18.4整数指数幂 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“整数指数幂”核心知识点，从负整数指数幂定义切入，通过证明与分数形式计算帮助理解，系统整合整数指数幂运算性质（同底数幂乘除、幂的乘方等），并对比科学记数法表示较大数与较小数的方法，构建从概念到性质再到应用的学习支架。 资料以“核心题型归纳+分层训练”为特色，通过典例与变式题（如负整数指数幂计算、科学记数法表示0.0000456）培养运算能力与推理意识，结合实际情境（花粉直径）发展模型意识与应用意识。课中助力教师精准教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升代数综合能力。

18.4整数指数幂 学习目标导航 1、理解定义：理解负整数指数幂的定义，掌握整数指数幂的运算性质。 2、科学记数法：能熟练运用科学记数法表示绝对值小于1的数，并理解其在实际生活中的应用。 3、运算拓展：将整数指数幂的运算性质与分式运算相结合，提升代数运算的综合能力。 洞悉◆教材知识 知识点01 整数指数幂 1. 负整数指数幂： 一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 倒数 。即： 。（a≠0）证明： = 。 写成分数的形式计算： 即： = = 。 ∴= 2. 整数指数幂的运算性质： 整数指数幂 （指数均为整数，底数不为0） 运算法则 逆运算 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 知识点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 较大的数 较小的数 定义 把一个较大的正数写成（，为正整数）的形式． 把一个小于1的正数表示为（，为正整数）的形式． 的确定方法 这个数的整数部分的位数减去1． 这个数左起第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0）． 核心题型◆归纳 题型01 负整数指数幂的计算 题型02 利用整数指数幂的计算求值 题型03 根据式子有无意义求值 题型04 比较大小 题型05 用科学记数法表示较小的数 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 负整数指数幂的计算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， 故选：D． 【变式1】计算：（﹣3）﹣3＝（　　） A．27 B． C． D．﹣27 【答案】C 【解答】解：（﹣3）﹣3， 故选：C． 题型02 利用整数指数幂的计算求值 【典例1】已知，则m+2n的值＝　﹣3　． 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂的运算法则计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴3m⋅32n＝3﹣3， ∴3m+2n＝3﹣3， ∴m+2n＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【变式1】已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　． 【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝， y﹣n＝（yn）﹣1＝． （x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝×＝， 故答案为：． 题型03 根据式子有无意义求值 【典例1】若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x 【答案】C 【解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0， 解得：x． 故选：C． 【变式1】若（x﹣2）0+（6﹣2x）﹣1有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＞3 C．2＜x＜3 D．x≠2且x≠3 【答案】D 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0且6﹣2x≠0， 解得：x≠2且x≠3， 故选：D． 题型04 比较大小 【典例1】已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＝b＞c 【答案】D 【解答】解：根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则可得： ，b＝（﹣3）2＝9，c＝90＝1， ∴a＝b＞c， 故选：D． 【变式1】已知，那么a，b，c的大小关系（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 【答案】D 【解答】解：a＝1，，c＝2， ∴c＞a＞b， 故选：D． 题型05 用科学记数法表示较小的数 【典例1】用科学记数法表示0.0000456，正确的是（　　） A．4.56×10﹣5 B．45.6×10﹣6 C．4.56×105 D．0.456×10﹣4 【答案】A． 【解答】解：0.0000456＝4.56×10﹣5． 故选：A． 【变式1】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是0.000028m这个数用科学记数法表示是（　　） A．0.28×10﹣5 B．2.8×10﹣5 C．2.8×10﹣6 D．﹣2.8×105 【答案】B． 【解答】解：0.000028＝2.8×10﹣5． 故选：B． ABC分层训练 1．的倒数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】倒数、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，倒数的概念， 先根据负整数指数幂求出结果，再根据倒数定义解答 【详解】解：，的倒数是， 故选：B 2．一种病菌的直径约为米，米用科学记数法表示是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 用科学记数法将，表示为即可． 【详解】解：由题意可得， 故选：D． 3．若有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．，且 【答案】D 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了负整数指数幂及零次幂有意义的条件，熟练掌握负整数指数幂及零次幂有意义的条件，是解题的关键． 根据负整数指数幂及零次幂有意义的条件得出不等式，求解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得，且． 故选：D． 4．如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，有理数的大小比较，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 又∵， ∴． 故选：A． 5．计算的结果不用分式，而用负整指数幂的形式表示，应为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整数指数幂的运算、负整数指数幂 【分析】根据整数指数幂运算法则计算即可. 【详解】，故选A. 【点睛】本题是对整数指数幂及其运算的考查，熟练掌握整数指数幂及其运算法则是解决本题的关键. 6．计算_______ ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂． 先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可． 【详解】， 故答案为：． 7．我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故答案为：． 8．计算：______． 【答案】 【知识点】计算单项式除以单项式、负整数指数幂 【分析】本题考查了代数式的除法，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解答本题的关键．根据同底数幂的除法法，进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 【答案】5 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示数的除法 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 10．计算的值___________． 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算、负整数指数幂 【分析】先按积的乘方，再按同底数幂的乘法分别运算好，根据负整数指数幂的意义得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查的是整数指数幂的运算，掌握整数指数幂的运算法则是解题关键． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整数指数幂的运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，再计算乘除运算，最后合并即可； （2）先计算整数指数幂的乘法运算，再合并同类项即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 12．一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示） (1)这个正方体的体积是多少？ (2)若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？ 【答案】(1) (2)个 【知识点】计算单项式乘单项式、用科学记数法表示绝对值小于1的数、计算单项式除以单项式、负整数指数幂 【分析】本题考查正方体的体积、单项式的乘除法应用、科学记数法，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解答的关键． （1）根据正方体的体积公式和单项式乘以单项式的运算法则求解，再利用科学记数法表示计算结果即可； （2）用正方体的体积除以一个立方块的体积即可求解． 【详解】（1）解：， 答：这个正方体的体积是； （2）解：小立方块的体积为， （个）， 答：需要个这样的小立方块才能将正方体盒子装满． 13．计算的结果是（   ） A．0 B．3 C．-3 D．1 【答案】B 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 先计算零指数幂，负整数指数幂，然后计算乘法即可． 【详解】解：． 故选：B． 14．用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，若表示形式为的形式，其中，为整数，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；若表现形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，根据科学记数法的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：、错误，故本选项符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 、正确，故本选项不符合题意； 故选：． 15．如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键；根据零指数幂，负整数指数幂分别求出a，b，c，再比较大小即可得解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 16．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项、负整数指数幂 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项等知识，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法、负整数指数幂、合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 17．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式、负整数指数幂 【分析】本题考查的知识点是单项式的乘法、积的乘方、负整数指数幂的运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 根据单项式的乘法、积的乘方、负整数指数幂的运算法则即可得解． 【详解】解：． 故选：． 18．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】积的乘方运算、用科学记数法表示数的除法、幂的乘方运算 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 19．计算：_______ 【答案】 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题涉及负整数指数幂的运算，核心是运用（，为正整数）将负指数幂转化为正指数幂的倒数进行计算．根据负整数指数幂的定义（，为正整数）进行计算． 【详解】根据负整数指数幂的定义，， 计算， ． 故答案为：． 20．计算： __________ (结果写成最简分式) 【答案】 【知识点】整数指数幂的运算 【分析】首先计算积的乘方，再用同底数幂的除法，最后再化成最简分式即可． 【详解】解：原式= = x-1y= ． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了分式与负指数幂的公式，关键是熟练掌握负指数幂公式，根据负指数幂的公式变形即可得出结果． 21．定义一种新运算，例如：．若，则______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了新定义运算，负整数指数幂． 根据新定义得到，即，计算负整数指数幂，进而可知． 【详解】， ， ， 则， 即， 解得． 故答案为：． 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整数指数幂的运算、分式乘法、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算，再计算即可； （2）按照整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 23．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)-5 (2)2 022 (3) 【知识点】整数指数幂的运算、含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可； （2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可； （3）按照整数指数幂的计算法则计算即可； 【详解】（1） ； （2） =2022； （3） ． 24．当时，求的值． 【答案】， 【知识点】计算单项式乘单项式、计算单项式除以单项式、负整数指数幂 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，熟练掌握整数指数幂的运算法则是解题的关键；先进行乘方运算然后进行同底数幂的乘除运算，即可化简式子，然后将代入化简后的式子即可得到结果. 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 故原式的值为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.4整数指数幂 学习目标导航 1、理解定义：理解负整数指数幂的定义，掌握整数指数幂的运算性质。 2、科学记数法：能熟练运用科学记数法表示绝对值小于1的数，并理解其在实际生活中的应用。 3、运算拓展：将整数指数幂的运算性质与分式运算相结合，提升代数运算的综合能力。 洞悉◆教材知识 知识点01 整数指数幂 1. 负整数指数幂： 一个数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的 倒数 。即： 。（a≠0）证明： = 。 写成分数的形式计算： 即： = = 。 ∴= 2. 整数指数幂的运算性质： 整数指数幂 （指数均为整数，底数不为0） 运算法则 逆运算 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 知识点02 用科学记数法表示绝对值小于1的数 较大的数 较小的数 定义 把一个较大的正数写成（，为正整数）的形式． 把一个小于1的正数表示为（，为正整数）的形式． 的确定方法 这个数的整数部分的位数减去1． 这个数左起第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0）． 核心题型◆归纳 题型01 负整数指数幂的计算 题型02 利用整数指数幂的计算求值 题型03 根据式子有无意义求值 题型04 比较大小 题型05 用科学记数法表示较小的数 ABC分层训练 题型解析◆精准备考 题型01 负整数指数幂的计算 【典例1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】计算：（﹣3）﹣3＝（　　） A．27 B． C． D．﹣27 题型02 利用整数指数幂的计算求值 【典例1】已知，则m+2n的值＝　 　． 【变式1】已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　 　． 题型03 根据式子有无意义求值 【典例1】若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x 【变式1】若（x﹣2）0+（6﹣2x）﹣1有意义，那么x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＞3 C．2＜x＜3 D．x≠2且x≠3 题型04 比较大小 【典例1】已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＝b＞c 【变式1】已知，那么a，b，c的大小关系（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b 题型05 用科学记数法表示较小的数 【典例1】用科学记数法表示0.0000456，正确的是（　　） A．4.56×10﹣5 B．45.6×10﹣6 C．4.56×105 D．0.456×10﹣4 【变式1】“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是0.000028m这个数用科学记数法表示是（　　） A．0.28×10﹣5 B．2.8×10﹣5 C．2.8×10﹣6 D．﹣2.8×105 ABC分层训练 1．的倒数是（  ） A． B． C． D． 2．一种病菌的直径约为米，米用科学记数法表示是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．若有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．，且 4．如果，，，那么a、b、c三数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果不用分式，而用负整指数幂的形式表示，应为（    ）. A． B． C． D． 6．计算_______ ． 7．我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为______________． 8．计算：______． 9．五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的______倍． 10．计算的值___________． 11．计算： (1)； (2)． 12．一个正方体盒子的棱长为．（答案均用科学记数法表示） (1)这个正方体的体积是多少？ (2)若有一个小立方块的棱长为，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？ 13．计算的结果是（   ） A．0 B．3 C．-3 D．1 14．用科学记数法表示的下列四个数中，错误的是（   ） A． B． C． D． 15．如果，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 16．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 17．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 18．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．计算：_______ 20．计算： __________ (结果写成最简分式) 21．定义一种新运算，例如：．若，则______． 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1)； (2)； (3)． 24．当时，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $