高中数学单元测试——第二章函数（适中版01）

**基本信息** 高中数学第二章函数单元复习卷（适中版01），以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合科技情境与新定义题型，适配函数单元核心知识检测，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数值、定义域、同一函数、单调性|基础概念辨析，如第3题考查函数三要素| |多选题|3/18|奇函数性质、新定义函数|第11题结合新定义考查函数性质，体现数学思维| |填空题|3/15|函数单调性参数、存在性问题|第14题考查函数最值应用，培养数学语言表达| |解答题|5/77|奇偶性综合、分段函数、实际应用、不动点|第17题以机器人利润为情境（科技前沿），第19题新定义不动点（创新应用），第15题奇偶性综合（数学眼光抽象能力）|

高中数学单元测试 —— 第二章 函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直接代入，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：C. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式，可得函数的定义域. 【详解】由，可得，所以函数的定义域为. 故选：D. 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用相同函数的定义逐项判断得解. 【详解】函数定义域为，值域为， 对于A，函数的定义域为，且，与的对应法则相同，A是； 对于B，函数的定义域为，值域为，与的值域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为，与的定义域不同，C不是； 对于D，函数的定义域为，与的定义域不同，D不是. 故选：A 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设一次函数，代入已知式，由恒等式知识求解． 【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，. 故选：A． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和特殊点坐标判断即可. 【详解】令，的定义域为， ， 则是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项； 又，则排除选项A. 故选：B. 6．（本题5分）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】令可得为奇函数，由题意，且，有，再令，结合函数单调性的定义可知在上单调递减，则，，即可得出的最小值. 【详解】因为，令，可得， 令可得，即， 所以为奇函数，， 因为，都有，所以，且，有， 因为， 所以，在上单调递减， 所以，， 故的最小值为6， 故选：C 7．（本题5分）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质及函数单调性求解不等式即得. 【详解】由奇函数在定义域上单调递减，得， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 8．（本题5分）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由函数的定义，验证ABD选项，由函数表达得到定义域，判断C选项. 【详解】A选项，，，，A选项正确； B选项，，，，B选项正确； C选项，∵函数的定义域为，，C选项不正确； D选项，，，，D选项正确； 故选：ABD. 10．（本题6分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 【答案】AD 【分析】AB选项，由奇函数得到，，进而得到，得到为偶函数，B错误；C选项，；D选项，由函数的奇偶性结合时的解析式，求出答案. 【详解】AB选项，因为是定义在R上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，A正确； 的定义域为R，由于， 则， 即为偶函数，B错误； C选项，当时，，则， 故，C错误； D选项，当时，，则， 所以，D正确． 故选：AD． 11．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 【答案】ABD 【分析】由题意写出解析式，后画出图像，据此可得答案. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则，画出图象如下： 对于A选项，因，且，则函数是偶函数，故A正确； 对于B选项，由图可得有三个解，故B正确； 对于C选项，由图可得有4个单调区间，故C错误； 对于D选项，由图可得有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，且，则______． 【答案】11 【分析】由，可得，从而可求出的值 【详解】因为，且， 所以，得， 所以， 故答案为：11 13．（本题5分）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性列式计算求解参数. 【详解】因为函数在单调递减，在单调递增， 又已知函数在区间上是严格增函数，所以， 故答案为：. 14．（本题5分）已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围___________． 【答案】 【分析】由题意可知，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出，即可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知， 因为函数在上单调递增，故当时，， 当时，，则恒成立； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，则在上单调递减， 故当时，，则，解得，此时； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，则在上单调递增， 故当时，，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）由题意，根据奇偶函数的性质即可求解； （2）利用函数的奇偶性求函数的解析式即可； （3）由（2）知当时，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 又当时，， 所以； （2）当时，， 当时，，有， 又为奇函数，所以， 所以， 即当时，； （3）由（2）知，当时，，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即当当时，函数的最小值为. 16．（本题15分）已知函数．    (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)结合图象写出它的单调递增区间和值域． 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，值域为. 【分析】（1）分类讨论去绝对值符号求解析式，再利用二次函数的性质作出图象； （2）根据图象确定增区间和值域. 【详解】（1）由题知，当时，，当时，， 所以，即，其图象如图，    （2）由（1）图象可知，的单调递增区间为，值域为. 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元 【分析】（1）分和两种情况分别求出利润（万元）关于产量x（千台）的函数关系式，即得答案； （2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， ∴售出该款机器人所获利润关于的函数关系式为 （2）当时，， ∴当时，． 当时，， 当且仅当，即时，． ， ∴当年产量为40千台时，该厂家售出该款机器人所获利润最大，最大利润是4920万元． 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由和代入求解即可； （2）由单调性的定义证明即可； （3）由函数单调性，结合奇偶性列出不等式组即可求解. 【详解】（1）由函数是定义域为的奇函数，可知可得， 即， 又，即，解得， 此时,定义域关于原点对称，且，符合题意， 所以，； （2）由（1）可得，该函数单调递增.用定义证明如下： 在任取，设，即， 则， 因为，所以，，， 即当时，，所以在区间上单调递增． （3）由题意， 由于是定义域为的奇函数， 所以， 由（2）知在区间上是增函数， 则，解得． 即不等式的解集为. 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. （2）（i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若函数，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）下列函数中，与函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）函数在上的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数的定义域为，满足对任意实数都有，，且，都有．若，总有，则实数的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（本题5分）已知奇函数在定义域上单调递减，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知．下列对应关系可以视作的函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C． D．当时， 11．（本题6分）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（　　） A．函数是偶函数 B．方程有三个解 C．函数有3个单调区间 D．函数有最大值为2，无最小值 三、填空题 12．（本题5分）已知函数，且，则______． 13．（本题5分）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是________. 14．（本题5分）已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围___________． 四、解答题 15．（本题13分）已知函数为奇函数，且当时， (1)求的值； (2)求当时，的解析式； (3)求在上的最小值. 16．（本题15分）已知函数．    (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)结合图象写出它的单调递增区间和值域． 17．（本题15分）某厂家开发了一种新型机器人．根据开发及生产费用，该款机器人以每台7000元的价格投入市场．设该款机器人的产量为（单位：千台），若，则需投入生产费用万元；若，则需投入生产费用万元．假设销量等于产量． (1)求售出该款机器人所获利润（单位：万元）关于的函数关系式．（利润售价-生产费用） (2)当为多少时，该厂家售出该款机器人所获利润最大？最大利润是多少万元？ 18．（本题17分）已知函数是定义域为的奇函数，满足． (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)求关于的不等式的解集． 19．（本题17分）对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． (1)若，求的不动点； (2)对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $