第六单元 因数与倍数-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+18个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共70题）2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学“因数与倍数”单元复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，知识梳理部分涵盖7个核心知识点，以清晰框架呈现因数与倍数的定义、特征、2/3/5倍数特征等内容，用关联图表突出质数与合数、最大公因数与最小公倍数的内在逻辑，帮助学生直观把握重难点分布。 讲义亮点在于分层递进的练习设计，18个高频考点讲练结合典例与变式（如“运动员方阵每2/3/5人一排是否整排”），7个奥数拓展（如“韩信点兵”问题）培养数学思维与推理能力，分层真题演练兼顾基础巩固与创新提升，助力不同层次学生发展运算能力与应用意识，为教师实施精准教学提供系统支持。

2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第六单元因数与倍数『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+18个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练共70题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏 教版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 。 知识梳理温故知新.·· ….3 知识点一因数与倍数 .3 知识点二2、5、3的倍数特征 4 知识点三奇数与偶数.......... 4 知识，点四质数与合数 知识点五分解质因数...· ,5 知识点六最大公因数 知识点七最小公倍数… …5 考点讲练真题汇总... 第1页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考，点一因数和倍数的认识....· 高频考点二找一个数的因数及因数的特征.· 高频考点三根据因数的特征解决问题......… 高频考点四找一个数的倍数及倍数的特征.... .7 高频考点五根据倍数的特征解决问题. ….7 高频考点六倍数和因数的综合应用.· 高频考点七2、5的倍数特征. > 高频考点八奇数与偶数的认识.… 高频考点九3的倍数特征....... 8 高频考点十2、3、5的倍数特征综合.... 。。。。。。。。。。 8 高频考点十一质数与合数的认识.... 高频考点十二质数与合数的综合应用.. 高频考点十三质因数的含义 9 高频考点十四分解质因数…· 10 高频考点十五公因数与最大公因数.· 10 高频考点十六用最大公因数解决实际问题.·· 10 高频考点十七公倍数与最小公倍数.·...… 高频考点十八用最小公倍数解决实际问题.·· 11 难点突破奥数拓展…。 11 奥数拓展一根据因数的特征解决问题.· 11 奥数拓展二根据倍数的特征解决问题 12 奥数拓展三2、5的倍数特征..... 12 奥数拓展四3的倍数特征. 13 奥数拓展五分解质因数.... 13 奥数拓展六公因数与最大公因数.·. 13 奥数拓展七公倍数与最小公倍数.... 13 优选真题实战演练.…… 14 【能力提升练】 ...14 【思维创新练】16 第2页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 导图指引梳理脉络 如果a×b=c(a、b、c是不为0的自然数)， 小提示 那么a、b是c的因数，c是a、b的倍数。 1.因数 0不是 在研究因数和信双时 因数与倍数的特征 个位上是0.2.4、6、8的数，能被2整除 如果a+b=c(a、b、c是不为0的自然数 一个数最小的因是1 1,能被2整除的特征 且a能被b整除)，那么a是b的倍数， 2.倍数 最大的因数是它本身 【例判断下面各数能否被2整除 b是a的因数 最小的信数是它本身， 48(能)57（不能）120（能） 因数和倍散是相互依存的关系】 个位上是0或5的数，能被5整除 012249年1490124414167999 2.能被5整除的特征 在直线上用“○”表示某数的倍数 3在直线上表示 用“△”表示某数的因数 第六单元 3.奇数与级 能坡2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数 因数与倍数 【别题】判断下面各数是奇数还是偶数。 13(奇数 28(偶数】 97(奇数 一个数，除了1和它本身外，没有其他因数， 这个数叫质数（素数） 1质数 公因数和公倍数 一个数，除了1和它本身外，还有其他因数 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数 这个致叫合数。 2,合数 1.公因数 其中最大的公因数叫作最大公因数。 3.1既不是质数，也不是合数 2.公倍数 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数 整理与练习 其中最小的公倍数叫作最小公倍数 4,质数与合数的求法 根据因数的个数来判断： ,自然数按能否被2整馨可分为 偶数（能被2整除）和奇数（不能被2除） 3求法 先找出每个数的因数（或倍数）， 再找出它们的公因数（或公倍数）。 只有两个因数，历数 除了两个因数，还有其他因数→合数 个的因的布的信的个是天的 普数关系。则大数是较小数的倍数 【例题】（附答案） 【例题】（答密 1,判断下面各数是质数还是合数。(1不是质数也不是合数) ,分解侨因数：把一个合数写成几个质数连乘的形式 求18和24的最大公因数和最小公倍数 6（会数】17（质数）29（质数）1（既不里质数地不是合数 叫作分解质因数。 答：最大公因数是6，最小公倍数是72。 【例题】（附答案） 求12,18和30的最大公因数和最小公倍数 1.把60分解质因数 答：60=2×2×3×5 答：最大公因数是6，最小公倍数是180。 3.写出20的所有倍敬（写出5个）。 答：84=2×2×3×7 答：20的倍数有20、40.60.80.100… 2.把84分解质因数。 综合练习题（附答案） 1.写出24的所有因数 2写出15的所有倍数（写出6个） 3.判断97是质数还是合数4，找出36和60的最大公因数和 5.把90分解质因数 6.在1-50的自然数中，找出所有 答：1.2、346.8.12、24 答：15、30、45.60.75.90 答：97是质数 显小公倍数 答：90=2×3×3×5 的质数。 答：最大公因数是12，最小公倍数是180 知识梳理温故知新 知识点一因数与倍数 1.因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6,12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c 的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2.找一个数的因数的方法 (1)列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因 数。 (2)列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3.因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 第3页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 4.找一个数的倍数的方法 (1)列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 (2)列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5.倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二2、5、3的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3.3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三奇数与偶数 1.偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2.奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数)，习惯用2n一1表示。 3.奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (④)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数一奇数=偶数 奇数一偶数=奇数 偶数一奇数=奇数 偶数一偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四质数与合数 1.质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数)。 例如：20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2.合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 第4页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 例如：20以内的合数有4,6,8,9,10,12,14,15,16,18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3.注意。 (1)0、1既不是质数，也不是合数。 (2)100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97,共25个。 知识点五分解质因数 1.分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5,24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2.注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六最大公因数 1.最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几 个数的最大公因数。 2.求最大公因数的方法 (1)列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 (2)短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 (短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作(12,18)=6。 知识点七最小公倍数 1.最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最 小公倍数。 2.求最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 (2)短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 第5页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 (短除法的口决：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。) (3)分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 (4)互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 (5)倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3.注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作[12,18]= 36。 考点讲练真题汇总 高频考点一因数和倍数的认识 【典例精讲】举行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，如果每2人站成一排，能正好站成整排 吗？每3人呢？每5人呢？ 【变式训练】若a×b=42,则42一定是a和b的倍数。( )(判断对错) 高频考点二找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】24的因数中，最小的是_一一，最大的是一一。 【变式训练】一个长方形的长和宽的米数都是自然数，面积是24m,这样的形状不同的长方形共有() 种。 高频考点三根据因数的特征解决问题 【典例精讲】60人分组做游戏，要求每组人数相等，且每组不多于30人，不少于5人，有( )种 分法。 【变式训练】把36个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果 有37个球呢？ 第6页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点四找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】(24-25五年级下·湖南常德·期末)某车的车牌为湘A口口D口口，其中第一个数是4的最 小倍数，第二个数是最小的自然数，第三个数是9的最大因数，第四个数的所有因数是1,2,4。该车牌号 是湘A( )()D( 【变式训练】(24-25五年级下·山西大同·期末)一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2 和3，符合条件的数有( ）。 高频考点五根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】小明有若干张2元和5元的纸币，这两种纸币张数相同，那么小明可能有( )元钱。 A.20 B.50 C.91 D.100 【变式训练】某公交车早上6：20发出第一辆车，以后每隔15分钟发一辆，下面( )时间不是发 车时间。 A.6:50 B.7:05 C.7:15 D.7:50 高频考点六倍数和因数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级下·湖南邵阳期末)一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( 这个数一共有( )个因数。 【变式训练】(25-26五年级下·山西晋中·期末)为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多 彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成 一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多 少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 高频考点七2、5的倍数特征 【典例精讲】(25-26五年级下·河南周口·期末)一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，如果这个数 是偶数，最大是( ),如果这个数是奇数，最小是( ）。 第7页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级下·浙江温州·期末)月饼加工厂生产了2026个月饼。至少再增加( 个，就能每3个装一盒正好装完；至少拿走( )个，就能每2个或5个装一盒正好装完。 高频考点八奇数与偶数的认识 【典例精讲】(25-26五年级下·广东珠海·期末)端午节佩戴香囊是一种古老习俗。现有三款香囊，其 重量分别是三个连续的奇数，且它们的重量总和是51克，最轻香囊重( )克。 【变式训练】(25-26五年级下·福建厦门·期末)芳芳一家坐火车旅行，购票时发现从北京开往厦门的 车次用奇数表示，从厦门开往北京的车次用偶数表示。不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G-高速动 车；D-动车；Z-直达特快；T-特快列车；K-快速列车。下面的车次有( )个是从北京开出的。 ①D131 ②G326 ③G45 ④Z308 ⑤T167 ⑥K571 A.5 B.4 C.3 D.2 高频考点九3的倍数特征 【典例精讲】(25-26五年级下·甘肃临夏·期末)在四位数21口0的方框里填入一个数字，使它能同时 被2、3、5整除，最多有( )种填法。 A.2 B.3 C.4 D.5 【变式训练】(24-25五年级下·四川南充·期末)奶奶每天都通过运动记录软件督促自己运动，今天奶 奶走路的步数是一个四位数，且是一个偶数，它还是3和5的倍数，奶奶今天走的步数可能是( )。 A.5600 B.7815 C.8640 D.9317 高频考点十2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】(25-26五年级下·河南漯河·期末)一个两位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数 最小是( ),最大是( )。 【变式训练】(25-26五年级下·陕西渭南·期末)从下面四张数字卡片中选出三张，按要求组成一个三 位数，使它符合题目要求。（每题写两个） 6 (1)5的倍数：( ),( )。 (2)同时是2,3,5的倍数：( ),( 高频考点十一质数与合数的认识 【典例精讲】(24-25五年级下·山西临汾·期末)在“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十 枝花”这首诗中出现的数，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是合数 第8页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 又是偶数，( )既不是质数又不是合数。 【变式训练】(24-25五年级下·四川泸州·期末)微信支付极大便利了人们生活，芳芳帮爷爷设定了一 个六位数的微信支付密码：十万位上是8，万位上是最小的奇数，千位上是最小的偶数，百位上是最小的合 数，十位上是最小的质数，个位上是1。这个支付密码是( ）。 高频考点十二质数与合数的综合应用 【典例精讲】(25-26五年级下·湖北武汉·期末)“编程”是一种锻炼思维能力的方式。一个程序的运 算规则如图，若输入17显示结果是多少？若显示结果是20，那么输入的这个数是多少？ 输入数a a是质数 a是合教 a2+2 2a+2 显示结果 【变式训练】(25-26五年级下·江苏苏州·期中)一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单 位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积 最大是多少平方米？ 高频考点十三质因数的含义 【典例精讲】(25-26五年级下·江苏扬州·期中)在学习了“等式”和“方程”后，两者之间的关系可 以用下面的集合圈图来表示。下面知识点也可以用这样的集合圈图表示的有( )组。 B ①奇数和偶数 ②因数和质因数 ③质数和合数 ④长方形和正方形 ⑤相交和垂直 ⑥等腰三角形和等边三角形 ⑦条形统计图和折线统计图 A.3 B.4 C.5 D.6 第9页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级下·河北邢台·期末)一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是 )。 高频考点十四分解质因数 【典例精讲】（25-26五年级下·山西大同·期末)一个两位数2口，它既是2的倍数，又有因数3，这个 两位数是( ),将它分解质因数是()。 【变式训练】(25-26五年级下·河南平顶山·期末)一个两位数，十位上数字的最大因数是8，个位上是 最小的合数，这个数是( ),把它分解质因数是( ）。 高频考点十五公因数与最大公因数 【典例精讲(24-25五年级下广东汕头期末)既是2和5的倍数，又含有因数3的最大两位数是( 分子是16和24的最大公因数，分母是3和5的最小公倍数，这个分数是( ）。 【变式训练】(24-25五年级下·山东菏泽·期末)希望小学除了开展校本课程活动之外，还经常组织学 生参加公益活动。周末，有35名男生和28名女生报名去养老院参加公益活动，若把这些男生和女生分别 分成若干组，要求每组人数相同且没有剩余。每组最多有多少人？ 高频考点十六用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】(24-25五年级下·山东滨州·期末)把45块水果糖和30块巧克力分别平均分给几个得奖 的同学，都正好分完。最多有多少位得奖的同学？每位得奖同学分得了几块水果糖和几块巧克力？ 【变式训练】(25-26五年级下·山东临沂·期末)五年级合唱队有男生48人，女生36人，在排练队形 时，老师要求男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？ 第10页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点十七公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(25-26五年级下·浙江台州·期末)六一演出的人数是一个三位数，它能同时被2、3、5 整除，演出的人数最少有( )人。 【变式训练】(24-25五年级下·四川乐山·期末)甲、乙、丙三个龙舟队开展训练，甲龙舟队每4天训 练一次，乙龙舟队每6天训练一次，丙龙舟队每8天训练一次。如果从5月1日开始第一次同时训练，至 少多少天后三个龙舟队再次同时训练？此时乙龙舟队已训练多少次？ 高频考点十八用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】(25-26五年级下·河北秦皇岛·期末)清明节又称踏青节，“捣青草为汁，和粉作团，色 如碧玉”用来形容清明节的时令食物一一青团，果果家做了一些青团作为春游小吃，4个装一盒或5个装一 盒都剩3个，已知果果家做好的青团不到50个，那么他家最多做了多少个青团？ 【变式训练】（25-26五年级下·安徽蚌埠·期末)五(1)班的学生人数在5060人，王老师想把全体学 生平均分成若干个学习小组，无论按4人一组还是7人一组，都正好多出1人。这个班有( )人。 难点突破奥数拓展 奥数拓展一根据因数的特征解决问题 【典例精讲】(25-26五年级下·湖南长沙·期末)一个数有6个因数，从小到大排列，第1个和第6个 之和是29，前5个因数之和是()。 第11页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·安徽毫州·期中)五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力 童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求 每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 奥数拓展二根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】如图所示的一张6行4列的方格纸上。每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如： m=5×9=45。如果可以重新排列最上边与最左边的10个数字的位置，并且重排后，每个方格内的数字也 更新为重排后的最上边与最左边两个数的乘积。 78910 1 2 3 8 5 m 6 那么重排后：24个方格内最多能有」 个奇数。24个方格内最多能有 个10的倍数。 【变式训练】一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车 坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞 赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一 辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？ 奥数拓展三2、5的倍数特征 【典例精讲】有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 第12页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】一个两位数除以2、3、5，结果都余1。这个数最小是()，最大是( )。 奥数拓展四3的倍数特征 【典例精讲】(2026·重庆·小升初真题)阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分 成左、中、右三个位数相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的中间数， c代表这个整数分出来的右边数，其中a,b,c位数相同，若b一a=c一b,我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3,5,7，并且满足：5-3=7-5： 413223分成三个数41,32,23，并且满足：32-41=23-32： 所以：357和413223都是等差数。 (1)判断：148等差数，514335 等差数：（用“是”或“不是”填空） (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除： (3)若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T。 【变式训练】A是大于0小于10的自然数，B是0，用字母A、B组成一个能同时被2、3、5整除的四位数 是( ）。 奥数拓展五分解质因数 【典例精讲】(2026·重庆·小升初真题)有四个数相乘975×935×972×口，要使它的积最后4个数都 是“0”，则口里最小应填( ）。 【变式训川练】(25-26六年级下·云南昆明·期末)举例：22=2×11，并且2+2=2+1十1，像22这样， 一个合数，其各位数字之和等于其质因数分解中所有质因数的各位数字之和，就把这样的数叫做“史密斯 数”。在4、18、27、58这四个数中，是“史密斯数”的有( ）个。 A.0 B.1 C.2 D.3 奥数拓展六公因数与最大公因数 【典例精讲】两个数的最大公因数是6，它们的最小公倍数是24，这两个数的积是( )。 奥数拓展七公倍数与最小公倍数 【典例精讲】(25-26四年级下·山东东营·期末)你听说过“韩信点兵”的故事吗？ 韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四百多人。还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌。 第13页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 他命令士兵3人一排，多出2人：5人一排，多出4人：7人一排，多出6人。韩信马上向将士们宣布：“我 军还有( )名勇士。” 请你算一算韩信军队还有多少名勇士？ 【变式训练】(25-26六年级下·河南安阳·期末)如果a÷b=5…1(a、b是不为0的自然数)，则a 与b的最大公因数是( ),最小公倍数是( ）。 优选真题 实战演练 【能力提升练】 1.10以内所有质数的和是( )。 A.17 B.18 C.15 D.16 2.(26-27五年级上·全国·课后作业)用1,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其 中奇数的个数为( )。 A.36 B.30 C.40 D.60 3.(25-26五年级上·河南驻马店·期末)12的分数单位是( ),它再增加( )个这样的单 位就是最小的合数。 4.(23-24五年级下·河南驻马店·期末)端午节，又称“端阳节”“龙舟节”等，是我国传统节日之一， 也是我国首个入选世界非遗的节日。每年的五月初五，人们常以“扒龙舟”“食粽子”来纪念我国古代伟 大的爱国诗人屈原。端午节前夕，小彤家一共包了16个蛋黄粽和一些蜜枣粽。 (1)妈妈把蜜枣粽放在保鲜盒里，每盒放6个或每盒放8个都正好放完，小彤家至少包了( )个蜜枣 粽。 (2)在16个蛋黄粽中，有1个是小彤包的，质量轻一些，其余15个质量相同。假如用天平称，至少称( 次能保证找出这个蛋黄粽。 5.(24-25五年级上·四川成都·期中)最小的质数是( ),最小的合数是( ),既是质数 又是偶数的数是( ),既是奇数又是合数的最小数是( ),既不是质数也不是合数的数是 ( )。 6.如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( ）(判断对错) 第14页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(25-26五年级上·甘肃定西·期末)求下列数的最大公因数和最小公倍数。 24和36 20和19 17和51 8.(25-26五年级上·广东深圳·期末)将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹 果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 9.(23-24五年级上·辽宁·课后作业)二十四节气被誉为“中国第五大发明”，也是人类非物质文化遗 产之一。下面是二十四节气歌。 二十四节气歌 春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连。 秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。 每月两节不变更，最多相差一两天。 上半年来六廿（注）一，下半年是八廿三。 【注】廿：二十。 (1)上面这段文字所含的数中（含题目），既不是质数又不是合数的数是( ),是质数的有( 是合数的有( )。 (2)这段文字所含有的数字中，2的倍数有( ),3的倍数有( ),既是2的倍数，又是3的 倍数的有( ）。 10.(23-24五年级下·河南郑州·期末)探索9的倍数特征。 1951195219531954195519561957195819591960 1961196219631964196519661967196819691970 1971197219731974197519761977197819791980 1981198219831984198519861987198819891990 19911992199319941995199619971998 19992000 2001200220032004200520062007200820092010 (1)把上表中9的倍数用○圈出，9的倍数( )3的倍数。（填“都是”或“不全是”) 第15页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 (2)把9的倍数的各位上的数字相加，你发现了什么规律？ (3)结合第(2)小题中发现的规律，从下面任选3张卡片，组成是9的倍数的三位数，写出2个。 4509 【思维创新练】 1.两个整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则这两个整数的乘积是多少？ A.273 B.819 C.1911 D.3549 2.已知124口能同时被3和5整除，口里应填( )。 A.2 B.0 C.5 D.8 3.公共汽车409每隔6分开出一趟，公共汽车408每隔8分开出一趟。这两辆公共汽车第一次同时发车后， ( ）分后两车会再次同时发车。 A.2 B.8 C.24 D.48 4.(25-26五年级上·浙江金华·期末)在33,12,0.99,0,2,3，-19，言19中，自然数有( ), 质数有( ),3的倍数有( ),既是奇数又是合数的有( ）。 5.一只灰兔和一只白兔进行跳跃比赛，灰兔每次跳10厘米，白兔每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次， 且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷 阱有 厘米。 6.把10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数。（ )(判断对错) 7.(25-26五年级上·广东深圳·期中)齐白石是中国近代绘画大师，以画虾而闻名。言言学习齐白石， 画了一幅以虾为素材的画，画卷为长方形，长和宽都是质数，并且周长是32分米，言言画的这幅画面积最 大是多少平方分米？ 第16页共17页 2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 8.(24-25五年级下·福建福州·期中)同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、 依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 41 43 47 49 黄霏霏 淘淘 依依 龙一鸣 9.一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植 一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 10.有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标 有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？ 第17页共17页null2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第六单元 因数与倍数『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+18个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共70题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三 奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 4 知识点五 分解质因数 5 知识点六 最大公因数 5 知识点七 最小公倍数 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 6 高频考点三 根据因数的特征解决问题 6 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 7 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 7 高频考点六 倍数和因数的综合应用 7 高频考点七 2、5的倍数特征 7 高频考点八 奇数与偶数的认识 8 高频考点九 3的倍数特征 8 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 8 高频考点十一 质数与合数的认识 8 高频考点十二 质数与合数的综合应用 9 高频考点十三 质因数的含义 9 高频考点十四 分解质因数 10 高频考点十五 公因数与最大公因数 10 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 10 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 11 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 11 难点突破 奥数拓展 11 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 11 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 12 奥数拓展三 2、5的倍数特征 12 奥数拓展四 3的倍数特征 13 奥数拓展五 分解质因数 13 奥数拓展六 公因数与最大公因数 13 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数 13 优选真题 实战演练 14 【能力提升练】 14 【思维创新练】 16 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六 最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七 最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】举行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，如果每2人站成一排，能正好站成整排吗？每3人呢？每5人呢？ 【变式训练】若，则42一定是和的倍数。( )（判断对错） 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】24的因数中，最小的是____，最大的是_____。 【变式训练】一个长方形的长和宽的米数都是自然数，面积是24 m2，这样的形状不同的长方形共有( )种。 高频考点三 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】60人分组做游戏，要求每组人数相等，且每组不多于30人，不少于5人，有( )种分法。 【变式训练】把36个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果有37个球呢？ 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南常德·期末）某车的车牌为湘A□□D□□，其中第一个数是4的最小倍数，第二个数是最小的自然数，第三个数是9的最大因数，第四个数的所有因数是1，2，4。该车牌号是湘A( )( )D( )( )。 【变式训练】（24-25五年级下·山西大同·期末）一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，符合条件的数有( )。 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】小明有若干张2元和5元的纸币，这两种纸币张数相同，那么小明可能有（    ）元钱。 A．20 B．50 C．91 D．100 【变式训练】某公交车早上6：20发出第一辆车，以后每隔15分钟发一辆，下面（    ）时间不是发车时间。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：50 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南邵阳·期末）一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( )，这个数一共有( )个因数。 【变式训练】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·河南周口·期末）一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，如果这个数是偶数，最大是( )，如果这个数是奇数，最小是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·浙江温州·期末）月饼加工厂生产了2026个月饼。至少再增加( )个，就能每3个装一盒正好装完；至少拿走( )个，就能每2个或5个装一盒正好装完。 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级下·广东珠海·期末）端午节佩戴香囊是一种古老习俗。现有三款香囊，其重量分别是三个连续的奇数，且它们的重量总和是51克，最轻香囊重( )克。 【变式训练】（25-26五年级下·福建厦门·期末）芳芳一家坐火车旅行，购票时发现从北京开往厦门的车次用奇数表示，从厦门开往北京的车次用偶数表示。不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G﹣高速动车；D﹣动车；Z﹣直达特快；T﹣特快列车；K﹣快速列车。下面的车次有（    ）个是从北京开出的。 ①D131    ②G326      ③G45      ④Z308      ⑤T167      ⑥K571 A．5 B．4 C．3 D．2 高频考点九 3的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·甘肃临夏·期末）在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】（24-25五年级下·四川南充·期末）奶奶每天都通过运动记录软件督促自己运动，今天奶奶走路的步数是一个四位数，且是一个偶数，它还是3和5的倍数，奶奶今天走的步数可能是（    ）。 A．5600 B．7815 C．8640 D．9317 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26五年级下·河南漯河·期末）一个两位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数最小是( )，最大是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西渭南·期末）从下面四张数字卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)5的倍数：( )，( )。 (2)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 高频考点十一 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·山西临汾·期末）在“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花”这首诗中出现的数，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是合数又是偶数，( )既不是质数又不是合数。 【变式训练】（24-25五年级下·四川泸州·期末）微信支付极大便利了人们生活，芳芳帮爷爷设定了一个六位数的微信支付密码：十万位上是8，万位上是最小的奇数，千位上是最小的偶数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是1。这个支付密码是( )。 高频考点十二 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·湖北武汉·期末）“编程”是一种锻炼思维能力的方式。一个程序的运算规则如图，若输入17显示结果是多少？若显示结果是20，那么输入的这个数是多少？ 【变式训练】（25-26五年级下·江苏苏州·期中）一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 高频考点十三 质因数的含义 【典例精讲】（25-26五年级下·江苏扬州·期中）在学习了“等式”和“方程”后，两者之间的关系可以用下面的集合圈图来表示。下面知识点也可以用这样的集合圈图表示的有（    ）组。 ①奇数和偶数    ②因数和质因数    ③质数和合数    ④长方形和正方形 ⑤相交和垂直    ⑥等腰三角形和等边三角形    ⑦条形统计图和折线统计图 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】（24-25六年级下·河北邢台·期末）一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是( )。 高频考点十四 分解质因数 【典例精讲】（25-26五年级下·山西大同·期末）一个两位数2□，它既是2的倍数，又有因数3，这个两位数是( )，将它分解质因数是( )。 【变式训练】（25-26五年级下·河南平顶山·期末）一个两位数，十位上数字的最大因数是8，个位上是最小的合数，这个数是( )，把它分解质因数是( )。 高频考点十五 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕头·期末）既是2和5的倍数，又含有因数3的最大两位数是( )；分子是16和24的最大公因数，分母是3和5的最小公倍数，这个分数是( )。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）希望小学除了开展校本课程活动之外，还经常组织学生参加公益活动。周末，有35名男生和28名女生报名去养老院参加公益活动，若把这些男生和女生分别分成若干组，要求每组人数相同且没有剩余。每组最多有多少人？ 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·山东滨州·期末）把45块水果糖和30块巧克力分别平均分给几个得奖的同学，都正好分完。最多有多少位得奖的同学？每位得奖同学分得了几块水果糖和几块巧克力？ 【变式训练】（25-26五年级下·山东临沂·期末）五年级合唱队有男生48人，女生36人，在排练队形时，老师要求男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？ 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26五年级下·浙江台州·期末）六一演出的人数是一个三位数，它能同时被2、3、5整除，演出的人数最少有( )人。 【变式训练】（24-25五年级下·四川乐山·期末）甲、乙、丙三个龙舟队开展训练，甲龙舟队每4天训练一次，乙龙舟队每6天训练一次，丙龙舟队每8天训练一次。如果从5月1日开始第一次同时训练，至少多少天后三个龙舟队再次同时训练？此时乙龙舟队已训练多少次？ 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（25-26五年级下·河北秦皇岛·期末）清明节又称踏青节，“捣青草为汁，和粉作团，色如碧玉”用来形容清明节的时令食物——青团，果果家做了一些青团作为春游小吃，4个装一盒或5个装一盒都剩3个，已知果果家做好的青团不到50个，那么他家最多做了多少个青团？ 【变式训练】（25-26五年级下·安徽蚌埠·期末）五（1）班的学生人数在50~60人，王老师想把全体学生平均分成若干个学习小组，无论按4人一组还是7人一组，都正好多出1人。这个班有( )人。 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南长沙·期末）一个数有6个因数，从小到大排列，第1个和第6个之和是29，前5个因数之和是( )。 【变式训练】（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】如图所示的一张6行4列的方格纸上。每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如：m＝5×9＝45。如果可以重新排列最上边与最左边的10个数字的位置，并且重排后，每个方格内的数字也更新为重排后的最上边与最左边两个数的乘积。 那么重排后：24个方格内最多能有__________个奇数。24个方格内最多能有__________个10的倍数。 【变式训练】一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？ 奥数拓展三 2、5的倍数特征 【典例精讲】有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 【变式训练】一个两位数除以2、3、5，结果都余1。这个数最小是( )，最大是( )。 奥数拓展四 3的倍数特征 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个位数相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c位数相同，若b－a＝c－b，我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5－3＝7－5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32－41＝23－32； 所以：357和413223都是等差数。 (1)判断：148_______等差数，514335_________等差数；（用“是”或“不是”填空） (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除； (3)若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T。 【变式训练】A是大于0小于10的自然数，B是0，用字母A、B组成一个能同时被2、3、5整除的四位数是( )。 奥数拓展五 分解质因数 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）有四个数相乘975×935×972×□，要使它的积最后4个数都是“0”，则□里最小应填( )。 【变式训练】（25-26六年级下·云南昆明·期末）举例：22＝2×11，并且2＋2＝2＋1＋1，像22这样，一个合数，其各位数字之和等于其质因数分解中所有质因数的各位数字之和，就把这样的数叫做“史密斯数”。在4、18、27、58这四个数中，是“史密斯数”的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 奥数拓展六 公因数与最大公因数 【典例精讲】两个数的最大公因数是6，它们的最小公倍数是24，这两个数的积是( )。 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26四年级下·山东东营·期末）你听说过“韩信点兵”的故事吗？ 韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四百多人。还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信马上向将士们宣布：“我军还有（    ）名勇士。” 请你算一算韩信军队还有多少名勇士？ 【变式训练】（25-26六年级下·河南安阳·期末）如果（、是不为0的自然数），则与的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【能力提升练】 1．10以内所有质数的和是（    ）。 A．17 B．18 C．15 D．16 2．（26-27五年级上·全国·课后作业）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ）。 A．36 B．30 C．40 D．60 3．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）的分数单位是( )，它再增加( )个这样的单位就是最小的合数。 4．（23-24五年级下·河南驻马店·期末）端午节，又称“端阳节”“龙舟节”等，是我国传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。每年的五月初五，人们常以“扒龙舟”“食粽子”来纪念我国古代伟大的爱国诗人屈原。端午节前夕，小彤家一共包了16个蛋黄粽和一些蜜枣粽。 (1)妈妈把蜜枣粽放在保鲜盒里，每盒放6个或每盒放8个都正好放完，小彤家至少包了( )个蜜枣粽。 (2)在16个蛋黄粽中，有1个是小彤包的，质量轻一些，其余15个质量相同。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个蛋黄粽。 5．（24-25五年级上·四川成都·期中）最小的质数是( )，最小的合数是( )，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的最小数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 6．如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( )（判断对错） 7．（25-26五年级上·甘肃定西·期末）求下列数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    20和19    17和51 8．（25-26五年级上·广东深圳·期末）将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 9．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）二十四节气被誉为“中国第五大发明”，也是人类非物质文化遗产之一。下面是二十四节气歌。 二十四节气歌 春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连。 秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。 每月两节不变更，最多相差一两天。 上半年来六廿（注）一，下半年是八廿三。 【注】廿：二十。 (1)上面这段文字所含的数中（含题目），既不是质数又不是合数的数是( )，是质数的有( )，是合数的有( )。 (2)这段文字所含有的数字中，2的倍数有( )，3的倍数有( )，既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 10．（23-24五年级下·河南郑州·期末）探索9的倍数特征。 （1）把上表中9的倍数用◯圈出，9的倍数（    ）3的倍数。（填“都是”或“不全是”） （2）把9的倍数的各位上的数字相加，你发现了什么规律？ （3）结合第（2）小题中发现的规律，从下面任选3张卡片，组成是9的倍数的三位数，写出2个。 【思维创新练】 1．两个整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则这两个整数的乘积是多少？ A．273 B．819 C．1911 D．3549 2．已知124□能同时被3和5整除，□里应填（    ）。 A．2 B．0 C．5 D．8 3．公共汽车409每隔6分开出一趟，公共汽车408每隔8分开出一趟。这两辆公共汽车第一次同时发车后，（    ）分后两车会再次同时发车。 A．2 B．8 C．24 D．48 4．（25-26五年级上·浙江金华·期末）在33，12，0.99，0，2，3，﹣19，，19中，自然数有( )，质数有( )，3的倍数有( )，既是奇数又是合数的有( )。 5．一只灰兔和一只白兔进行跳跃比赛，灰兔每次跳10厘米，白兔每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷阱有___________厘米。 6．把10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数。( )（判断对错） 7．（25-26五年级上·广东深圳·期中）齐白石是中国近代绘画大师，以画虾而闻名。言言学习齐白石，画了一幅以虾为素材的画，画卷为长方形，长和宽都是质数，并且周长是32分米，言言画的这幅画面积最大是多少平方分米？ 8．（24-25五年级下·福建福州·期中）同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 9．一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 10．有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏教版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第六单元 因数与倍数『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+18个考点讲练+7个奥数拓展+真题难度分层演练 共70题） 同学你好，该份讲义用于苏教版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合苏教版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 因数与倍数 3 知识点二 2、5、3的倍数特征 4 知识点三 奇数与偶数 4 知识点四 质数与合数 4 知识点五 分解质因数 5 知识点六 最大公因数 5 知识点七 最小公倍数 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 因数和倍数的认识 6 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 7 高频考点三 根据因数的特征解决问题 7 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 8 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 9 高频考点六 倍数和因数的综合应用 10 高频考点七 2、5的倍数特征 11 高频考点八 奇数与偶数的认识 12 高频考点九 3的倍数特征 13 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 14 高频考点十一 质数与合数的认识 15 高频考点十二 质数与合数的综合应用 16 高频考点十三 质因数的含义 17 高频考点十四 分解质因数 18 高频考点十五 公因数与最大公因数 19 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 20 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 21 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 22 难点突破 奥数拓展 23 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 23 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 24 奥数拓展三 2、5的倍数特征 25 奥数拓展四 3的倍数特征 26 奥数拓展五 分解质因数 28 奥数拓展六 公因数与最大公因数 30 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数 30 优选真题 实战演练 31 【能力提升练】 31 【思维创新练】 37 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六 最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七 最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较大的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 高频考点一 因数和倍数的认识 【典例精讲】举行校际运会，运动员方阵进场，每个方阵有50人，如果每2人站成一排，能正好站成整排吗？每3人呢？每5人呢？ 【答案】能；不能；能 【思路引导】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，各数位相加的和是3的倍数的数是3的倍数，个位是0或5的数是5的倍数；想正好站成整排，需要总人数是每排人数的倍数，则解决此题只需要验证50是否是2、3、5的倍数即可，用总人数除以每排的人数即可求出能站多少排，如果有余数就不能站成整排。 【规范解答】50÷2＝25（排） 50÷3＝16（排）……2（人） 50÷5＝10（排） 答：如果每2人站成一排，能正好站成整排；每3人不能站成整排；每5人能站成10整排。 【考点剖析】解决问题的关键在于想站成整排，总人数必须是每排人数的倍数，可以利用除法计算验证，也可以利用倍数特征直接进行判断。 【变式训练】若，则42一定是和的倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】因数和倍数的意义：在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。据此解答。 【规范解答】如：a＝84，b＝0.5，84×0.5＝42，0.5是小数，42不是a和b的倍数。 如：a＝6，b＝7，6×7＝42，6、7是整数，42是a和b的倍数。 若a×b＝42，则42不一定是a和b的倍数。 原题干说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】明确因数与倍数的意义是解答本题的关键。 高频考点二 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】24的因数中，最小的是____，最大的是_____。 【答案】 1 24 【思路引导】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知，24的因数中，最小的是1，最大的是24。 【变式训练】一个长方形的长和宽的米数都是自然数，面积是24 m2，这样的形状不同的长方形共有( )种。 【答案】4 【思路引导】1×24＝24，2×12＝24，3×8＝24，4×6＝24，即，一个长方形的长和宽的米数都是自然数，面积是24 m2的长方形有：①一边长1米，另一边长24米；②一边长2米，另一边长12米；③一边长3米，另一边长8米；①一边长4米，另一边长6米；共有4种不同形状的长方形。 【规范解答】由题意分析得： 一个长方形的长和宽的米数都是自然数，面积是24 m2，这样的形状不同的长方形共有4种。 高频考点三 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】60人分组做游戏，要求每组人数相等，且每组不多于30人，不少于5人，有( )种分法。 【答案】7 【思路引导】要求每组人数相等，说明60人刚好可以平均分，则每组人数和组数是60的因数，且5≤60的因数≤30，据此解答。 【规范解答】60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，依次计算符合条件的人数和组数。 当每组有5人时，可以分60÷5＝12（组）； 当每组有6人时，可以分60÷6＝10（组）； 当每组有10人时，可以分60÷10＝6（组）； 当每组有12人时，可以分60÷12＝5（组）； 当每组有15人时，可以分60÷15＝4（组）； 当每组有20人时，可以分60÷20＝3（组）； 当每组有30人时，可以分60÷30＝2（组）； 所以，一共有7种分法。 【考点剖析】用枚举法列出所有符合条件的情况是解答本题的关键。 【变式训练】把36个球装在盒子里，每个盒子装的同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？如果有37个球呢？ 【答案】（1）一共有9种装法①一盒装36个，装1盒；②每盒装1个，装36盒；③一盒装18个，装2盒；④每盒装2个，装18盒；⑤一盒装3个，装12盒；⑥每盒装12个，装3盒；⑦一盒装9个，装4盒；⑧每盒装4个，装9盒；⑨一盒装6个，装6盒。 （2）一共有2种装法：①一盒37个，装1盒；②每盒装1个，装37盒。 【思路引导】（1）首先找出36的所有因数，再根据哪两个因数相乘是36，确定每盒装几个，装几盒，据此解答即可； （2）首先找出37的所有因数，再根据哪两个因数相乘是37，确定每盒装几个，装几盒，据此解答即可。 【规范解答】（1）36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 36＝1×36，一盒装36个，装1盒；或每盒装1个，装36盒。 36＝2×18，一盒装18个，装2盒；或每盒装2个，装18盒。 36＝3×12，一盒装3个，装12盒；或一盒装12个，装3盒。 36＝4×9，一盒装9个，装4盒；或每盒装4个，装9盒。 36＝6×6，一盒装6个，装6盒。 因此一共有9种装法①一盒装36个，装1盒；②每盒装1个，装36盒；③一盒装18个，装2盒；④每盒装2个，装18盒；⑤一盒装3个，装12盒；⑥每盒装12个，装3盒；⑦一盒装9个，装4盒；⑧每盒装4个，装9盒；⑨一盒装6个，装6盒。 （2）37的因数有：1、37。 37＝1×37，一盒装37个，装1盒；每盒装1个，装37盒。 因此一共有2种装法：①一盒37个，装1盒；②每盒装1个，装37盒。 高频考点四 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（24-25五年级下·湖南常德·期末）某车的车牌为湘A□□D□□，其中第一个数是4的最小倍数，第二个数是最小的自然数，第三个数是9的最大因数，第四个数的所有因数是1，2，4。该车牌号是湘A( )( )D( )( )。 【答案】 4 0 9 4 【思路引导】一个数的最小倍数是它本身；最小的自然数是0；一个数的最大因数是它本身。 【规范解答】根据分析： 4的最小倍数是4，第一个数是4；第二个数是0；9的最大因数是9，第三个数是9；所有因数是1，2，4，其中最大因数是4，所以第四个数是4。 【变式训练】（24-25五年级下·山西大同·期末）一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，符合条件的数有( )。 【答案】18和54 【思路引导】列乘法算式找54的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是54的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是54的因数；用9分别乘1、2、3、4……，所得的积都是9的倍数；既是2的倍数也是3的倍数的数的特征：个位上是0、2、4、6、8；各数位上的数字之和是3的倍数。据此解答。 【规范解答】54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9， 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 由上可知，一个数既是54的因数，又是9的倍数，这个数可能是9，18，27，54，同时有因数2和3，符合条件的数有18和54。 高频考点五 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】小明有若干张2元和5元的纸币，这两种纸币张数相同，那么小明可能有（    ）元钱。 A．20 B．50 C．91 D．100 【答案】C 【思路引导】先求出1张2元和5元的共有多少钱，再从选项中找出这个数的倍数即可。 【规范解答】2＋5＝7（元） A．20÷7＝2……6，20不是7的倍数，不符合要求。 B．50÷7＝7……1，50不是7的倍数，不符合要求。 C．91÷7＝13，91是7的倍数，符合要求。 D．100÷7＝14……2，100不是7的倍数，不符合要求。 故答案为：C 【考点剖析】本题先求出各一张的总钱数，只要是这个钱数的整数倍的数就符合要求。 【变式训练】某公交车早上6：20发出第一辆车，以后每隔15分钟发一辆，下面（    ）时间不是发车时间。 A．6：50 B．7：05 C．7：15 D．7：50 【答案】C 【解析】由“每隔15分钟发一辆”可知，每辆车发车的时间与第一辆车间隔的时间是15的倍数，用每个选项的时间减去第一辆发车的时间，进行判断即可。 【规范解答】A．6：50－6：20＝30分钟，是15的倍数； B．7：05 －6：20＝45分钟，是15的倍数； C．7：15 －6：20＝55分钟，不是15的倍数； D．7：50－6：20＝90分钟，是15的倍数； 故答案为：C 【考点剖析】解答本题的关键是抓住“每隔15分钟发一辆”，明确每辆车发车的时间与第一辆车间隔的时间的特点。 高频考点六 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南邵阳·期末）一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( )，这个数一共有( )个因数。 【答案】 32 6 【思路引导】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，一个数的因数是指能整除这个数的几个数，由此即可计算。 【规范解答】一个数的最大因数是32，说明这个数是32，所以这个数的最小倍数是32； 32＝1×32＝2×16＝4×8 所以它的因数有1、2、4、8、16、32，一共6个。 【变式训练】（25-26五年级下·山西晋中·期末）为落实“五育并举”教育理念，左权县某小学以“多彩左权，活力少年”为主题，开展了系列特色文化活动。其中，小花戏表演队由48名学生组成，准备排成一个长方形的队形，参加“左权民歌汇”开幕式表演。要求每行和每列的人数都至少是3人。请问共有多少种不同的排法？请把你的思考过程写下来。 【答案】 6种；找出乘积为48，且两个乘数都不小于3的整数组合即可 【思路引导】排长方形队形时，总人数等于每行人数乘行数，需要找出所有乘积为48、且两个数都不小于3的正整数组合，组合的数量就是排法的种数。 【规范解答】先列出乘积为48的所有正整数乘法算式： 要求每行和每列人数都至少是3人，即两个乘数都大于等于3，符合条件的算式共有6个。 答：共有6种不同的排法。 高频考点七 2、5的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·河南周口·期末）一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，如果这个数是偶数，最大是( )，如果这个数是奇数，最小是( )。 【答案】 90 15 【思路引导】同时满足是3的倍数、又有因数5的数，这个数是15的倍数； 15的倍数中偶数是15和偶数的乘积，所以在两位数的范围内找最大的符合条件的数；偶数个位必须是偶数，因此个位只能是0，十位取最大的一位数9。 15的倍数中奇数是15和奇数的乘积，所以在两位数的范围内找最小的符合条件的数；奇数个位必须是奇数，因此个位只能是5，十位是最小的一位数1。 【规范解答】如果这个数是偶数，最大是90。 90既是3的倍数，又有因数5。 如果这个数是奇数，最小是15。 15既是3的倍数，又有因数5。 【变式训练】（25-26五年级下·浙江温州·期末）月饼加工厂生产了2026个月饼。至少再增加( )个，就能每3个装一盒正好装完；至少拿走( )个，就能每2个或5个装一盒正好装完。 【答案】 2 6 【思路引导】3的倍数特征：各位上的数的和是3的倍数； 2，5的倍数特征：个位上的数是0； 每3个装一盒正好装完，说明月饼个数是3的倍数。算出2026各位上的数的和，加一个最小的数，使各位上的数的和是3的倍数即可； 每2个或5个装一盒正好装完，说明月饼个数是2，5的倍数。减去一个最小的数，使2026的个位变为0即可。 【规范解答】2＋0＋2＋6＝10 10＋2＝12，12是3的倍数，即2026＋2＝2028，2028是3的倍数。 至少再增加2个，就能每3个装一盒正好装完； 要使2026的个位为0，则6－6＝0，即2026－6＝2020，2020是2，5的倍数。 至少拿走6个，就能每2个或5个装一盒正好装完。 高频考点八 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级下·广东珠海·期末）端午节佩戴香囊是一种古老习俗。现有三款香囊，其重量分别是三个连续的奇数，且它们的重量总和是51克，最轻香囊重( )克。 【答案】15 【思路引导】三个连续奇数，相邻两个数相差2，它们的和等于中间数的3倍。已知三个香囊重量总和是51克，可以先用总和除以3求出中间那个香囊的重量，再根据连续奇数的特征，用中间的重量减去2即可求出最轻香囊的重量。 【规范解答】（克） （克） 【变式训练】（25-26五年级下·福建厦门·期末）芳芳一家坐火车旅行，购票时发现从北京开往厦门的车次用奇数表示，从厦门开往北京的车次用偶数表示。不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G﹣高速动车；D﹣动车；Z﹣直达特快；T﹣特快列车；K﹣快速列车。下面的车次有（    ）个是从北京开出的。 ①D131    ②G326      ③G45      ④Z308      ⑤T167      ⑥K571 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【思路引导】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数，比如：0、2、4、6、8……。 从北京开出的车次数字为奇数，判断每个车次的数字是否为奇数，统计符合要求的数量即可。 【规范解答】各车次的数字分别为①131、②326、③45、④308、⑤167、⑥571。其中奇数有①131、③45、⑤167、⑥571，共4个。 高频考点九 3的倍数特征 【典例精讲】（25-26五年级下·甘肃临夏·期末）在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位数字是0或5。此时个位数字是0，符合2和5的倍数特征，所以只需要看能否被3整除即可；首先将2、1、0相加，然后再看加几（0至9）是3的倍数即可。 【规范解答】已知数位上的数字之和为：。 方框内填入的数字为之间的整数。 要使各位数字之和是的倍数，方框内可以填入的数字有： ，是的倍数，可以填； ，是的倍数，可以填； ，是的倍数，可以填； ，是的倍数，可以填。 综上所述，方框里可以填、、、，一共有种填法。 【变式训练】（24-25五年级下·四川南充·期末）奶奶每天都通过运动记录软件督促自己运动，今天奶奶走路的步数是一个四位数，且是一个偶数，它还是3和5的倍数，奶奶今天走的步数可能是（    ）。 A．5600 B．7815 C．8640 D．9317 【答案】C 【思路引导】偶数个位数字需要为：0，2，4，6，8；5的倍数个位需要是0，5；3的倍数特征：各数位数字之和能被3整除，据此判断。 【规范解答】A．5600：个位是0是偶数，是5的倍数，各位数字和为5＋6＝11，11不能被3整除，不是3的倍数，排除； B．7815：个位是5，不是偶数，排除； C．8640：个位是0，是偶数，是5的倍数；各位数字和为8＋6＋4＋0＝18，18能被3整除，是3的倍数，符合要求。 D．9317：个位是7，不是偶数，排除。 高频考点十 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26五年级下·河南漯河·期末）一个两位数，既是2和5的倍数，又有因数3，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 30 90 【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数，所以同时是2和5的倍数的数个位上是0；有因数3，说明这个数是3的倍数，即各位数字之和是3的倍数。据此逐一分析。 【规范解答】个位是0的两位数有10、20、30、40、50、60、70、80、90。 其中30、60、90既是2和5的倍数，又有因数3，所以这个数最小是30，最大是90。 【变式训练】（25-26五年级下·陕西渭南·期末）从下面四张数字卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)5的倍数：( )，( )。 (2)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 【答案】(1) 635 605 (2) 630 360 【思路引导】个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0且各位上数的和是3的倍数，这个数同时是2，3，5的倍数。 【规范解答】（1）5的倍数：635，605（答案不唯一）。 （2）同时是2，3，5的倍数：630；360。 高频考点十一 质数与合数的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·山西临汾·期末）在“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花”这首诗中出现的数，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是合数又是偶数，( )既不是质数又不是合数。 【答案】 、、、 【思路引导】先提取诗中的数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，根据概念判断。 质数：只有1和本身两个因数；合数：除1和本身还有其他因数。 偶数：能被2整除；奇数：不能被2整除。1既不是质数，也不是合数。 【规范解答】①2既是质数又是偶数 ②9既是合数又是奇数 ③4、6、8、10既是合数又是偶数 ④1既不是质数又不是合数 【变式训练】（24-25五年级下·四川泸州·期末）微信支付极大便利了人们生活，芳芳帮爷爷设定了一个六位数的微信支付密码：十万位上是8，万位上是最小的奇数，千位上是最小的偶数，百位上是最小的合数，十位上是最小的质数，个位上是1。这个支付密码是( )。 【答案】810421 【思路引导】这个密码万位上是最小的奇数，也就是1。最小的偶数是0，千位上是最小的偶数，也就是0。最小的合数是4，也就是百位上是4。最小的质数是2，即十位上是2。 【规范解答】十万位上是8。 最小的奇数是1，万位上是1。 最小的偶数是0，千位上是0。 最小的合数是4，百位上是4。 最小的质数是2，十位上是2。 个位上是1。 这个支付密码是810421。 高频考点十二 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（25-26五年级下·湖北武汉·期末）“编程”是一种锻炼思维能力的方式。一个程序的运算规则如图，若输入17显示结果是多少？若显示结果是20，那么输入的这个数是多少？ 【答案】 291；9 【思路引导】本题给出了一个运算程序的规则，根据输入的数是质数还是合数来进行不同的运算。需要我们根据这个规则，分别计算输入17时的显示结果，以及显示结果为20时输入的数。 【规范解答】计算输入17时的显示结果： 只有1和它本身两个因数的数叫做质数。17的因数只有1和17，所以17是质数。将代入进行计算：。 计算显示结果为20时输入的数： 根据运算规则： 然后验证9是否为合数，9的因数有1、3、9，除了1和它本身还有其他因数，所以9是合数，符合运算规则。 答：若输入17显示结果是291。若显示结果是20，输入的这个数是9。 【变式训练】（25-26五年级下·江苏苏州·期中）一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 【答案】长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米；面积最大是77平方米 【思路引导】长方形周长＝（长＋宽）×2；长＋宽＝周长÷2，用36÷2＝18，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出18以内的质数，再求出两个质数的和是18；再根据长方形面积＝长×宽，据此求出菜地的最大面积。 【规范解答】36÷2＝18（米） 18以内的质数：2，3，5，7，11，13，17。 5＋13＝18，7＋11＝18； 长方形的长和宽可能是13米和5米，或长和宽可能是11米和7米。 面积：13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77，最大面积是77平方米。 答：这块菜地的长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米，这块菜地的最大面积是77平方米。 高频考点十三 质因数的含义 【典例精讲】（25-26五年级下·江苏扬州·期中）在学习了“等式”和“方程”后，两者之间的关系可以用下面的集合圈图来表示。下面知识点也可以用这样的集合圈图表示的有（    ）组。 ①奇数和偶数    ②因数和质因数    ③质数和合数    ④长方形和正方形 ⑤相交和垂直    ⑥等腰三角形和等边三角形    ⑦条形统计图和折线统计图 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】两个知识点是包含关系的可以用图中的集合圈表示。 ①整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 ②在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。如果一个整数的因数是质数，为质数的因数就叫做这个数的质因数。 ③除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 ④两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。 ⑤有唯一公共点的两条直线叫相交线。两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。 ⑥有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。 ⑦条形统计图用直条的长宽表示数据的大小。折线统计图用不同位置的点表示数量的多少，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。 【规范解答】①奇数和偶数是并列关系，不是包含关系，不可以用图中的集合圈表示； ②因数包含质因数，可以用图中的集合圈表示； ③质数和合数是并列关系，不是包含关系，不可以用图中的集合圈表示； ④正方形是特殊的长方形，长方形包含正方形，可以用图中的集合圈表示； ⑤垂直是相交的特殊情况，相交包含垂直，可以用图中的集合圈表示； ⑥等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形，可以用图中的集合圈表示； ⑦条形统计图和折线统计图是两种不同的统计图，不可以用图中的集合圈表示。 可以用图中集合圈表示的是②④⑤⑥，有4组。 【变式训练】（24-25六年级下·河北邢台·期末）一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是( )。 【答案】210 【思路引导】质因数是指能整除给定正整数的质数，也就是一个数的因数中是质数的那些数。质数概念：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。10以内的质数有2、3、5、7。要求这个数最小是多少，就是求这几个10以内质数的乘积，据此解答。 【规范解答】10以内的质数有2、3、5、7。 2×3×5×7＝210 即一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是210。 高频考点十四 分解质因数 【典例精讲】（25-26五年级下·山西大同·期末）一个两位数2□，它既是2的倍数，又有因数3，这个两位数是( )，将它分解质因数是( )。 【答案】 24 24＝2×2×2×3 【思路引导】有因数3，说明是3的倍数，所以这个数既是2的倍数又是3的倍数；2的倍数的个位只能是0、2、4、6、8；各位数字之和是3的倍数的自然数是3的倍数；分解质因数就是把这个数写成几个质数相乘的形式。 【规范解答】是2的倍数，这个两位数可能是20、22、24、26、28； 2＋0＝2，不是3的倍数； 2＋2＝4，不是3的倍数； 2＋4＝6，是3的倍数，符合要求； 2＋6＝8，不是3的倍数； 2＋8＝10，不是3的倍数。 这个两位数是24； 分解质因数：24＝2×2×2×3。 【变式训练】（25-26五年级下·河南平顶山·期末）一个两位数，十位上数字的最大因数是8，个位上是最小的合数，这个数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 84 【思路引导】根据一个数的最大因数是它本身，可知十位上的数字，合数是除了1和它本身还有其他因数的数，最小的合数是4，可求个位上的数字；分解质因数就是把数写成几个质数相乘的形式，可以用分解，据此解答。 【规范解答】十位上数字的最大因数是8，说明十位数字就是8，最小的合数是4，所以个位数字是4，组合得到这个两位数是84。 将84分解质因数：84＝2×2×3×7。 高频考点十五 公因数与最大公因数 【典例精讲】（24-25五年级下·广东汕头·期末）既是2和5的倍数，又含有因数3的最大两位数是( )；分子是16和24的最大公因数，分母是3和5的最小公倍数，这个分数是( )。 【答案】 90 【思路引导】个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，这样的数同时是2、3、5的倍数；先把16和24分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数；互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积。据此解答。 【规范解答】既是2和5的倍数，又含有因数3的最大两位数是90； 16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 所以16和24的最大公因数是： 2×2×2 ＝4×2 ＝8 3和5互质，所以3和5的最小公倍数是3×5＝15，所以这个分数是。 【变式训练】（24-25五年级下·山东菏泽·期末）希望小学除了开展校本课程活动之外，还经常组织学生参加公益活动。周末，有35名男生和28名女生报名去养老院参加公益活动，若把这些男生和女生分别分成若干组，要求每组人数相同且没有剩余。每组最多有多少人？ 【答案】每组最多有7人 【思路引导】要使男、女生分别分组后每组人数相同且无剩余，每组人数需同时是35和28的公因数；求每组最多的人数，就是求35和28的最大公因数。用分解质因数法求出最大公因数，即可解答。 【规范解答】35＝5×7 28＝2×2×7 35和28的最大公因数是7 答：每组最多有7人。 高频考点十六 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（24-25五年级下·山东滨州·期末）把45块水果糖和30块巧克力分别平均分给几个得奖的同学，都正好分完。最多有多少位得奖的同学？每位得奖同学分得了几块水果糖和几块巧克力？ 【答案】 最多有15位得奖的同学；每位得奖同学分得3块水果糖，2块巧克力。 【思路引导】要把两种糖果分别平均分给同学且都正好分完，所以同学的人数需要同时是45和30的公因数，求最多的人数即求45和30的最大公因数。 水果糖总数除以同学人数就是每人分得的水果糖数量，巧克力总数除以同学人数就是每人分得的巧克力数量，所以分别用45、30除以求得的最大公因数，得到每人分得的两类糖果数量。 【规范解答】， （人） （块） （块） 答：最多有15位得奖的同学，每位得奖同学分得3块水果糖，2块巧克力。 【变式训练】（25-26五年级下·山东临沂·期末）五年级合唱队有男生48人，女生36人，在排练队形时，老师要求男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？这时男、女生分别有几排？ 【答案】 12人；男生有4排，女生有3排。 【思路引导】要使男、女生分别排队且每排人数相同，每排人数是48和36的公因数；求每排最多的人数，就是求48和36的最大公因数。再用男、女生总人数分别除以每排最多人数，即可得到各自的排数。 【规范解答】 最大公因数：2×2×3＝4×3＝12 即每排最多12人。 48÷12＝4（排） 36÷12＝3（排） 答：每排最多有12人，这时男生有4排，女生有3排。 高频考点十七 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26五年级下·浙江台州·期末）六一演出的人数是一个三位数，它能同时被2、3、5整除，演出的人数最少有( )人。 【答案】120 【思路引导】能同时被2、3、5整除的数是它们的公倍数，它们的最小公倍数为2×3×5＝30，因此符合条件的数是30的倍数；演出的人数是一个三位数，求演出的人数最少有多少人，就是求30的最小三位倍数。 【规范解答】2×3×5＝30 30的倍数有30、60、90、120、150…… 30的最小三位倍数是120。 即演出的人数最少有120人。 【变式训练】（24-25五年级下·四川乐山·期末）甲、乙、丙三个龙舟队开展训练，甲龙舟队每4天训练一次，乙龙舟队每6天训练一次，丙龙舟队每8天训练一次。如果从5月1日开始第一次同时训练，至少多少天后三个龙舟队再次同时训练？此时乙龙舟队已训练多少次？ 【答案】 24天；5次 【思路引导】求三个队再次同时训练的最少天数，就是求4、6、8的最小公倍数；计算乙的训练次数时，用总天数除以乙的训练周期，再加上第一次的训练次数即可。 【规范解答】4、6、8的最小公倍数： 4、6、8最小公倍数为：2×2×1×3×2＝24 答：至少24天后三个龙舟队再次同时训练。 24÷6＋1 ＝4＋1 ＝5（次） 答：此时乙龙舟队已训练5次。 高频考点十八 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（25-26五年级下·河北秦皇岛·期末）清明节又称踏青节，“捣青草为汁，和粉作团，色如碧玉”用来形容清明节的时令食物——青团，果果家做了一些青团作为春游小吃，4个装一盒或5个装一盒都剩3个，已知果果家做好的青团不到50个，那么他家最多做了多少个青团？ 【答案】43个 【思路引导】根据题意，青团总数减去3后，既是4的倍数，也是5的倍数，即是4和5的公倍数。先求出4和5的最小公倍数，再列举出50以内的公倍数，加上余数3后找出小于50的最大数即可。 【规范解答】4和5的最小公倍数是。 4和5的公倍数有20，40，60… 因为青团不到个，所以公倍数只能取和。 当公倍数是时，青团数量为：（个） 当公倍数是时，青团数量为：（个） （个），，不符合题意。 因为，所以最多做了个。 答：他家最多做了43个。 【变式训练】（25-26五年级下·安徽蚌埠·期末）五（1）班的学生人数在50~60人，王老师想把全体学生平均分成若干个学习小组，无论按4人一组还是7人一组，都正好多出1人。这个班有( )人。 【答案】57 【思路引导】根据题意，全班人数减去1后，既是4的倍数，又是7的倍数。找出50~60之间4和7的倍数，再加上1就是全班人数。 【规范解答】4和7是互质数，它们的最小公倍数是4×7＝28。 28×1＝28（人） 28×2＝56（人） 28×3＝84（人） 50＜56＜60 56＋1＝57（人） 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（25-26五年级下·湖南长沙·期末）一个数有6个因数，从小到大排列，第1个和第6个之和是29，前5个因数之和是( )。 【答案】28 【思路引导】一个数最小因数是1，最大因数是这个数本身，根据题意，这个数是29－1＝28，列举出28的全部因数，由小到大排列并计算出前5个因数的和。 【规范解答】28的所有因数有：1、2、4、7、14、28 1＋2＋4＋7＋14＝28 【变式训练】（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【思路引导】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【规范解答】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【考点剖析】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】如图所示的一张6行4列的方格纸上。每个方格内填入最上边与最左边两个数的乘积，例如：m＝5×9＝45。如果可以重新排列最上边与最左边的10个数字的位置，并且重排后，每个方格内的数字也更新为重排后的最上边与最左边两个数的乘积。 那么重排后：24个方格内最多能有__________个奇数。24个方格内最多能有__________个10的倍数。 【答案】 6 10 【思路引导】①根据奇偶的运算性质，可知奇数×奇数＝奇数，题目中一共有5个奇数，5＝1＋4＝2＋3，只有当一边有2个奇数，另一边有3个奇数时，方格内奇数个数最多，有（2×3）个。 ②根据10的倍数倍数特征：末尾是0，数字10应该放在最上边，相应的列有6个10的倍数；数字5也应该放在最上边，除10以外的4个偶数放在最左边，最多有4个10的倍数。所以方格内最多能有（6＋4）个10的倍数。 【规范解答】①奇数：2×3＝6（个） ②10的倍数：6＋4＝10（个） 根据分析可知，24个方格内最多能有6个奇数。24个方格内最多能有10个10的倍数 【考点剖析】掌握奇偶数的运算性质以及倍数的认识是解答本题的关键。 【变式训练】一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？ 【答案】184人 【思路引导】原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多。由此可见，一小增加一人就要增加一辆车，所以原来一小的汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是15的倍数。后来又增加1人，这时二小又要多派一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰好坐满，即人数是13的倍数。因此，原来每校参加的人数都是15的倍数，而加1之后，是13的倍数。即求15的某个倍数恰巧等于13的倍数减1。因为15×6＝90，13×7＝91，所以，原来两校都有90人参赛，每个学校均增加了2人，即两校各有92人参赛。从而可知，两校共有184人参加竞赛。 【规范解答】由于：6×15＝90（人） 7×13－1＝91－1＝90（人） 所以每校原来参加人数为90人。 两校共有：（90＋2）×2 ＝92×4 ＝184（人） 答：最后两校共有184人参加竞赛。 【考点剖析】解决本题的关键是明确原来每校参赛人数是15的倍数，加1后是13的倍数。 奥数拓展三 2、5的倍数特征 【典例精讲】有两个质数，它们的和是小于40的奇数，且是5的倍数。这两个质数的积可能是多少？ 【答案】6、26或46 【思路引导】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【规范解答】2＋3＝5     2＋13＝15     2＋23＝25 2×3＝6     2×13＝26      2×23＝46 答：这两个质数的积可能是6、26或46。 【考点剖析】关键是通过奇数和5的倍数确定这两个质数的和，再确定这两个质数。 【变式训练】一个两位数除以2、3、5，结果都余1。这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 31 91 【思路引导】由题意可知，这个两位数减掉1之后是2、3、5的倍数，所以先求出2、3、5的公倍数且要求公倍数是两位数，再加上1，就得到了原来的两位数。 【规范解答】2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而30的2倍数60，3倍数90也都是2、3、5的倍数，因此满足条件的最小的两位数是30＋1＝31，最大两位数是90＋1＝91。 【考点剖析】本题考查用公倍数和最小公倍数的知识解决，所求量与几个量的倍数有关的问题。 奥数拓展四 3的倍数特征 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个位数相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c位数相同，若b－a＝c－b，我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5－3＝7－5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32－41＝23－32； 所以：357和413223都是等差数。 (1)判断：148_______等差数，514335_________等差数；（用“是”或“不是”填空） (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除； (3)若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T。 【答案】(1) 不是 是 (2)设这个三位数为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。则。因为是等差数，所以，即。的各位数字之和为。将代入，得。因为是3的倍数，根据能被 3 整除的数的特征，这个三位数一定能被3整除。 (3)432或456或840或864或888 【思路引导】根据等差数的定义，将数字分成左、中、右三部分，验证是否满足中间数减左边数等于右边数减中间数，或等价地验证左边数加右边数是否等于中间数的2倍。 设三位数为，利用等差数定义得出，结合能被3整除的数的特征（各位数字之和能被 3 整除）进行说明。 三位数是24的倍数，说明既是3的倍数也是8的倍数。由第（2） 问可知等差数一定是3的倍数，因此只需筛选出能被8整除的三位等差数。根据确定、的奇偶性，枚举符合条件的数字进行验证。 【规范解答】（1）对于148，分成三个数 1，4，8。因为，，，所以148不是等差数。 对于514335，分成三个数51，43，35。因为，，满足左边数加右边数等于中间数的2倍（即），所以514335是等差数。 （2）设这个三位数为，百位数字为，十位数字为，个位数字为。则。因为是等差数，所以，即。的各位数字之和为。将代入，得。因为是3的倍数，根据能被3整除的数的特征，这个三位数一定能被3整除。 （3）因为是24的倍数，，所以既是3的倍数，也是8的倍数。由第 [2] 问可知，三位等差数一定是3的倍数，所以只需寻找能被8整除的三位等差数。设的百位数字为，十位数字为，个位数字为。因为是8的倍数，所以是偶数，则为偶数。因为是等差数，满足，所以是偶数。因为是偶数，所以也是偶数。是百位数字，且为偶数，所以可以取 2，4，6，8。是个位数字，且为偶数，所以可以取 0，2，4，6，8。根据，且为0到9的整数， 逐一讨论： 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，不符合。 当时：若，，，，，符合； 若，，，，，不符合； 若，，，，，符合； 若，，，，， 不符合；若，，，，，符合。 综上所述，该等差数为432或456或840或864或888。 【变式训练】A是大于0小于10的自然数，B是0，用字母A、B组成一个能同时被2、3、5整除的四位数是( )。 【答案】 【解析】同时被2、3、5整除的四位数，那么个位数字一定是0，也就是B，要使得四位数是3的倍数，那么数字和是3的倍数，而A是大于0小于10的自然数，的数字和一定是3的倍数。 【规范解答】用字母A、B组成一个能同时被2、3、5整除的四位数是。 【考点剖析】本题考查的是2、3、5的整除特征，各位数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 奥数拓展五 分解质因数 【典例精讲】（2026·重庆·小升初真题）有四个数相乘975×935×972×□，要使它的积最后4个数都是“0”，则□里最小应填( )。 【答案】20 【思路引导】积最后4个数都是“0”，那它必须能被10000整除。因为10000＝2×2×2×2×5×5×5×5，要使它的积最后4个数都是0，那么积分解质因数后就一定要有4个2和4个5。因此先将975、935、972分别分解质因数，看它们的质因数中一共有几个2和5，还少几个，还少的这几个2和5的乘积就是□里填的数。 【规范解答】，含有2个5， ，含有1个5， ，含有2个2， 还缺少2的个数：（个）、还缺少5的个数： （个） □里数的质因数中至少包含2个2与1个5，所以□里最小应填 。 【变式训练】（25-26六年级下·云南昆明·期末）举例：22＝2×11，并且2＋2＝2＋1＋1，像22这样，一个合数，其各位数字之和等于其质因数分解中所有质因数的各位数字之和，就把这样的数叫做“史密斯数”。在4、18、27、58这四个数中，是“史密斯数”的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】根据史密斯数的定义，需要满足两个条件：一是该数为合数（一个自然数，如果除了1和它本身之外，还有别的因数，这样的数叫做合数），二是该数各位数字之和等于其质因数分解中所有质因数的各位数字之和。 需分别对 4、18、27、58 这四个数进行验证，先判断是否为合数，分解质因数，再计算各位数字之和以及质因数各位数字之和最后进行比较，统计符合条件的个数，从而确定正确选项。 【规范解答】4： 是合数，质因数分解：4＝2×2 各位数字之和：4 质因数各位数字之和：2＋2＝4 两者相等，是史密斯数。 18： 是合数，质因数分解：18＝2×3×3 各位数字之和：1＋8＝9 质因数各位数字之和：2＋3＋3＝8 两者不相等，不是史密斯数。 27： 是合数，质因数分解：27＝3×3×3 各位数字之和：2＋7＝9 质因数各位数字之和：3＋3＋3＝9 两者相等，是史密斯数。 58： 是合数，质因数分解：58＝2×29 各位数字之和：5＋8＝13 质因数各位数字之和：2＋2＋9＝13 两者相等，是史密斯数。 所以，在4、18、27、58这四个数中，是史密斯数的有4、27、58，共3个数。 奥数拓展六 公因数与最大公因数 【典例精讲】两个数的最大公因数是6，它们的最小公倍数是24，这两个数的积是( )。 【答案】144 【思路引导】两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积，据此解答即可。 【规范解答】这两个数的积是24×6＝144。 【考点剖析】明确 “两个数的最大公因数和最小公倍数的积等于这两个数的积”是解答本题的关键。 【变式训练】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，那么a＝________。 【答案】6 【思路引导】因为一个自然数除、、所得的余数分别是、、，将这些数转化成被该自然数除后余数为的数：，，，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是，故同余，将这三个数相减，得到，，，所求的自然数一定是、、的公因数，而它们的公因数有和，所以这个自然数是的因数，显然是不符合条件的，那么只能是。经过验证，当这个自然数是时，除、、所得的余数分别为、、成立．所以这个自然数是，。 【规范解答】因为一个自然数除、、所得的余数分别是、、， 、， 即、、同余， 得，，， 、、， 所以、、的最大公因数是19， ， 所以。 奥数拓展七 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（25-26四年级下·山东东营·期末）你听说过“韩信点兵”的故事吗？ 韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四百多人。还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信马上向将士们宣布：“我军还有（    ）名勇士。” 请你算一算韩信军队还有多少名勇士？ 【答案】 1049名 【思路引导】根据剩余人数不变，用剩余人数分别除以每排的不同人数，根据三种不同排法列出等式，找出规律，根据总人数，即可算出韩信军队还有多少名勇士。 【规范解答】根据分析及题意可知： 第一种排法：剩余人数排数……2人； 第二种排法：剩余人数排数……4人； 第三种排法：剩余人数排数……6人； 根据三种排法不难发现：剩余人数加1可同时被3、5、7整除，说明剩余人数加1是三者的公倍数，因为3、5、7互为质数，所以三者的最小公倍数为：； 因为战死四百多人，所以剩余人数最大为：（名），剩余人数最小为：（名），即剩余人数加1后在之间； 符合条件的105的倍数为： 则剩余人数为：（名） 答：韩信军队还有1049名勇士。 【变式训练】（25-26六年级下·河南安阳·期末）如果（、是不为0的自然数），则与的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 / 【思路引导】当两个数互质时，这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积，根据有余数的算式，判断和的关系后解答。 【规范解答】根据可得，设为与的最大公因数，则必整除和，进而整除，故，即两数与互质。互质数的最小公倍数等于两数之积。 所以与的最大公因数是1，最小公倍数是。 【能力提升练】 1．10以内所有质数的和是（    ）。 A．17 B．18 C．15 D．16 【答案】A 【思路引导】先明确质数概念：大于1，且除了1和它本身之外没有其他因数的自然数是质数，1既不是质数也不是合数。找出10以内的所有质数，再相加。 【规范解答】找出10以内的所有质数：2、3、5、7。 计算和：。 2．（26-27五年级上·全国·课后作业）用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（    ）。 A．36 B．30 C．40 D．60 【答案】A 【思路引导】要组成奇数，个位只能是1、3、5，按先定个位，再定百位、十位的顺序，分别计算每一步的可选数字数量，再相乘得到总个数。 【规范解答】个位可选1、3、5，共3种选法；个位选完后剩余4个数字，百位从剩余4个数字中选择，共4种选法；个位和百位各选1个后剩余3个数字，十位从剩余3个数字中选择，共3种选法；总个数：（个） 3．（25-26五年级上·河南驻马店·期末）的分数单位是( )，它再增加( )个这样的单位就是最小的合数。 【答案】 13 【思路引导】分数单位是把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数。带分数化成假分数，用整数部分乘分母加分子作为新分子，分母不变。最小的合数是4，通过计算与给定分数的差值，得到还需的分数单位个数。 【规范解答】4－＝ 的分数单位是，它再增加13个这样的单位就是最小的合数。 4．（23-24五年级下·河南驻马店·期末）端午节，又称“端阳节”“龙舟节”等，是我国传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。每年的五月初五，人们常以“扒龙舟”“食粽子”来纪念我国古代伟大的爱国诗人屈原。端午节前夕，小彤家一共包了16个蛋黄粽和一些蜜枣粽。 (1)妈妈把蜜枣粽放在保鲜盒里，每盒放6个或每盒放8个都正好放完，小彤家至少包了( )个蜜枣粽。 (2)在16个蛋黄粽中，有1个是小彤包的，质量轻一些，其余15个质量相同。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这个蛋黄粽。 【答案】(1)24 (2)3 【思路引导】（1）根据题意，每盒放6个或每盒放8个都正好放完，说明蜜枣粽的个数是6和8的公倍数；求至少包了多少个蜜枣粽，就是求6和8的最小公倍数；先把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 （2）把16个蛋黄粽分成3份，即（5，5，6）；第一次称，天平两边各放5个，如果天平平衡，小彤包的在较轻的5个中；如果天平不平衡，小彤包的在剩下的6个中；考虑最不利原则，小彤包的在数量多的里面，把较轻的6个蛋黄粽平均分成3份，即（2，2，2），第二次称，天平两边各放2个，如果天平不平衡，小彤包的就在较轻的2个中；如果天平平衡，小彤包的在剩下的2个中；最后把较轻的2个蛋黄粽分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1个，小彤包的就是较轻的那一个。所以至少称3次能保证找出小彤包的蛋黄粽。 【规范解答】（1）6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 小彤家至少包了（24）个蜜枣粽。 （2） 至少称（3）次能保证找出这个蛋黄粽。 5．（24-25五年级上·四川成都·期中）最小的质数是( )，最小的合数是( )，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的最小数是( )，既不是质数也不是合数的数是( )。 【答案】 2 4 2 9 1 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此分析。 【规范解答】最小的质数是2，最小的合数是4，既是质数又是偶数的数是2，既是奇数又是合数的最小数是9，既不是质数也不是合数的数是1。 6．如果一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据倍数的意义，如果数A能被数B整除（A、B都不为0），则A就是B的倍数；分解质因数是把一个合数分解成几个质数相乘的形式，据此把6分解质因数可得：6＝3×2，因为6是2和3的倍数，所以一个数如果是6的倍数，则也能被2和3整除，据此解答。 【规范解答】6＝2×3，6是2和3的倍数，所以一个数是6的倍数，那么它一定是2和3的倍数。例如：12是6的倍数，也是2和3的倍数。 故答案为：√ 7．（25-26五年级上·甘肃定西·期末）求下列数的最大公因数和最小公倍数。 24和36    20和19    17和51 【答案】24和36：最大公因数12，最小公倍数72 20和19：最大公因数1，最小公倍数380 17和51：最大公因数17，最小公倍数51 【思路引导】两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1； 两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。 【规范解答】24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×2×3×3＝72 24和36：最大公因数12，最小公倍数72。 19是质数，且19不是20的因数，所以20和19是互质数，互质数的最大公因数是1，最小公倍数是20×19＝380。 51÷17＝3，说明51是17的倍数，所以最大公因数17，最小公倍数51。 8．（25-26五年级上·广东深圳·期末）将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 【答案】6个 【思路引导】要将饼干和苹果平均分给小朋友，且没有剩余，小朋友的人数必须是24和42的公因数。每个小朋友都要分到饼干和苹果，这要求小朋友的人数不能超过24和42的最小值，但由于公因数对应的分得数量均为整数且大于等于1，因此所有公因数均满足条件。要求最多的小朋友人数，即求24和42的最大公因数，即可解答。 【规范解答】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 24和42的公因数有：1、2、3、6。 最大公因数是6。 答：最多能分给6个小朋友。 9．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）二十四节气被誉为“中国第五大发明”，也是人类非物质文化遗产之一。下面是二十四节气歌。 二十四节气歌 春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连。 秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。 每月两节不变更，最多相差一两天。 上半年来六廿（注）一，下半年是八廿三。 【注】廿：二十。 (1)上面这段文字所含的数中（含题目），既不是质数又不是合数的数是( )，是质数的有( )，是合数的有( )。 (2)这段文字所含有的数字中，2的倍数有( )，3的倍数有( )，既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【答案】(1) 1 5、2、23 24、6、21、8、20 (2) 24、2、6、8、20 24、6、21 6、24 【思路引导】（1）一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0）据此判断题目中的数即可； （2）2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2和3的倍数特征：这个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，并且个位上的数字是偶数；据此判断即可。 【规范解答】（1）题目中的数字有：24，5，1，2，6，21，8，23，20； 上面这段文字所含的数中（含题目），既不是质数又不是合数的数是1，是质数的有5、2、23，是合数的有24、6、21、8、20。 （2）这段文字所含有的数字中，2的倍数有24、2、6、8、20，3的倍数有24、6、21，既是2的倍数，又是3的倍数的有24、6。 10．（23-24五年级下·河南郑州·期末）探索9的倍数特征。 （1）把上表中9的倍数用◯圈出，9的倍数（    ）3的倍数。（填“都是”或“不全是”） （2）把9的倍数的各位上的数字相加，你发现了什么规律？ （3）结合第（2）小题中发现的规律，从下面任选3张卡片，组成是9的倍数的三位数，写出2个。 【答案】（1）见详解；都是 （2）一个数各位上的数字和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 （3）450；540 【思路引导】从表格中第一个数开始除以9，找到第一个9的倍数，以后每一个9的倍数都是前一个9的倍数上加9，即可圈出所有9的倍数。一个数是9的倍数，就一定是3的倍数。 （2）分别将圈出所有9的倍数的各位上数字相加，再找数字和与9的规律即可。 （3）只要从4个数字中选取3个数的数字和是9的倍数即可。 【规范解答】（1）9的倍数用◯圈出见下图： 表中9的倍数有：1953、1962、1971、1980、1989、1998、2007。 因为9是3的倍数，所以9的倍数一定是3的倍数。 （2）1953：1＋9＋5＋3＝18； 1962：1＋9＋6＋2＝18； 1971：1＋9＋7＋1＝18； 1980：1＋9＋8＋0＝18； 1989：1＋9＋8＋9＝27； 1998：1＋9＋9＋8＝27； 2007：2＋0＋0＋7＝9； 9、18和27都是9的倍数 答：我发现：这些数的各位上的数字和都是9的倍数。即一个数各位上的数字和是9的倍数，这个数就是9的倍数。 （3）因为4＋5＋0＝9，所以用组成的三位数：450、540。 （答案不唯一） 【思维创新练】 1．两个整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则这两个整数的乘积是多少？ A．273 B．819 C．1911 D．3549 【答案】B 【思路引导】273分解质因数得到，两数的最大公因数可能是3、7、13，分类进行讨论。 【规范解答】设两个数分别是A、B； 若两数的最大公因数是3，则，，，符合要求， 所以这两个数分别是21和39，其乘积为 当最大公因数是7或13时，不满足要求； 故答案选：B 【考点剖析】本题考查的是短除法的应用，当有多种情况时，需要进行分类讨论。 2．已知124□能同时被3和5整除，□里应填（    ）。 A．2 B．0 C．5 D．8 【答案】C 【思路引导】根据3和5的倍数的特征可知：124□能同时被3和5整除，先要满足个位上必须是0或5，因为个位上是0或5的数才是5的倍数，再分析这两种情况是不是满足是3的倍数，即各个数位上的和是3的倍数，据此解答。 【规范解答】124□能同时被3和5整除，先要满足个位上必须是0或5，即1240和1245， 1240的各个数位上的和是：1＋2＋4＋0＝7，7不是3的倍数，所以1240就不是3的倍数； 1245的各个数位上的和是1＋2＋4＋5＝12，12是3的倍数，即1245是3的倍数，所以要使124□能同时被3和5整除，□里只能填5。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查3和5的倍数的特征。 3．公共汽车409每隔6分开出一趟，公共汽车408每隔8分开出一趟。这两辆公共汽车第一次同时发车后，（    ）分后两车会再次同时发车。 A．2 B．8 C．24 D．48 【答案】C 【思路引导】分析题意可知，求经过多长时间两车会再次同时发车，求出6和8的最小公倍数即可。 【规范解答】 2×3×4＝24（分钟） 所以，经过24分钟两车会再次同时发车。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查最小公倍数的应用，掌握短除法求最小公倍数的方法是解答题目的关键。 4．（25-26五年级上·浙江金华·期末）在33，12，0.99，0，2，3，﹣19，，19中，自然数有( )，质数有( )，3的倍数有( )，既是奇数又是合数的有( )。 【答案】 33、12、0、2、3、19 2、3、19 3、12、33 33 【思路引导】自然数：表示物体个数的数，0、1、2、3……都是自然数（不含小数、分数、负数）。 质数：只有1和它本身两个因数的自然数（大于1）。 3的倍数：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 奇数：不是2的倍数的数。 合数：除了1和它本身还有别的因数。 据此解答。 【规范解答】自然数有33、12、0、2、3、19，质数有2、3、19，3的倍数有3、12、33，既是奇数又是合数的有33。 5．一只灰兔和一只白兔进行跳跃比赛，灰兔每次跳10厘米，白兔每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷阱有___________厘米。 【答案】4 【思路引导】求出10和12的最小公倍数是是60，15和12的最小公倍数是60；当第一只掉进陷阱时，用的时间是60÷15＝4秒，第二只跳到10×4＝10厘米，每个12厘米有一次陷阱，最近的陷阱离40厘米，是第三个陷阱，用40减去12×3，即可解答。 【规范解答】10和12的最小公倍数是60 12和15的最小公倍数是60 第一只掉进陷阱的时间是：60÷15＝4（秒） 第二只跳了：10×4＝40（厘米） 40－12×3 ＝40－36 ＝4（厘米） 【考点剖析】本题考查公倍数的意义与实际应用，利用公倍数，求出第一只掉进陷阱的时间，进而求出最近的距离。 6．把10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；据此找出10以内所有的质数，再把这些质数相乘即可得解。 【规范解答】10以内的质数有2、3、5、7，2×3×5×7＝210，210的因数除了1和210以外，还有2、3、5、7、105、70、42，所以把10以内所有的质数相乘，所得的积一定是合数的说法正确。 故答案为：√ 7．（25-26五年级上·广东深圳·期中）齐白石是中国近代绘画大师，以画虾而闻名。言言学习齐白石，画了一幅以虾为素材的画，画卷为长方形，长和宽都是质数，并且周长是32分米，言言画的这幅画面积最大是多少平方分米？ 【答案】55平方分米 【思路引导】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可知：长方形的周长是32分米，则长与宽的和是32÷2＝16（分米）。再把16写成两个质数相加的和有：13＋3和11＋5两种情况，最后根据长方形的面积＝长×宽，得出其中面积最大是11×5＝55（平方分米）。 【规范解答】长与宽的和：32÷2＝16（分米） 16＝13＋3 16＝11＋5 13×3＝39（平方分米） 11×5＝55（平方分米） 55平方分米＞39平方分米 答：这幅画的面积最大是55平方分米。 8．（24-25五年级下·福建福州·期中）同学们排方阵做操，每行的人数都是相等的。下面是霏霏、淘淘、依依、龙一鸣各自数出的总人数，其中只有一人数对了。你认为谁数对了呢？写出你的理由。 【答案】龙一鸣；49是合数 【思路引导】每行人数×行数＝总人数，方阵不能只有1行，因此总人数是合数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【规范解答】41、43、47都是质数，只有49是合数。 答：龙一鸣数对了，因为49是合数。 9．一块长方形地，长是100米，宽是80米，计划在这块地的边上种植一些杉树，要求在四个顶点处各植一棵，并且每相邻两棵树的间距相等，每两棵树间的距离最多是多少米？最少需要多少棵杉树？ 【答案】20米；18棵 【思路引导】由题意可知：每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数；求出长方形的周长，用周长÷每两棵树间的距离即可求得最少需要多少棵杉树；据此解答。 【规范解答】100＝2×2×5×5 80＝2×2×2×2×5 所以100和80的最大公因数是2×2×5＝20，即每两棵树间的距离最多是20米。 （100＋80）×2÷20 ＝360÷20 ＝18（棵） 答：每两棵树间的距离最多是20米，最少需要18棵杉树。 【考点剖析】本题主要考查最大公因数的实际应用，明确每两棵树间的距离最大值就是100和80的最大公因数是解题的关键。 10．有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？ 【答案】40段 【思路引导】首先求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每5厘米作一个记号，可以作几个记号；因为4和5的最小公倍数是20，所以每20厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数。 【规范解答】100÷4﹣1 ＝25﹣1 ＝24（个） 100÷5﹣1 ＝20﹣1 ＝19（个） 4和5互质，所以4和5的最小公倍数时4×5＝20 100÷20﹣1 ＝5﹣1 ＝4（个） 24＋19﹣4 ＝43﹣4 ＝39（个） 39＋1＝40（段） 答：绳子一共被剪成了40段。 【考点剖析】本题主要考查了公倍数的应用，解答此题的关键是分析出每20厘米处的记号重合，并求出重合的记号的个数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null