合运算、方程应用|第13题联系对数运算历史意义，渗透数学文化，考查逻辑推理|

高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解 【详解】因为． 故选：B． 4．（本题5分）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式运算、指数运算等知识进行化简求值. 【详解】 . 故选：C 5．（本题5分）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数与对数的互化及对数的运算性质求解即可. 【详解】由得，，即. 由得，，即，所以. 所以. 6．（本题5分）在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 【答案】D 【详解】由题意得，每秒至少执行的运算次数， ， 即. 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断． 【详解】，故A错； ，故B正确； 与不同，故C错； ，故D正确. 故选：BD. 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 【答案】/ 【分析】将根式化为分数指数幂，利用待定系数法计算即可. 【详解】根据题意，故. 故答案为： 10．（本题5分）已知a，b为方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】先根据对数换底公式化简方程，再设，解方程求出的值，利用对数运算性质求出即得答案. 【详解】原方程变形为． 令，则，解得或 ， 当时，可得；当时，可得， 即方程的两根分别为、，故． 四、解答题 11．（本题14分）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用对数的运算性质可得出所求代数式的值； （2）利用根式的运算性质以及对数的换底公式化简可得出所求代数式的值； （3）解方程，得出的值，即可得出的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）由可得，即，解得，故. 12．（本题16分）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据对数的运算法则求出，最后根据指数、对数的关系计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 所以. 13．（本题18分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第4章 指数与对数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（本题5分）计算（   ） A．14 B．49 C． D． 4．（本题5分）化简：（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）在智能驾驶快速发展的今天，车载AI芯片的运算能力至关重要，行业内通常以“每秒万亿次运算（TOPS），即1TOPS=次运算/秒”为单位衡量芯片性能.某车载AI在道路目标检测中，需在0.5秒内完成次运算，则该芯片的运算性能至少为（   ）TOPS. （参考数据，，） A．56.2 B．56.1 C．562 D．561 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 三、填空题 9．（本题5分）小王同学经过化简，得到恒等式，则__________. 10．（本题5分）已知a，b为方程的两个根，则______． 四、解答题 11．（本题14分）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，求. 12．（本题16分）已知，． (1)求的值； (2)用m，n表示． 13．（本题18分）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $