26 专题8 二次函数与几何图形综合-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）吉林专版

同步练测·九年级数学（上册） 专题8 二次函数与几何图形综合 [答案P17] 类型⑧线段、周长问题 类型⑧面积问题 1如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A, 3新考向（宁夏中考）如图，抛物线y=ax2-2x+ B两点，过点A的直线1与抛物线交于点C,其中 3与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B,顶点 点A的坐标是(1,0)，点C的坐标是(4,3) C的横坐标为-1. (1)求抛物线的函数解析式； (1)求抛物线的函数解析式； (2)求直线AC的函数解析式： (2)如图①，将直线AB沿y轴向上平移m(m> (3)在抛物线的对称轴上是否存在点D,使 0)个单位长度，当它与抛物线有交点时，求 △BCD的周长最小？若存在，求出点D的 m的取值范围； 坐标；若不存在，请说明理由 (3)如图②，抛物线的对称轴交直线AB于点D, 交x轴于点E,连接AC.抛物线上是否存在 点P(不与点C重合)，使得SAPD=SAcD·若 存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在， 请说明理由。 1题图 日在平面直角坐标系中，抛物线y=-之+6x+￠ 3题图① 3题图② 交x轴于A(4,0),B两点，交y轴于点C(0,4) (1)求抛物线函数解析式中b,c的值； (2)P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点 P作PE∥y轴交AC于点E,作PF∥AC交 轴于点P,求PE+空PF的最大值及比时 点P的坐标. 0 2题图 58 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第二十六章二次函数 口（我汉中考）抛物线=-3与直线=x交 类型③特殊三角形、四边形问题 于A,B两点（点A在点B的左边） ⑤（无锡中考）已知二次函数y=- 女++ 3m (1)求A,B两点的坐标； (m≠0)图象的顶点为A,与y轴交于点B,对称 (2)如图①，若P是直线AB下方抛物线上的点， 轴与x轴交于点C. 过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,过 点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满 (1)若该函数图象经过点(0，√3)，求点A的横 足PM=PN,求点P的横坐标； 坐标； (3)如图②，经过原点O的直线CD交抛物线于 (2)若m<3,点P(2,y1)和Q(4,y2)在该函数图 C,D两点（点C在第二象限），连接AC,BD 象上，证明：y1>y2; (3)若△ABC是等腰三角形，求m的值. 分别交x轴于E,P两点若Sm=子5am, 求直线CD的函数解析式. 4题图① 4题图② 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 59 ①同步练测·九年级数学（上册） 6如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+ 7(东营中考)如图，抛物线y=-x2+bx+c交 bx-4与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，与 x轴于A,B两点，交y轴于点C,其中A(-1, y轴交于点C. 0),C(0,5). (1)求这条抛物线的函数解析式； (1)求抛物线的函数解析式； (2)在x轴上是否存在点E,使得以E,B,C为顶 (2)P为对称轴上一点，当△ACP的周长最小 点的三角形为直角三角形？若存在，请求出 时，求点P的坐标； 点E的坐标；若不存在，请说明理由. (3)M为对称轴上一点，V为抛物线上一点，若 以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边 形，请直接写出点N的坐标. y 6题图 B x 7题图 60 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩.m的最小值为200. 答：至少需要购进B款纪念品200个. (3)由题意，得W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a2+200a =-5(a-70)2+4500. -5<0,60≤a≤100， ∴.当a-70=0,即a=70时，W最大，最大值为4500. 5.解：(1)y=-10x+530 (2)①8020 ②由题意，得0=(x-20)·y=(x-20)(-10x+530) =-10x2+730x-10600=-10(x-36.5)2+2722.5. -10<0,.当x=36.5时，w有最大值，为2722.5， ∴.当销售单价x定为36.5元/个时，月销售利润最大 (3)2 课时3实物抛物线 【基础巩固练】 1.B 2.解：(1)B0=4m, .抛物线L1的顶点B坐标为(0,4)， 设抛物线L1的函数解析式为y=a(x-0)2+4. .AC=16m, 结合二次函数的对称性，得A(-8,0),C(8,0), 将C(8,0)代人y=a(x-0)2+4, 得0=64a+4,则a=6 抛物线乙的函数解折式为=一62+4 (2)由(1)得抛物线山的函数解析式y=一62+4 MN∥AC,MP1AC,N0LAC,Q=多m,且抛物线的 函数解析式为了=。：-4户， 0=w-0=62+4-[-6-4]=号 整理，得x2-12x+36=0,解得x1=x2=6, .MW=2×6=12(m). 3.8 4.解：(1)当a=76=2时，G1:y=-22+7+c 点F的坐标为(2,0)， 0=-号×2+2×2+cc=1, 抛物线C,的函数解析式为y=一2+宁+1， (2)不能.理由如下： FG=4,点F的坐标为(2,0)，∴.G(6,0), G2y=-(x-2)(x-6)=2+-号 参考答案及解析 点A的坐标为(4.5,0)，AB=1,∴B(5.5,0), 将x=5.5代入y=写+号-号=易<05， ∴，此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物。 【能力提升练】 1.解：建立平面直角坐标系，如答图所示： y 1.7km 主塔 入 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km 0.0015km 0 0.09km 海平面 ----- 1题答图 则揽物线顶点坐标为0，Q015),4(受.Q27-0.09) 即A(0.85,0.18) 设该抛物线的函数解析式为y=ax2+0.0015, 将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.0015, 得0.18=0.852a+0.0015,解得a=85, 21 该抛物线的函数解析式为y-黏2+0.015。 2.解：(1)顶点N的坐标为(80,60). 设抛物线的函数解析式为y=a(x-80)2+60, 图象过原点， ÷a(0-80)2+60=0,解得a=-320: 3 抛物线的函数解析式为y=-320(x-80)2+60 (2)抛物线的形状不变，点P(0,75), 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75 个单位长度得到的， 新的抛物线的函数解析式为y=一30(x-80)2+60+75 三-320x-80)2+135, 3 当y=0时，-320(x-80)2+135=0, 解得x1=200,x2=-40(舍去)， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm (3)该平台的高度为6cm. 专题8二次函数与几何图形综合 1.解：(1)：y=ax2+bx+3经过点A(1,0),C(4,3), 「a+b+3=0, 解得a=1, L16a+4b+3=3, b=-4. ·抛物线的函数解析式为y=x2-4x+3。 (2)设直线AC的函数解析式为y=kx+h(k≠0)， 将A,C两点的坐标代人，得+-0，解得1， 14k+h=3, 1h=-1, .直线AC的函数解析式为y=x-1. ·17. 同步练测·九年级数学（上册） (3)存在.：y=x2-4x+3=(x-1)(x-3), ∴.B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=2. BC的长度不变， ∴.当BD+DC最小时，△BCD的周长最小 点A,B关于抛物线的对称轴对称， ∴.当点D为对称轴与AC的交点时，BD+DC最小，即 △BCD的周长最小. 在y=x-1中，当x=2时，y=1, .D(2,1), .当点D的坐标为(2,1)时，△BCD的周长最小 2解：(1)将A(4,0),C(0,4)代人y=-之2+bc+c, 得-8+46+c=0, lc=4, 得厂6=1， c=4 (2)延长PE交x轴于点H. A(4,0),C(0,4), ∴.直线AC的函数解析式为y=-x+4,OC=0A. PE∥y轴，∴.PE⊥x轴 ,0C=0A,∠A0C=90°，∴.∠0AC=45° .PF∥AC,.∠OFP=45, Pm=经rRPE+号Pp=PE+Pm 由(1)可知，抛物线的函数解析式为y=-之2+x+4 设P(,-2+p+40<p<4), 则E(P,-p+4),H(P,0), PE=-22+p+4-(-p+4)=-22+2p, pm=-2r+p+4, PE+pF=P阻+P阻=-2+2p-2p+p+4=-p+ p+4=-(-2+空 PE+受P的最大值为草，此时点P的坐标为 (3) 3.解：(1)：抛物线顶点的横坐标为-1， :由顶点公式=一名得-品 2=-1 ∴.a=-1, ∴.抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3. (2)当y=0时，-x2-2x+3=0,即x2+2x-3=0, 解得x=-3或x=1(正半轴，不合题意，舍去)， 故A(-3,0), 当x=0时，y=3, 故B(0,3), 设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， 将点A(-3,0)与点B(0,3)代人，得b=3,k=1, ·18· ∴直线AB的函数解析式为y=x+3 向上平移m个单位长度后，直线AB的函数解析式为y=x+ 3+m, 与抛物线y=-x2-2x+3联立，得-x2-2x+3=x+3+m, 整理，得x2+3x+m=0. 抛物线与直线有交点时，4=32-4×1×m=9-4m≥0， 9 解得m≤4 又：m>0,m的取值范圈为0<m≤号 (3)存在，点P的横坐标为-2或3+页或-3，五 2 2 4解：(1)当x=2-3时，解得x=-2或=6 ∴.A(-2,-2),B(6,6). (2)设P,4P-3）则M(-,P-3）(,, Pw=12,PW=i-+3. -PN.3. -2<t<6,t=2或t=6-43, .点P的横坐标为2或6-45. (3)设c(c,4e2-3),d,4-3 “直线CD的函数解析式为y=(子c+子-4d-3. CD经过原点， ÷-4d-3=0,解得cd=-12. 1 同理直线4C的函数解析式为y=(分-号+宁-3。 直线D的函数解折式为y=(+2}--3, ad=-12r(-20）0r=0E a=子s台=-4,d=3, .C(-4,1), :直线CD的函数解析式为y=-子 5(1)解：二次函数y=++有。 3m图象经过点(0， 同)…m=,解得m=3, y+3x+ 3 2a= =3 2x(】 .点A的横坐标为3. 12+ (2)证明：点P(2,y)和Q(4,2)在二次函数y=- +3m图象上， 小1=-2+2m+ 3m,h=-8+4m+尽m 3m. .m<3, 为-2+2a+m-(-8+n+语) 3m=-2(m 3)>0, .y1>y2: （9)解：在了=-宁2+m+中，令0，得y=月， y之++m=(-mj2+受+5 √3 2+3m, 受+c(m,o 当=c时2+(+-(受+ 23 解得m=0(舍去)或m= 39 当=c时+（㎡+（ 解得m=0(含去)或m2或m=-2 3； 当c=c时，（受+n=2+(m, 解得m=0(舍去)或m=-25或m=25 3 综上所述，m的值为号或-29或-26 6.解：(1)设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-4)= a(x2-3x-4). C(0,-4),∴.-4a=-4,解得a=1, ∴.抛物线的函数解析式为y=x2-3x-4. (2)存在.由抛物线的函数解析式可知C(0,-4).设E(x,0), 则BC2=32,BE2=(x-4)2,CE2=x2+16. 由题意可知∠CBE≠90°. 当∠BEC=90时，32=(x-4)2+x2+16, 解得x=0或x=4(不合题意，舍去)， E(0,0); 当∠ECB=90°时，(x-4)2=x2+16+32, 解得x=-4, ∴.E(-4,0) 综上所述，点E的坐标为(0,0)或(-4,0). 7.解：(1)抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),C(0,5), 0=-1-b+c解得{ rb=4, l5=c, c=5, ∴.抛物线的函数解析式为y=-x2+4x+5. 参考答案及解析 (2):抛物线的函数解析式为y=-x2+4x+5=-(x- 2)2+9, .抛物线的对称轴为直线x=2,点B的坐标为(5,0) 如答图所示，点A,B关于直线x=2对称，连接BC交对称轴 于点P,点P即为所求 7题答图 设直线BC的函数解析式为y=mx+n(m≠0)， 、则05m+解得厂m二二” n=5, .直线BC的函数解析式为y=-x+5, 当x=2时，y=3,.点P的坐标为(2,3) (3)点N的坐标为(-3，-16)，(3,8)或(1,8). 数学活动（三）删个积最大 解：(1)D (2)y=(20+x)[20+(10-x)]=(20+x)(30-x)=-(x+ 20)(x-30)=-(x-5)2+625. -1<0,.当x=5时，y取最大值625， 此时20+x=25,20+(10-x)=25 ∴.积最大的是25×25. (3)积最大的是850×850.理由如下： 设两个乘数的积为y,其中一个乘数的十位上的数与个位上的 数组成的数为x,则另一个乘数的十位上的数与个位上的数组 成的数为(100-x), ,∴.y=(800+x)(800+100-x)=-x2+100x+720000=-(x -50)2+722500. :-1<0,.当x=50时，y取最大值722500， 此时800+x=850,800+100-x=850, .积最大的是850×850. 数学活动（四）刹车距离与刹车时车速的关系 解：任务1：画出函数图象如答图①， y/m 45 0 25 2 5 10 5 05101520253035x/(m/s) 答图① ·19.