第三章 函数的概念与性质（奇偶性与单调性）专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与单调性，以定义为根基，通过概念辨析-性质判定-综合应用三级递进，系统提炼图像分析、定义证明、性质转化等解题方法，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选4、填空12|奇偶性定义辨析、图像对称性应用|从奇偶性/单调性定义出发，构建概念与图像的关联| |性质判定|解答16、18|定义法证明单调性、奇偶性判定步骤|通过作差法、赋值法实现性质的严谨推导| |综合应用|单选6、7、解答19|奇偶性与单调性结合解不等式、抽象函数性质迁移|形成"定义-判定-应用"的完整逻辑链，提升综合解题能力|

人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质（奇偶性与单调性）专项训练 一、单选题 1．如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的为（    ） A． B． C． D． 3．已知奇函数与偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．下列说法不正确的是（    ） A．奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交 C．若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D．若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点 5．已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．函数是定义在上的偶函数且在上减函数，，则不等式的解集（    ） A． B． C． D．或 8．函数是定义在上的奇函数，当时，为减函数，且，若，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数在区间上是减函数的是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．最大值为2 D．没有最小值 11．已知定义在上的函数满足，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知定义在上的偶函数，当时，，那么时，_____. 13．已知奇函数在为增函数，且，则不等式的解集为__________． 14．已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则时，的表达式__． 四、解答题 15．已知函数，其中x∈[1，＋∞)． （1）试判断它的单调性； （2）试求它的最小值. 16．已知函数. (1)求的值； (2)利用单调性的定义证明：函数在上单调递增. 17．已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围 18．已知函数，且定义域为. (1)证明：为奇函数； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)求不等式的解集. 19．设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证： （1）f(0)＝1； （2）x∈R时，恒有f(x)>0； （3）f(x)在R上是减函数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《人教A版必修第一册第三章函数的概念与性质专项练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D A C D A AD AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据图象直接得到其单调增区间. 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 2．D 【分析】先确定奇偶性，再确定单调性． 【详解】四个函数中偶函数的有B、C、D，在上B、C都是递增，只有D是递减． 故选D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 3．C 【分析】由题意，用换，结合函数的奇偶性可得，联立解方程组即可得解. 【详解】由可得， 又分别为奇，偶函数， 所以， 由解得， 故选：C 4．D 【分析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可 【详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确， 对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确， 对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确， 对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误， 故选：D 5．A 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用复合函数单调性列式求解. 【详解】由函数对定义域内任意实数，都有成立， 得函数在R上单调递增，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 6．C 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【详解】由，得， 设， 则在上单调递增，∵为奇函数， ∴为偶函数， 而，则，解得：， 故选：C. 7．D 【解析】利用偶函数的性质将所求不等式转化为，再利用的单调性解不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，， 又在上是减函数，所以，解得或 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用偶函数的性质将转化为解不等式. 8．A 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，为减函数，，故函数在上单调递减，又，因此. 故选A. 点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可. 9．AD 【分析】利用基本函数的单调性依次判定即可. 【详解】对于选项A，为开口向下的二次函数且在区间上是减函数； 对于选项B，在区间上是增函数； 对于选项C，在上是增函数； 对于选项D，在区间上是减函数． 故选：AD. 10．AC 【分析】先求的定义域排除选项B，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得的单调性，进而求其最值. 【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误； 函数由与复合而成， 当时，单调递增，当时，单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故,又，所以，故A，C正确，D错误． 故选：AC. 11．ACD 【分析】根据条件得到关于对称，在上单调递增，从而得到，对选项一一判断，得到答案. 【详解】由得，关于对称， ，，且，，故在上单调递增， 故， 故，A正确；，B错误； ，C正确；，D正确. 故选：ACD 12． 【详解】试题分析：先由函数是偶函数得，然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到时，，即可的时，函数的解析式．这类题一般是求那一部设那一部分. 当时则 因为是偶函数,所以 所以时， 考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质． 13． 【解析】根据奇函数的性质得出在上为增函数，再利用单调性和奇函数的性质求解即可. 【详解】解：是奇函数且在为增函数， 在上为增函数， 又， ， 当，即时，， 即，解得：； 当，即时，， 即，解得：； 综上所述：. 故答案为：. 14． 【解析】推导出函数是以为周期的周期函数，可计算出函数在区间上的解析式，利用函数的奇偶性求得函数在区间上的解析式 ，综合可得出结果. 【详解】函数满足，且该函数为偶函数， 则，， 故函数是周期为的周期函数， 当时，. 当时，，则； 当时，，. 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数解析式，同时也考查了函数周期性的应用，考查计算能力，属于中等题. 15．（1）f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增；（2）最小值. 【分析】（1）用定义法判断函数的单调性即可； （2）利用f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，求值即可. 【详解】（1）函数， 设1≤x1＜x2， ∴f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋()＝(x1－x2)( )＝(x1－x2) ， ∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1， ∴2x1x2－1＞0， ∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增． （2）由（1）可得f(x)在区间[1，＋∞)上为单调递增函数， 所以当x＝1时，f(x)有最小值. 【点睛】本题考查函数单调性的证明及应用，证明的步骤为取点、做差、定号、最后得结论，考查推理证明的能力，属基础题. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）直接根据解析式可求出结果； （2）将函数分离常数，再根据增函数的定义可证明结论成立. 【详解】（1）依题意，，， 故； （2）依题意，， 任取，其中， 则， 故，即函数在上单调递增. 17．(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的定义证明即可； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）利用已证明的奇函数与在上单调递减的性质，将题设抽象不等式化成不等式组，求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数. （2）任取，且， 由， 因，则， 故，即，故在上单调递减. （3）由（1）知为奇函数， 则不等式等价于， 由（2）知在上单调递减，则有，解得. 故不等式的解集为. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）可通过赋值求f(0)； （2）可通过f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)证明f(x)>0； （3）利用定义，构造f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]，可证明函数的单调性． 【详解】（1）根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)， ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. （2）由题意知x>0时，0<f(x)<1； 当x＝0时，f(0)＝1>0； 当x<0时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， 故x∈R时，恒有f(x)>0. （3）设x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]， ∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]． 由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1， 故f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)在R上是减函数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $