第六单元 因数与倍数（16种类型80道专项练习）数学苏教版五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数 （16种类型80道） 目录 题型一：因数和倍数的认识 1 题型二：找一个数的因数和因数的特征 3 题型三：根据因数的特征解决问题 5 题型四：找一个数的倍数和倍数的特征 9 题型五：根据倍数的特征解决问题 11 题型六：因数和倍数的综合运用 15 题型七：2、3、5的倍数的特征 17 题型八：奇数与偶数的认识 20 题型九：质数与合数的认识 22 题型十：质数与合数的综合应用 24 题型十一：质因数的含义 27 题型十二：分解质因数 29 题型十三：公因数与最大公因数 32 题型十四：用最大公因数解决实际问题 35 题型十五：公倍数与最小公倍数 38 题型十六：用最小公倍数解决实际问题 43 题型一：因数和倍数的认识 1．一个数的最小倍数是18，它的因数有( )，它的因数中有( )个质数。 【答案】 、、、、、 【分析】一个数的最小倍数是它本身。若a×b＝c（a、b、c均为非0自然数），则a和b是c的因数，据此一对一对地找出这个数的因数。非0自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数。 【详解】一个数的最小倍数是18，说明这个数是18。 1×18＝2×9＝3×6＝18，所以18的因数有1、2、3、6、9、18。 其中，2和3只有1和它本身两个因数，是质数，共2个质数。 2．一个五位数，最高位上是最小的合数，千位上的数既是2的倍数，又有因数3，十位上的数是最小的质数，其余各位上都是0，这个五位数是( )，省略万位后面的尾数约是( )万。 【答案】 46020 5 【分析】合数指除了1和它本身以外还有其他因数的自然数；2的倍数个位是0、2、4、6、8，一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就含有因数3；质数是只有1和它本身两个因数的自然数。五位数最高位是万位，结合数位规则依次确定每一位上的数字，写出完整数字后，再通过四舍五入省略万位后面的尾数。 【详解】最小的合数是4，所以万位写4； 一位数里同时满足是2的倍数、有因数3的数是6，千位写6； 最小的质数是2，十位写2； 百位与个位都为0，这个五位数是46020。 千位数字6，大于5需要向前一位进一，省略万位后面的尾数约等于5万。 3．从图中可以看出，a和b的最大公因数是( )，a表示的数是( )。 【答案】 6 12 【分析】从题图中可知，a有6个因数分别是1、2、3、4、6、a，可以得到a＝3×4＝2×6＝1×a＝12； a和b的公因数有，1，2，3，6 ，那么最大的公因数是6； 【详解】根据分析，解答如下： a和b的最大公因数是（6），a表示的数是（12） 4．我国南北朝时期的数学家张邱建撰写了著名的《张邱建算经》，这本书系统地研究了因数倍数关系——比如一个数的最小倍数是16，那么这个数是( )，它的最大因数是( )。 【答案】 【分析】一个数最小的倍数是它本身，最大的因数也是它本身，据此解答。 【详解】最小倍数是，那么这个数是，它的最大因数是。 5．我国著名数学家陈景润被称为“哥德巴赫猜想第一人”。他证明了：任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和。例如：，，国际上称它为“陈氏定理”。根据这个定理，填写下面的算式。 ( )( )      ( )( )( ) 【答案】 【分析】质数：只有和它本身个因数的数；以内的质数有、、、、、、、，据此代入数据尝试。 【详解】 题型二：找一个数的因数和因数的特征 6．一个偶数，它的所有因数中最大的两个因数的和是45，这个偶数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 30 30＝2×3×5 【分析】一个数最大的因数是它本身，因为这个数是偶数，所以第二大的因数是它的一半。设这个偶数为x，那么最大因数是x，第二大因数是0.5x，根据“最大的两个因数的和是45”这一条件，列出方程x＋0.5x＝45，解方程求出这个数。 把这个数用短除法，从最小的质数2开始除，一直除到结果是质数为止，再把所有的除数和最后的商写成连乘的形式。 【详解】解：设这个偶数为x。 x＋0.5x＝45 1.5x＝45 1.5x÷1.5＝45÷1.5 x＝30 这个偶数是30。 30＝2×3×5 7．一百单八将是指我国古典四大名著之一《水浒传》中梁山泊上的108位头领，由天罡三十六员和地煞七十二员组成。在36的所有因数中，______是最小的质数，72的最小的倍数是______。 【答案】 【分析】①首先找出的所有因数，从中筛选出质数，再比较大小得出最小的质数。 质数的定义，一个数如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数。 ②根据一个数的最小倍数是它本身这一性质解答即可。 【详解】①的因数有：、、、、、、、、。 在的因数中，质数有、。因为，所以最小的质数是。 ②根据倍数的意义，一个数的最小倍数是它本身。所以的最小倍数是。 8．8有( )个因数，这些因数中有( )个偶数，( )个质数，( )个合数。 【答案】 4 3 1 2 【分析】找出8的所有因数：成对列举，避免遗漏。 偶数：能被2整除的数； 质数：只有1和它本身两个因数的数； 合数：除了1和它本身还有其他因数的数（注意1既不是质数也不是合数）。 【详解】、，得出8的因数有1、2、4、8，共4个。在1、2、4、8中，偶数有2、4、8，共3个；质数只有1个；合数有4、8，共2个。 9．12的因数有( )，共( )个，它的倍数的个数是( )。 【答案】 1， 2， 3， 4， 6， 12 6 无限的 【分析】一个数的因数是指能整除这个数的几个数；一个数的倍数是指这个数与非零自然数的乘积，一个数的倍数的个数是无限的，据此解答即可。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4，因此它的因数有：1、2、3、4、6、12，共6个；它的倍数的个数是无限的。 10．武汉森林公园探险活动中，明明需要找万能钥匙，打开下面四把锁才能继续前往探险之路。万能钥匙上的数是( )。 【答案】45 【分析】根据要求，这个数是两位数、奇数、并且是5的倍数。5的倍数个位只能是0或5，因为是奇数，所以个位一定是5，候选数为：15、25、35、45、55、65……；分别计算候选数所有因数的和： 15的因数和：，不符合； 25的因数和：1＋5＋25＝31，不符合； 35的因数和：1＋5＋7＋35＝48，不符合； 45的因数和：1＋3＋5＋9＋15＋45＝78，刚好符合要求。 【详解】据分析可知，万能钥匙上的数是45。 题型三：根据因数的特征解决问题 11．五年级48名同学排队做操，要求每行人数相同（不少于2人），一共有几种不同排法？ 【答案】9种 【分析】根据“每行人数相同”意味着每行人数必须是总人数的因数，先用乘法的方法找出48的全部因数，每一组对应因数代表一种排队方式，再根据“不少于2人”，排除每行人的情况，剩余因数的个数即为不同的排法种数。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 排除每行1人的情况，符合不少于2人要求的因数有：2、3、4、6、8、12、16、24、48 具体的排法如下： 每行2人，排24行； 每行3人，排16行； 每行4人，排12行； 每行6人，排8行； 每行8人，排6行； 每行12人，排4行； 每行16人，排3行； 每行24人，排2行； 每行48人，排1行； 答：一共有种不同排法。 12．五（3）班积极参与学校发起的植树节劳动实践活动，全班同学要合力栽种52棵树苗。为了让树苗排列得整齐规范，方便后期浇水养护，老师提出要求：每行种树的棵数必须相等，且行数和每行棵数都不能为1。这次植树活动有几种不同的种法？ 【答案】4种 【分析】每行棵数相等，行数和每行棵数都不能为1，也就是把52写成两个大于1的整数的乘积。这就要找52的因数。52的因数中，去掉1和52本身，剩下的因数两两配对，就是行数和每行棵数的组合。 注意，行数和每行棵数可以互换，也算是不同的种法。 【详解】52的因数：1，2，4，13，26，52； 去掉1和52，剩下2，4，13，26； 两两配对：2×26＝52，4×13＝52。 所以有4种不同的种法。 答：有4种不同的种法，分别为：行数2、每行26棵，行数26每行2棵；或行数4、每行13棵，行数13每行4棵。 13．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 【答案】见详解 【分析】首先考虑数较小并且因数比较多的数，比如36，60等，然后快速地逐步把组合数放大，进行尝试计算。 【详解】因为36＝2×3×6＝4×9，而2＋4＋6＝3＋9，所以5个数是：2、3、4、6、9； 因为，60＝3×4×5＝6×10，而3＋5＋6＝4＋10，所以5个数是：3、4、5、6、10； 120＝2×3×20＝5×24 ，2＋5＋20＝3＋24，所以5个数是：2、3、5、20、24。 【点睛】本题主要考查了学生对计算的速度和对数字的敏感度。 14．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 【答案】36位；3棵 【分析】根据每人植树棵数×总人数＝植树总棵数（其中总人数包含王老师），可知每人植树棵数和总人数是植树总棵数的因数，结合题中：五（2）班人数多于20且不超过40，据此确定每人植树棵数和总人数，因为王老师也参与了植树，所以总人数－1＝学生人数，据此列式解答。 【详解】111＝1×111＝3×37 学生人数多余20且不超过40，结合实际情况植树的总人数排除1、3、141。 也就是植树总人数为：37人，平均每人植树：111÷37＝3（棵） 学生人数为：37－1＝36（人） 答：五（2）班有36位同学，平均每位同学植树3棵。 15．把245个零件放在若干个盒子里。要使每盒的零件数相等，可以有几种装法？每种装法需要多少个盒子？每盒放多少个零件？ 【答案】见详解 【分析】找到245的因数，有几个因数就有几种方法。 1×245＝245 5×49=245 35×7=245 245的因数有1、5、7、35、49、245，有6个，因此有6种装法，再根据除法计算出需要多少个盒子，每盒放多少零件即可。 【详解】根据分析可知245的因数有1、5、7、35、49、245，有6个。 245÷1＝245（个） 245÷5＝49（个） 245÷7＝35（个） 245÷35＝7（个） 245÷49＝5（个） 245÷245＝1（个） 答：可以有6种装法。（1）需要1个盒子，每盒放245个零件；（2）需要5个盒子，每盒放49个零件；（3）需要7个盒子，每盒放35个零件；（4）需要35个盒子，每盒放7个零件；（5）需要49个盒子，每盒放5个零件；（6）需要245个盒子，每盒放1个零件。 题型四：找一个数的倍数和倍数的特征 16．一个数m的最小倍数与它的最大因数之和是( )。 【答案】2m 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数，被除数是除数的倍数。 一个数（0除外）的最小倍数是它本身，一个数（0除外）的最大因数是它本身。 【详解】数m的最小倍数与最大因数都是m，因此两者之和是m＋m＝2m 17．如果甲数的最大因数是15，乙数的最小倍数是20，那么这两个数的最小公倍数是( )。 【答案】 60 【分析】根据因数和倍数的性质，一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，因此甲数是15，乙数是20。得到甲、乙两数后，使用分解质因数法计算两个数的最小公倍数，最小公倍数是公有质因数乘独有质因数。 【详解】15＝3×5 20＝2×2×5 2×2×3×5＝60 那么这两个数的最小公倍数是60。 18．甲数的最大因数是6，乙数的最小倍数是5。这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 30 【分析】先根据“一个数的最大因数是它本身”，得出甲数是6；再根据“一个数的最小倍数是它本身”，得出乙数是5。接着判断6和5是互质数（公因数只有1的两个数），根据互质数的规律：互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。 【详解】甲数＝6 乙数＝5 5和6互质，最大公因数为1，最小公倍数＝5×6＝30。 19．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是( )，最小倍数是( )，108的所有因数中，质数有( )。 【答案】 108 108 2，3 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，把108分解质因数是：108＝2×2×3×3×3，所以108的所有因数中，质数有2和3，据此解答。 【详解】由分析可得：108的最大因数是108，最小倍数是108，108的所有因数中，质数有2和3。 20．《西游记》是我国古典四大名著之一，这本书讲述了唐僧师徒4人历经81难去西天取经的故事。 (1)写出30以内4的所有倍数：( )。 (2)写出81的所有因数：( )。 【答案】(1)4，8，12，16，20，24，28 (2)1，3，9，27，81 【分析】（1）列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 （2）列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】（1）4×1＝4 4×2＝8 4×3＝12 4×4＝16 4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 30以内4的所有倍数：4，8，12，16，20，24，28。 （2）81＝1×81＝3×27＝9×9 81的所有因数：1，3，9，27，81 题型五：根据倍数的特征解决问题 21．用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？ 【答案】48张 【分析】正方形的边长可以剪出24÷4＝6个长，同理正方形的边长可以剪出24÷3＝8个宽，据此即可求出小长方形有6×8＝48个。据此解答。 【详解】（24÷4）×（24÷3） ＝6×8 ＝48（张） 答：一共能够裁剪成48张。 【点睛】解答此题的关键是求出分别以长边和宽边剪出的小正方形的个数，再相乘即可。 22．下面哪几组数有公因数2？哪几组数有公因数3或5？ 6和27    10和35    24和42    30和40 【答案】有公因数2的是：24和42、30和40；有公因数3或5的是：6和27、10和35、24和42、30和40 【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数。5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此判断各个数是几的倍数，则可知其有因数几，两数都有因数几，即几就是这两数的公因数，据此判断。 【详解】6是2、3的倍数 27是3的倍数 10是2、5的倍数 35是5的倍数 24是2、3的倍数 42是2、3的倍数 30是2、3、5的倍数 40是2、5的倍数 有公因数2的是：24和42、30和40 有公因数3或5的是：6和27、10和35、24和42、30和40 23．剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 【答案】1150个 【分析】根据题意，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位，那么第二排就是24个，第三排26个，根据此规律，第25排比第一排多了24个2，所以第25排座位数就是70个，然后再把第一排和第25排相加也就是92个，第二排和第24排座位数之和也是92个，这样两两相加一共有25÷2＝12（组）……1（排），余下的那一排正好是中间的第13排，最后将12组之和加上第13排座位数就是总座位数。 【详解】第一排     22 第二排     22＋2 第三排     22＋2×2 第四排     22＋2×3 …… 由此规律可得第25排座位数量： 22＋2×24 ＝22＋48 ＝70（个） 第一排跟第25排数量之和为：22＋70＝92（个）， 第二排跟第24排数量之和为：24＋68＝92（个）， 第三排跟第23排数量之和为：24＋68＝92（个）， 由此推断25÷2＝12（组）……1（排），余数1排也就是第13排， 第13排座位数量： 22＋2×12 ＝22＋24 ＝46（个） 92×12＋46 ＝1104＋46 ＝1150（个） 答：这个剧院一共有1150个座位 【点睛】本题考查倍数，后面每一排总比前一排多2个座位，多的座位数都是2的倍数，还考查如何寻找数字之间的规律，以及如何利用规律就行简算，比如此题，除了要知道排与排之间的规律，还要观察出前排和后排数量之和的规律，所以我们在做题时，一定要善于观察并且运用规律。 24．小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【答案】小明14岁；爸爸42岁 【分析】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【详解】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 25．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 题型六：因数和倍数的综合运用 26．一个数，既是16的因数，又是16的倍数，此数是( )，它的因数一共有( )个。 【答案】 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，由此确定这个数是 16。然后根据找因数的方法，从1开始，依次找出能整除16的数，最后数出因数的个数即可。 【详解】既是16的因数又是16的倍数的数是16。 因为16÷1＝16，16÷2＝8，16÷4＝4 ，所以 16 的因数有：1、2、4、8、16，一共有5个因数。 27．小朋友们玩“拍七”游戏：按照1，2，3，4…的顺序轮流报数，遇到7的倍数只拍手不报数。当报到60时，小朋友们一共拍了( )次手。 【答案】8 【分析】需要找出1到60之间所有7的倍数，因为遇到7的倍数要拍手，所以拍手次数就是7的倍数的个数。用60除以7，商就是7的倍数的数量，余数则不影响结果，由此可以计算出具体次数。 【详解】60÷7＝8（组）……4 即1到60之间7的倍数有7×1，7×2，7×3，…，7×8，共8个。 因此，当报到60时，小朋友们一共拍了8次手。 28．学校组队参加区广播操比赛，要求人数在50人以上，60人以下，男、女生比例为，男生人数是女生人数的( )%，这支参赛队有女生( )人。 【答案】 60 35 【分析】①根据男、女生比例为，将男生人数看作3份，女生人数看作5份，用男生人数的份数除以女生人数的份数，再乘100%即可求出男生人数是女生人数的百分之几。 ②50～60之间且是（3＋5＝8）的倍数即为总人数；求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；将人数看作单位“1”，再用总人数乘女生所占的分率，即可求得女生人数。据此解答。 【详解】①3÷5×100% ＝0.6×100% ＝60% 即男生人数是女生人数的60%。 ②3＋5＝8 7×8＝56（人） （人） 即这支参赛队有女生35人。 29．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    【答案】20 【分析】先写出40的所有因数，再从中找出5的倍数的数，最后找出在15～30之间的数，即是这个旅行团的人数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】40的因数：1，2，4，5，8，10，20，40； 其中又是5的倍数的有：5，10，20，40； 15＜20＜30 这个旅行团一共有20人。 【点睛】本题考查找一个数的因数以及5的倍数特征的应用。 30．你知道小美和奶奶今年各多少岁吗？ 小美( )岁，奶奶( )岁。 【答案】 8 64 【分析】奶奶的年龄是爸爸年龄的倍数，且不到90岁，所以奶奶的年龄是64岁，奶奶的年龄是小美的8倍，所以小美是64÷8＝8（岁）。 【详解】32的倍数：32，64，96…… 奶奶的年龄不到90岁，所以奶的年龄是64岁。 64÷8＝8（岁） 【点睛】考查了因数和倍数，解题的关键是先求出奶奶的年龄。 题型七：2、3、5的倍数的特征 31．天门市博物馆是一座地方综合性博物馆，馆藏文物见证了五千余年的人类文明。某日，博物馆的参观人数总计为8□9□人次，且这个数同时是2、3、4的倍数。此时，这个数个位上的数字可能有( )种情况；当这个数取到最大值时，可达到( )人次。 【答案】 2 8892 【分析】8□9□是2的倍数，说明个位上只能是0、2、4、6、8；是4的倍数，它的末两位必须被4整除（因为100是4的倍数，百位及以上的数不影响能否被4整除），个位代入0、2、4、6、8，发现只有92和96能被4整除，个位上的数字是2或6；是3的倍数，那么各个数位上的数字相加的和能被3整除，8□9□，设百位上是A（A是0~9的整数），个位上是2时，8＋A＋9＋2＝19＋A，要使（19＋A）能被3整除，A可以是2，5，8；个位上是6时， 8＋A＋9＋6＝23＋A，要使（23＋A）能被3整除，A可以是1，4，7；所以个位上的数字是2或6，8□9□都存在同时是2、3、4的倍数的情况，个位上的数字有2种情况；百位上可以取1，2，4，5，7，8，百位上取最大值8时，个位上是2，故最大数是8892。 【详解】根据2的倍数特征，个位上取0、2、4、6、8； 90÷4＝22.5，92÷4＝23，94÷4＝23.5，96÷4＝24，98÷4＝24.5， 根据4的倍数特征，个位取2或6； 设8□9□百位上是A（A是0~9的整数），则有8A92或8A96； 根据3的倍数特征， 8＋A＋9＋2＝19＋A，要使（19＋A）能被3整除，A可以是2，5，8； 8＋A＋9＋6＝23＋A，要使（23＋A）能被3整除，A可以是1，4，7； 所以个位上的数字有2种情况；当这个数取到最大值时，百位上取8，个位上取2， 可达到8892人次。 32．一个四位数3□5□，既是2的倍数，又是3的倍数，同时还是5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 3150 3750 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0、5的数是5的倍数，一个自然数各个数位上数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。先根据2和5的倍数特征确定个位的数字，再根据3的倍数特征确定百位数字。 【详解】根据分析可知，既是2的倍数，又是5的倍数，这个数的个位只能是0；此时这个四位数是3□50，各个数位上数字的和是3＋□＋5＋0＝8＋□； 当□＝1时，8＋1＝9，9是3的倍数，此时四位数是3150； 当□＝4时，8＋4＝12，12是3的倍数，此时四位数是3450； 当□＝7时，8＋7＝15，15是3的倍数，此时四位数是3750； 因为，所以这个四位数最小是3150，最大是3750。 33．一个质数是两位数，两个数位上的数字之和是10，差是8，这个质数是( )；是2的倍数，能被3整除，又有因数5的最大三位数是( )。 【答案】 19 990 【分析】除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此将10拆成两数相加的形式，找到差是8的一组，从而确定这个质数。 2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5 其中9－1＝8，91是合数，19是质数，因此这个质数是19； 同时是2和5的倍数的个位上的数一定是0，百位上的数字最大是9，要想9□0是3的倍数，□里的数字最大可以是9，因此是2的倍数，能被3整除，又有因数5的最大三位数是990。 34．南漳县是“和氏璧”的故乡。传说卞和得璞玉于荆山。一块仿制和氏璧的模型，其质量既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，而且是三位数，最小是( )g。 【答案】120 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位是0或5；3的倍数特征：各个数位的数字之和是3的倍数。同时是2、3、5的倍数的数，个位必须是0，且各个数位数字之和是3的倍数。要求满足条件的最小的三位数，那么百位上最小是1，再结合各个数位数字之和是3的倍数，确定十位上的数。 【详解】由分析知，同时是2、3、5的倍数的最小的三位数，它的个位是0，百位是1，此时两位数字之和为1＋0＝1。 要使三个数位数字之和是3的倍数，且十位尽可能小，那么最小满足的三个数位之和是3，3是3的倍数，则十位上的数为3－1＝2。 所以这个满足条件的最小的三位数是120。 35．48□既是2的倍数又是3的倍数，□里最大可以填( )；40□既是5的倍数又是3的倍数，□可以填( )；4□0同时是2、3、5的倍数，□里最小可以填( )。 【答案】 6 5 2 【分析】的倍数个位上是、、、、；的倍数个位上是或；的倍数各位上数字的和是的倍数。根据题目中给出的倍数条件，结合数的特征逐一确定方框内的数字。 【详解】 48□既是2的倍数又是3的倍数，□里最大可以填；40□既是5的倍数又是3的倍数，□可以填；4□0同时是2、3、5的倍数，□里最小可以填。 题型八：奇数与偶数的认识 36．在1﹣10中，质数有( )，合数有( )；其中既是偶数又是质数的是( )，既是奇数又是合数的是( )。 【答案】 2、3、5、7 4、6、8、9、10 2 9 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数； 一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数； 1既不是质数，也不是合数，最小的质数是2； 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，据此解答。 【详解】在1﹣10中，质数有：2，3，5，7； 合数有：4，6，8，9，10； 既是质数又是偶数的有：2； 既是奇数又是合数的有：9。 37．20以内既是奇数又是合数的数有( )和( )。 【答案】 9 15 【分析】奇数：不能被2整除；合数：除了1和它本身，还有其他因数；质数：只有1和它本身两个因数。首先列出0~20以内的奇数，再找出其中的合数。 【详解】20以内的奇数有：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 1既不是质数也不是合数，排除； 3、5、7、11、13、17、19只有1和这个数本身两个因数，属于质数。 9＝1×9＝3×3 15＝1×15＝3×5 9和15除了1和它本身，还有其他因数的数，属于合数。 所以20以内既是奇数又是合数的数有9和15。 38．哥德巴赫是德国数学家，在200多年前提出了一个猜想：每个大于4的偶数是两个奇质数的和。请写出一个符合该猜想的算式( )。 【答案】10＝3＋7 【分析】根据哥德巴赫猜想的描述，需要构造一个等式，满足两个条件：一是等式左边为大于4的偶数，二是等式右边为两个奇质数相加。先列举出奇质数，再选择一个合适的大于 4 的偶数进行拆分验证。 【详解】自然数中，是质数且是奇数的数有3、5、7、11、13。 选择一个大于4的偶数，例如10。 将10拆分为两个奇质数的和。因为3是奇质数，7是奇质数，且3＋7＝10，符合“每个大于4的偶数是两个奇质数的和”这一猜想。（答案不唯一） 39．工坊的三个酿醋车间，每日的原料消耗量对应三个连续奇数，和是63，这三个奇数分别是( )、( )、( )。 【答案】 19 21 23 【分析】相邻的两个奇数之间相差2，三个连续奇数的和÷3＝中间奇数，中间奇数－2＝较小奇数，中间奇数＋2＝较大奇数。 【详解】63÷3＝21 21－2＝19 21＋2＝23 这三个奇数分别是19、21、23。 40．清徐老陈醋工坊6个不同岗位的当班人数分别为：1，4，7，12，19，23。这6个数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )，既不是质数也不是合数的有( )。 【答案】 ，， ，/12，4 ，，， ，/12，4 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；整数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数；1既不是质数也不是合数。据此解答。 【详解】1既不是质数也不是合数，1不是2的倍数，1是奇数； 4的因数有1、2、4，所以4是合数，4是2的2倍，所以4也是偶数； 7的因数只有1和7，所以7是质数，7不是2的倍数，所以7也是奇数； 12的因数有1、2、3、4、6、12，所以12是合数，12是2的6倍，所以12也是偶数； 19的因数只有1和19，所以19是质数，19不是2的倍数，所以19也是奇数； 23的因数只有1和23，所以23是质数，23不是2的倍数，所以23也是奇数。 这6个数中，质数有，，；合数有4，12；奇数有，，，；偶数有4，12；既不是质数也不是合数的有1。 题型九：质数与合数的认识 41．在3、4、5、7、8、9、10中，( )是合数，( )是质数，( )是奇数，( )是偶数。 【答案】 4、8、9、10 3、5、7 3、5、7、9 4、8、10 【分析】只有1和它本身两个因数，这样的数是质数。除了1和它本身还有别的因数，这样的数是合数。 是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】在3、4、5、7、8、9、10中，4、8、9、10是合数，3、5、7是质数，3、5、7、9是奇数，4、8、10是偶数。 42．将1－7的数字卡片（无重复）打乱次序反扣在桌面上，从中任意摸一张。摸出奇数和偶数的可能性相比，摸出( )的可能性大；摸出质数和合数的可能性相比，摸出( )的可能性大。 【答案】 奇数 质数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。分别比较奇数和偶数，质数和合数的数量，哪种数的数量多，摸出哪种数的可能性就大。 【详解】奇数有1，3，5，7，共4个，偶数有2，4，6，共3个，4＞3，摸出奇数可能性大，质数有2，3，5，7，共4个，合数有4，6，共2个，4＞2，摸出质数可能性大。 43．最小的奇数与最小的合数的和是( )；在大于0的数中，( )既不是质数，也不是合数。 【答案】 5 1 【分析】奇数是不能被2整除的整数，自然数中最小的奇数是1。 合数是除了1和它本身还有别的因数的正整数，最小的合数是4。 质数是只有1和它本身两个因数的正整数。1 既不是质数，也不是合数。 【详解】最小的奇数与最小的合数的和：1＋4＝5 1的因数只有1个，不符合质数的定义，也不符合合数的定义。1 既不是质数，也不是合数。 44．一个数，亿位上是7，千万位上是4，万位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作( )，读作( )，把它改写成用万作单位的数是( )万，省略亿位后面的尾数约是( )亿。 【答案】 740010200 七亿四千零一万零二百 74001.02 7 【分析】最小的奇数是1，最小的质数是2，从最高位亿位上开始写，哪个数位上没有就用0补齐，据此写出数；整数的读法：先分级，从个位开始每四位分一级，分别是个级、万级、亿级，读数时从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位有一个0或连续几个0都只读一个“零”。 改写成用万作单位的数，则是找到万位，在万位右边点上小数点，省略末尾0即可； 省略亿后面的尾数则是根据千万位上的数进行四舍五入，再在末尾加上亿字。 【详解】一个数，亿位上是7，千万位上是4，万位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作740010200；读作：七亿四千零一万零二百，把它改写成用万作单位的数是74001.02万，省略亿位后面的尾数约是7亿。 45．2025年10月31日23时44分，随着“神舟二十一号”载人飞船成功发射，我国共有16次“神舟”载人飞行任务，共28名航天员相继执行飞天任务，其中刘洋、王亚平和王浩泽是仅有的3名女航天员。在上述材料出现的自然数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )。 【答案】 2025，31，23，3 10，44，16，28 31，23，3 【分析】自然数中，能被2整除的是偶数，不能被2整除的是奇数； 只有1和自身两个因数的数是质数； 除了1和本身之外还有其他因数的数是合数。 【详解】题干中所有的自然数：2025、10、31、23、44、16、28、3； 其中奇数有：2025，31，23，3； 偶数有：10，44，16，28； 质数有：31，23，3。 题型十：质数与合数的综合应用 46．一个长方形的周长是14厘米，它的长和宽的长度是两个质数，这个长方形的面积可能是多少？ 【答案】10平方厘米 【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；代入数据，求出长与宽的和，再根据质数的意义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；据此求出长方形的长与宽，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，计算出面积。 【详解】14÷2＝7（厘米） 7以内的质数有：2，3，5，7； 2＋5＝7 长方形的长与宽只有一种情况：长是5厘米、宽是2厘米， 面积：（平方厘米） 答：这个长方形的面积可能是10平方厘米。 【点睛】熟练掌握和灵活运用长方形周长公式、面积公式以及质数的意义是解答本题的关键。 47．如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【答案】11、17、2 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】209＝11×19 19＝17＋2 答：a、b、c各代表11、17、2。 【点睛】关键是掌握质数、合数的分类标准。 48．数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【答案】92颗 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。 【详解】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。 情况一：1＋31×3 ＝1＋93 ＝94（颗） 情况二：2×1＋30×3 ＝2＋90 ＝92（颗） 92＜94 答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。 【点睛】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。 49．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【答案】8和7，2，3不同；理由见详解 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【详解】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 50．果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 【答案】米米；因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 【分析】从题目可知，果园里有几行果树，每行棵树相等，根据总棵数＝每行棵数行数，总棵数是一个合数，据此判断即可。 【详解】43的因数只有1和43，所以43是质数； 36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，所以36是合数； 47的因数只有1和47，所以47是质数。 其中只有米米数对了，因为每行棵数相等，所以总棵数是合数。43，36，47中只有36是合数，所以米米数对了。 题型十一：质因数的含义 51．36的素因数有( )。 【答案】 2和3 【分析】素因数是指一个数的因数中为素数的数。素数是只有1和它本身两个因数的数。需要先找出36的所有因数，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。然后从中筛选出素数。 【详解】36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。其中2和3是素数。所以，36的素因数是2和3。 52．60的因数有( )，60的质因数有( )。 【答案】 1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60 2，3，5 【分析】一个数的因数的个数是有限的，一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，找一个数的因数，可以一对一对的找，把60写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是60的因数，然后进行选择即可； 质因数：一个数如果是质数（即只有1和它本身两个因数）并且也是另一个数的因数，那么它就是另一个数的质因数；据此解答即可。 【详解】60＝1×60 60＝2×30 60＝3×20 60＝4×15 60＝5×12 60＝6×10 60的因数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60， 60的质因数有2，3，5。 53．42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 【答案】 不是 是 【分析】分解质因数是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，其中每个质数叫做这个合数的质因数；因为6是合数不是质数，7是质数，所以6不是42的质因数，7是42的质因数，据此解答。 【详解】42＝6×7，则6和7都是42的因数，因为6是合数不是质数，7是质数，因此6不是42的质因数，7是42的质因数。 因此42＝6×7，6不是42的质因数，7是42的质因数。 54．下面的□和△都是质数，并且口＞△，请你算一算它们分别是多少。 □＋△＝18，□×△＝65，□＝( )，△＝( )。 【答案】 13 5 【分析】□×△＝65，□和△都是质数，则□和△都是65的质因数，把65分解质因数65＝13×5，并且口＞△，所以△是5，□是13，13＋5＝18，据此解答。 【详解】由分析可知：□＝13，△＝5。 【点睛】本题主要考查对质数的认识和质因数含义的理解。 55．在42＝6×7中，________和________都是________的因数，________是________的质因数。 【答案】 6 7 42 7 42 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的；以及质因数的意义：如果一个整数的因数是质数，为质数的因数叫做质因数；据此解答。 【详解】在42＝6×7中，6和7都是42的因数，7是42的质因数。 【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 题型十二：分解质因数 56．用短除法将下面各数分解质因数。 34       60        84 【答案】见详解 【分析】把一个合数分解质因数，就是把一个合数写成几个质因数相乘的形式，一般先从较小的质数试着分解。 【详解】；34＝2×17； ；60＝2×2×3×5； ；84＝2×2×3×7。 57．用短除法分解质因数。 42     39     32     90 【答案】42＝2×3×7 39＝3×13 32＝2×2×2×2×2 90＝2×3×3×5 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。根据质因数的分解原则用短除法进行解分解即可。 【详解】根据分析可知：                            42＝2×3×7                              39＝3×13      32＝2×2×2×2×2                  90＝2×3×3×5 58．把下列各数写成质数相乘的形式。 42                          16 【答案】42＝2×3×7；16＝2×2×2×2 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，分解质因数的算式的叫短除法。 【详解】      42＝2×3×7；16＝2×2×2×2 59．分解质因数。 36    68    48 【答案】见详解 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】36＝2×2×3×3 68＝2×2×17 48＝2×2×2×2×3 60．把下面各数分解质因数。 98＝       54＝       78＝ 66＝       102＝      45＝ 【答案】2×7×7；2×3×3×3；2×3×13 2×3×11；2×3×17；3×3×5 【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，可用短除法或塔式分解法，一般先从简单的质数试着分解。 【详解】98＝2×7×7       54＝2×3×3×3       78＝2×3×13                                 66＝2×3×11       102＝2×3×17      45＝3×3×5                                题型十三：公因数与最大公因数 61．用短除法求下面每组数的最大公因数。 80和24        21和48 【答案】8；3 【分析】用短除法求两个数的最大公因数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止；然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。 【详解】 所以，80和24的最大公因数是：2×2×2＝8 所以，21和48的最大公因数是：3 62．用短除法求下列每组数的最大公因数。 15和25        9和15 【答案】5；3 【分析】短除号左边的数相乘就是这组数的最大公因数。 【详解】 15和25的最大公因数是5。        9和15的最大公因数是3。 63．一个房间的地面长56分米，宽48分米。如果用正方形的地砖铺设（地砖刚好铺满且不切割），可以选用边长最大是( )分米的地砖。 【答案】8 【分析】由题可知，正方形地砖的边长是房间地面长和宽的公因数，要使正方形地砖的边长最大，即求长和宽的最大公因数。据此先对两数分解质因数，再将两数的公有质因数相乘即可求出满足条件的最大的正方形地砖的边长。 【详解】56＝2×2×2×7，48＝2×2×2×2×3 两数的公有质因数为2、2、2，因此它们的最大公因数为2×2×2＝8。 即选用的正方形地砖的边长最大8分米。 64．五年级二班所在的教室面积是50平方米，将50分解质因数是( )；50和25的最大公因数是( )。 【答案】 50＝2×5×5 25 【分析】分解质因数的定义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。两个数的公有质因数的连乘积就是这两个数的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1。 【详解】50分解质因数是：50＝2×5×5； 由于50是25的倍数，所以50和25的最大公因数是25。 65．在16、32、27、40这四个数中，32和______的最大公因数是1。 【答案】27 【分析】两个数的公有质因数的连乘积为最大公因数，如果两个数为互质数，最大公因数是1，据此找出与32为互质数的数。 【详解】16和32不是互质数，最大公因数是16。 32和27是互质数，最大公因数是1。 32和40不是互质数，最大公因数是8。 题型十四：用最大公因数解决实际问题 66．学校准备60支铅笔和48本练习本，平均分给若干名获奖学生，要求每人分到的铅笔、练习本数量分别相同，且刚好分完，最多可以分给多少名学生？ 【答案】12名 【分析】根据题意，学生人数既是铅笔数量的因数，也是练习本数量的因数，即学生人数是60和48的公因数。要求最多可以分给多少名学生，即求60和48的最大公因数。 【详解】 60和48的最大公因数是 2×2×3＝12 答：最多可以分给12名学生。 67．有两根彩带，长度分别是42厘米和63厘米。现将两根彩带剪成同样长的小段，无剩余，每段最长是多少厘米？ 【答案】21厘米 【分析】将两根彩带剪成同样长的小段且无剩余，说明每段的长度必须是两根彩带长度的公因数。要求每段最长是多少厘米，即求42和63的最大公因数。 【详解】 42和63的最大公因数是：3×7＝21 答：每段最长是21厘米。 68． “三月三”非遗工坊有一块长32分米、宽28分米的长方形壮锦布料。如果将它裁成若干块大小相等、边长为整分米数的正方形方巾，且布料没有剩余。裁出的正方形方巾边长最长是多少分米？一共可以剪出多少块这样的方巾？ 【答案】4分米；56块 【分析】要把长方形布料裁成大小相等的正方形且没有剩余，正方形的边长必须既是长方形长的因数，也是宽的因数，即长和宽的公因数。要求边长最长，就是求长和宽的最大公因数。求出正方形边长后，分别计算长方形的长和宽各能裁出多少个正方形，再将两个数量相乘即可得到总块数。 【详解】的因数有：。 28的因数有：。 和的公因数有：。 最大公因数是 。 所以，裁出的正方形方巾边长最长是4分米。 （块） （块） （块） 答：裁出的正方形方巾边长最长是4分米，一共可以剪出56块这样的方巾。 69．非遗剪纸社团准备用一张长75厘米、宽60厘米的大红色宣纸，剪成若干块大小完全相同，且尽可能大的正方形纸片，用来制作“生肖窗花”，要求不能有剩余。剪成的正方形边长最大是多少厘米？可以剪成多少块这样的正方形？ 【答案】15厘米；20块 【分析】要把长方形纸剪成大小完全相同且尽可能大的正方形，且没有剩余，说明正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数。要求最大边长，即求长和宽的最大公因数，可以利用短除法求解。。求出最大边长后，分别用长和宽的长度除以求出的最大边长，计算长和宽各能剪出多少个最大边长，再相乘即可得到总块数。 【详解】 75和60的最大公因数是： 所以剪成的正方形边长最大是：15厘米。 可以剪成的块数为： （块） 答：剪成的正方形边长最大是15厘米，可以剪成20块这样的正方形。 70．丝绸是我国的特产，也是中华文明的重要象征。一块长方形丝绸长60分米，宽42分米，如果把它剪成若干个同样的正方形，并且没有剩余，那么正方形的边长最大是多少分米？此时一共剪成多少个正方形？ 【答案】6分米；70个 【分析】要剪成同样的正方形且没有剩余，正方形的边长必须同时是长方形长60分米、宽42分米的因数，因此最大边长就是60和42的最大公因数。长方形的长÷正方形边长＝长的方向剪的个数，长方形的宽÷正方形边长＝宽的方向剪的个数，相乘得出一共剪的个数 【详解】 60和42的最大公因数是2×3＝6 60÷6＝10（个） 42÷6＝7（个） 10×7＝70（个） 答：正方形的边长最大是6分米，一共剪成70个正方形。 题型十五：公倍数与最小公倍数 71．求出下面每组数的最小公倍数。 16和24        20和18        15和25        6和12 【答案】48；180；75；12 【分析】两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积。 【详解】16和24 16＝2×2×2×2 24＝2×2×2×3 16和24的最小公倍数是2×2×2×3×2＝48 20和18 20＝2×2×5 18＝2×3×3 20和18的最小公倍数是2×2×5×3×3＝180 15和25 15＝3×5 25＝5×5 15和25的最小公倍数是3×5×5＝75 6和12 6和12是倍数关系，最小公倍数是12。 72．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和105        76和24            16和88 【答案】35和105的最大公因数是35，最小公倍数是105； 76和24的最大公因数是4，最小公倍数是456； 16和88的最大公因数是8，最小公倍数是176。 【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。 【详解】（1）35和105，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为5、7，故最大公因数为，最小公倍数为； （2）76和24，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为2、2，故最大公因数为，最小公倍数为； （3）16和88，分解质因数为：，，两个数都有的质因数为2、2、2，故最大公因数为，最小公倍数为。 73．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 16和28    36和72    25和125    15和105 【答案】16和28的最大公因数是4，最小公倍数是112 36和72的最大公因数是36，最小公倍数是72 25和125的最大公因数是25，最小公倍数是125 15和105的最大公因数是15，最小公倍数是105 【分析】利用短除法分解质因数，用两个数公有的质因数连续去除，直到两个商只有公因数1为止；把所有除数相乘，得到最大公因数；把所有除数和最后的两个商连乘，得到最小公倍数。 【详解】16和28 16和28的最大公因数：2×2＝4，最小公倍数：2×2×4×7＝112 36和72 36和72的最大公因数：2×2×3×3＝36，最小公倍数：1×2×2×2×3×3＝72 25和125 25和125的最大公因数：5×5＝25，最小公倍数：1×5×5×5＝125 15和105 15和105的最大公因数：3×5＝15，最小公倍数：1×3×5×7＝105 74．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18        25和15        13和26 【答案】24和18：最大公因数6，最小公倍数72； 25和15：最大公因数5，最小公倍数75； 13和26：最大公因数13，最小公倍数26 【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【详解】（1）24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数是：2×3＝6 24和18的最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72 （2）25＝5×5 15＝3×5 25和15的最大公因数是：5； 25和15的最小公倍数是：3×5×5＝75； （3）13和26是倍数关系，所以13和26的最大公因数是13，最小公倍数是26。 75．用短除法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 15和25        24和18        36和60 【答案】5，75；6，72；12，180 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，从两个数公有的最小质因数除起，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公约数。把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】 所以，15和25的最大公因数为5，最小公倍数为5×3×5＝75； 所以，24和18的最大公因数为2×3＝6，最小公倍数为2×3×4×3＝72； 所以，36和60的最大公因数为2×2×3＝12，最小公倍数为2×2×3×3×5＝180 题型十六：用最小公倍数解决实际问题 76．古人整理竹简，若每3根捆一捆没有剩余，每5根捆一捆没有剩余，每7根捆一捆也没有剩余。这些竹简至少有多少根？ 【答案】105根 【分析】根据题意，竹简若每3根、每5根、每7根捆一捆都没有剩余，说明竹简的总数是3、5、7的公倍数。求这些竹简至少的数量，就是求3、5、7的最小公倍数。由于3、5、7是互质数，所以它们的最小公倍数即为这三个数的乘积。 【详解】3×5×7＝105（根） 答：这些竹简至少有105根。 77．为感受家乡历史文化，领略古城人文风情，学校组织学生参观淮北隋唐运河古镇。五（1）班分组活动，每6人一组或每8人一组都正好分完，已知班级人数在40～50人之间，这个班一共有多少人？ 【答案】48人 【分析】每6人一组或每8人一组都正好分完，说明班级总人数是6和8的公倍数，求出6和8的公倍数，且位于40到50之间即可。 【详解】 6和8的最小公倍数是： 6和8的公倍数有：24 24×2＝48 24×3＝72 …… 40＜48＜50 答：这个班一共有48人。 78．为建设美丽乡村生态廊道，工人要在一条总长120米的沿江道路一侧种树，道路两头都要栽树。原本计划每隔4米栽一棵，后来改成每隔6米栽一棵。原来画好标记的树坑里，有多少个不用重新挖坑？ 【答案】11个 【分析】不需要重新挖坑的位置，意味着该位置既符合原计划每隔4米栽树的要求，也符合后来每隔6米栽树的要求。因此，这些位置距离起点的长度应该是4和6的公倍数。相邻两个不用重新挖坑的树坑之间的距离，即为4和6的最小公倍数。求出最小公倍数后，用道路总长度除以最小公倍数得到间隔数，再根据“两端都要栽树”的植树问题规律（棵数间隔数）计算出不用重新挖坑的树坑数量。 【详解】4和6的最小公倍数是12。 （个） （个） 答：有11个不用重新挖坑。 79．学校举行“经典诵读”比赛，五年级2班参赛人数在30～40人之间，如果每行站9人或每行站6人，都正好站完。五年级2班参赛的学生共有多少人？ 【答案】36人 【分析】根据题意，参赛人数既能被9整除，又能被6整除，说明参赛人数是9和6的公倍数。先用分解质因数法求出9和6的最小公倍数，然后找出该最小公倍数的倍数中，位于30～40之间的数，即为所求的参赛人数。 【详解】9＝3×3 6＝2×3 9和6的最小公倍数是2×3×3＝18。 18的倍数有：18、36、54…… 又因为参赛人数在30～40人之间， 符合条件的数只有36。 答：五年级2班参赛的学生共有36人。 80．李老师将全班同学分成若干个劳动小组，6人一组或7人一组都能正好分完，已知班级总人数在40—50人之间，这个班有多少人？ 【答案】42人 【分析】6人一组或7人一组都能正好分完，说明总人数是6和7的公倍数。先求出6和7的最小公倍数，再找出符合40至50人之间的公倍数即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。 【详解】 42×2＝84 …… 6和7的公倍数有42、84、…… 因为班级总人数在 40—50 人之间，所以这个班有42人。 答：这个班有42人。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数 （16种类型80道） 目录 题型一：因数和倍数的认识 1 题型二：找一个数的因数和因数的特征 2 题型三：根据因数的特征解决问题 2 题型四：找一个数的倍数和倍数的特征 4 题型五：根据倍数的特征解决问题 4 题型六：因数和倍数的综合运用 5 题型七：2、3、5的倍数的特征 6 题型八：奇数与偶数的认识 6 题型九：质数与合数的认识 7 题型十：质数与合数的综合应用 7 题型十一：质因数的含义 9 题型十二：分解质因数 9 题型十三：公因数与最大公因数 10 题型十四：用最大公因数解决实际问题 11 题型十五：公倍数与最小公倍数 12 题型十六：用最小公倍数解决实际问题 13 题型一：因数和倍数的认识 1．一个数的最小倍数是18，它的因数有( )，它的因数中有( )个质数。 2．一个五位数，最高位上是最小的合数，千位上的数既是2的倍数，又有因数3，十位上的数是最小的质数，其余各位上都是0，这个五位数是( )，省略万位后面的尾数约是( )万。 3．从图中可以看出，a和b的最大公因数是( )，a表示的数是( )。 4．我国南北朝时期的数学家张邱建撰写了著名的《张邱建算经》，这本书系统地研究了因数倍数关系——比如一个数的最小倍数是16，那么这个数是( )，它的最大因数是( )。 5．我国著名数学家陈景润被称为“哥德巴赫猜想第一人”。他证明了：任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和。例如：，，国际上称它为“陈氏定理”。根据这个定理，填写下面的算式。 ( )( )      ( )( )( ) 题型二：找一个数的因数和因数的特征 6．一个偶数，它的所有因数中最大的两个因数的和是45，这个偶数是( )，把它分解质因数是( )。 7．一百单八将是指我国古典四大名著之一《水浒传》中梁山泊上的108位头领，由天罡三十六员和地煞七十二员组成。在36的所有因数中，______是最小的质数，72的最小的倍数是______。 8．8有( )个因数，这些因数中有( )个偶数，( )个质数，( )个合数。 9．12的因数有( )，共( )个，它的倍数的个数是( )。 10．武汉森林公园探险活动中，明明需要找万能钥匙，打开下面四把锁才能继续前往探险之路。万能钥匙上的数是( )。 题型三：根据因数的特征解决问题 11．五年级48名同学排队做操，要求每行人数相同（不少于2人），一共有几种不同排法？ 12．五（3）班积极参与学校发起的植树节劳动实践活动，全班同学要合力栽种52棵树苗。为了让树苗排列得整齐规范，方便后期浇水养护，老师提出要求：每行种树的棵数必须相等，且行数和每行棵数都不能为1。这次植树活动有几种不同的种法？ 13．找出5个互不相同的大于1的自然数，使得其中两个数的积等于其余三个数的积，两个数的和（不一定是刚才的两个数）等于其余三个数的和，请写出满足条件的式子。 14．今年植树节，王老师带五（2）班的同学去植树，一共植树111棵，已知五（2）班人数多于20且不超过40，王老师植树的棵数和平均每位同学植树的棵数一样。五（2）班有多少位同学？平均每位同学植树多少棵？ 15．把245个零件放在若干个盒子里。要使每盒的零件数相等，可以有几种装法？每种装法需要多少个盒子？每盒放多少个零件？ 题型四：找一个数的倍数和倍数的特征 16．一个数m的最小倍数与它的最大因数之和是( )。 17．如果甲数的最大因数是15，乙数的最小倍数是20，那么这两个数的最小公倍数是( )。 18．甲数的最大因数是6，乙数的最小倍数是5。这两个数的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 19．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是( )，最小倍数是( )，108的所有因数中，质数有( )。 20．《西游记》是我国古典四大名著之一，这本书讲述了唐僧师徒4人历经81难去西天取经的故事。 (1)写出30以内4的所有倍数：( )。 (2)写出81的所有因数：( )。 题型五：根据倍数的特征解决问题 21．用一张边长24分米的正方形纸片正好能裁剪成若干张长4分米、宽3分米的小长方形纸片，一共能够裁剪成多少张？ 22．下面哪几组数有公因数2？哪几组数有公因数3或5？ 6和27    10和35    24和42    30和40 23．剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 24．小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 25．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 题型六：因数和倍数的综合运用 26．一个数，既是16的因数，又是16的倍数，此数是( )，它的因数一共有( )个。 27．小朋友们玩“拍七”游戏：按照1，2，3，4…的顺序轮流报数，遇到7的倍数只拍手不报数。当报到60时，小朋友们一共拍了( )次手。 28．学校组队参加区广播操比赛，要求人数在50人以上，60人以下，男、女生比例为，男生人数是女生人数的( )%，这支参赛队有女生( )人。 29．一个旅行团去参观水立方，这个旅行团的人数既是40的因数，又是5的倍数。这个旅行团一共有( )人。    30．你知道小美和奶奶今年各多少岁吗？ 小美( )岁，奶奶( )岁。 题型七：2、3、5的倍数的特征 31．天门市博物馆是一座地方综合性博物馆，馆藏文物见证了五千余年的人类文明。某日，博物馆的参观人数总计为8□9□人次，且这个数同时是2、3、4的倍数。此时，这个数个位上的数字可能有( )种情况；当这个数取到最大值时，可达到( )人次。 32．一个四位数3□5□，既是2的倍数，又是3的倍数，同时还是5的倍数。这个四位数最小是( )，最大是( )。 33．一个质数是两位数，两个数位上的数字之和是10，差是8，这个质数是( )；是2的倍数，能被3整除，又有因数5的最大三位数是( )。 34．南漳县是“和氏璧”的故乡。传说卞和得璞玉于荆山。一块仿制和氏璧的模型，其质量既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，而且是三位数，最小是( )g。 35．48□既是2的倍数又是3的倍数，□里最大可以填( )；40□既是5的倍数又是3的倍数，□可以填( )；4□0同时是2、3、5的倍数，□里最小可以填( )。 题型八：奇数与偶数的认识 36．在1﹣10中，质数有( )，合数有( )；其中既是偶数又是质数的是( )，既是奇数又是合数的是( )。 37．20以内既是奇数又是合数的数有( )和( )。 38．哥德巴赫是德国数学家，在200多年前提出了一个猜想：每个大于4的偶数是两个奇质数的和。请写出一个符合该猜想的算式( )。 39．工坊的三个酿醋车间，每日的原料消耗量对应三个连续奇数，和是63，这三个奇数分别是( )、( )、( )。 40．清徐老陈醋工坊6个不同岗位的当班人数分别为：1，4，7，12，19，23。这6个数中，质数有( )，合数有( )，奇数有( )，偶数有( )，既不是质数也不是合数的有( )。 题型九：质数与合数的认识 41．在3、4、5、7、8、9、10中，( )是合数，( )是质数，( )是奇数，( )是偶数。 42．将1－7的数字卡片（无重复）打乱次序反扣在桌面上，从中任意摸一张。摸出奇数和偶数的可能性相比，摸出( )的可能性大；摸出质数和合数的可能性相比，摸出( )的可能性大。 43．最小的奇数与最小的合数的和是( )；在大于0的数中，( )既不是质数，也不是合数。 44．一个数，亿位上是7，千万位上是4，万位上是最小的奇数，百位上是最小的质数，其余各位都是0，这个数写作( )，读作( )，把它改写成用万作单位的数是( )万，省略亿位后面的尾数约是( )亿。 45．2025年10月31日23时44分，随着“神舟二十一号”载人飞船成功发射，我国共有16次“神舟”载人飞行任务，共28名航天员相继执行飞天任务，其中刘洋、王亚平和王浩泽是仅有的3名女航天员。在上述材料出现的自然数中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )。 题型十：质数与合数的综合应用 46．一个长方形的周长是14厘米，它的长和宽的长度是两个质数，这个长方形的面积可能是多少？ 47．如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 48．数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 49．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 50．果园里有几行果树，每行棵树相等。下面是三个小朋友数出的总棵数，其中只有一个小朋友数对了，你知道这个小朋友是谁吗？为什么？ 题型十一：质因数的含义 51．36的素因数有( )。 52．60的因数有( )，60的质因数有( )。 53．42＝6×7，6( )42的质因数，7( )42的质因数。（填“是”或“不是”） 54．下面的□和△都是质数，并且口＞△，请你算一算它们分别是多少。 □＋△＝18，□×△＝65，□＝( )，△＝( )。 55．在42＝6×7中，________和________都是________的因数，________是________的质因数。 题型十二：分解质因数 56．用短除法将下面各数分解质因数。 34       60        84 57．用短除法分解质因数。 42     39     32     90 58．把下列各数写成质数相乘的形式。 42                          16 59．分解质因数。 36    68    48 60．把下面各数分解质因数。 98＝       54＝       78＝ 66＝       102＝      45＝ 题型十三：公因数与最大公因数 61．用短除法求下面每组数的最大公因数。 80和24        21和48 62．用短除法求下列每组数的最大公因数。 15和25        9和15 63．一个房间的地面长56分米，宽48分米。如果用正方形的地砖铺设（地砖刚好铺满且不切割），可以选用边长最大是( )分米的地砖。 64．五年级二班所在的教室面积是50平方米，将50分解质因数是( )；50和25的最大公因数是( )。 65．在16、32、27、40这四个数中，32和______的最大公因数是1。 题型十四：用最大公因数解决实际问题 66．学校准备60支铅笔和48本练习本，平均分给若干名获奖学生，要求每人分到的铅笔、练习本数量分别相同，且刚好分完，最多可以分给多少名学生？ 67．有两根彩带，长度分别是42厘米和63厘米。现将两根彩带剪成同样长的小段，无剩余，每段最长是多少厘米？ 68． “三月三”非遗工坊有一块长32分米、宽28分米的长方形壮锦布料。如果将它裁成若干块大小相等、边长为整分米数的正方形方巾，且布料没有剩余。裁出的正方形方巾边长最长是多少分米？一共可以剪出多少块这样的方巾？ 69．非遗剪纸社团准备用一张长75厘米、宽60厘米的大红色宣纸，剪成若干块大小完全相同，且尽可能大的正方形纸片，用来制作“生肖窗花”，要求不能有剩余。剪成的正方形边长最大是多少厘米？可以剪成多少块这样的正方形？ 70．丝绸是我国的特产，也是中华文明的重要象征。一块长方形丝绸长60分米，宽42分米，如果把它剪成若干个同样的正方形，并且没有剩余，那么正方形的边长最大是多少分米？此时一共剪成多少个正方形？ 题型十五：公倍数与最小公倍数 71．求出下面每组数的最小公倍数。 16和24        20和18        15和25        6和12 72．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 35和105        76和24            16和88 73．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 16和28    36和72    25和125    15和105 74．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和18        25和15        13和26 75．用短除法求每组数的最大公因数和最小公倍数。 15和25        24和18        36和60 题型十六：用最小公倍数解决实际问题 76．古人整理竹简，若每3根捆一捆没有剩余，每5根捆一捆没有剩余，每7根捆一捆也没有剩余。这些竹简至少有多少根？ 77．为感受家乡历史文化，领略古城人文风情，学校组织学生参观淮北隋唐运河古镇。五（1）班分组活动，每6人一组或每8人一组都正好分完，已知班级人数在40～50人之间，这个班一共有多少人？ 78．为建设美丽乡村生态廊道，工人要在一条总长120米的沿江道路一侧种树，道路两头都要栽树。原本计划每隔4米栽一棵，后来改成每隔6米栽一棵。原来画好标记的树坑里，有多少个不用重新挖坑？ 79．学校举行“经典诵读”比赛，五年级2班参赛人数在30～40人之间，如果每行站9人或每行站6人，都正好站完。五年级2班参赛的学生共有多少人？ 80．李老师将全班同学分成若干个劳动小组，6人一组或7人一组都能正好分完，已知班级总人数在40—50人之间，这个班有多少人？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $