26.4 实际问题与二次函数 同步练习 2026—2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，分★☆☆、★★☆、★★★三层设计，从函数关系式建立到综合应用，梯度清晰，适配新授课基础巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|二次函数实际问题中的函数关系式建立|选择题为主，聚焦单一知识点，如矩形面积、利润模型| |★★☆|函数关系式、取值范围及最值计算|填空题，强化运算能力，如拱桥抛物线表达式、利润最值| |★★★|综合应用、多条件限制下的问题解决|解答题，体现模型意识与推理能力，如含通道的面积优化、利润范围讨论|

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 难度：★☆☆ 1. 用一根长为 20 m 的篱笆靠墙围成一个矩形鸡舍，墙长 12 m。设矩形靠墙的边长为 x m，面积为 y m²，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） A. y = B. y = x(20 - 2x) C. y = D. y = 2x(10 - x) 2. 某电商平台销售一款电子产品，每台定价 300 元时，每周可卖出 150 台。每降价 10 元，每周可多卖 20 台。每台成本 180 元。设每台降价 x 元，利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为（ ） A. y = (120 - x)(150 + 2x) B. y = (120 + x)(150 - 2x) C. y = (180 - x)(150 + 2x) D. y = (300 - x)(150 + 2x) 3. 小球从地面竖直向上抛出，高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）满足 h = -5t² + 20t，则小球能达到的最大高度是（ ） A. 20 m B. 10 m C. 5 m D. 2 m 4. 某工厂接到一批订单，需用一张边长为 1 m 的正方形纸板，在四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体容器。设剪去的小正方形边长为 x m，容器体积为 V m³，则 V 与 x 的函数关系式为（ ） A. V = x²(1 - 2x) B. V = x(1 - 2x)² C. V = 4x(1 - x)² D. V = x(2 - x)² 5. 抛物线形拱桥，跨度为 20 m，拱高为 4 m。设桥面所在直线为 x 轴，对称轴为 y 轴，则拱桥抛物线的函数表达式为（ ） A. y = -x² + 4 B. y = - x² + 4 C. y = -4x² + 4 D. y = - x² + 4 6. 某矩形花坛三面靠墙（墙可利用长度 30 m），第四面用栅栏围成，栅栏总长 20 m。设花坛与墙平行的边长为 x m，面积为 S m²，则 S 与 x 的函数关系式为（ ） A. S = x(20 - x) B. S = C. S = (20 - x)x D. S = 2x(10 - x) 7. 某商店销售一种成本为 40 元/件的商品，售价 80 元/件时每天卖出 120 件。售价每降低 2 元，销量每天增加 20 件。设降价 x 元，则每天利润 y 与 x 的关系式为（ ） A. y = (40 - x)(120 + 20x) B. y = (80 - 40 + 2x)(120 - 20x) C. y = (80 - 40 - x)(120 + 10x) D. y = (80 - 40)(120 + 20x) 8. 将一根长 30 cm 的铁丝剪成两段，一段弯成正方形，另一段弯成等边三角形。设弯成正方形的这段长 x cm，则正方形与等边三角形面积之和 y cm² 与 x 的关系式为（ ） A. y = ()² + ()·( )² B. y = ()² + C. y = + D. y = + 9. 某商场销售一种电子产品，每日的销售利润 y（元）与销售价格 x（元/件）满足 y = -2x² + 400x - 18000。当销售价格为多少元/件时，每日利润最大（ ） A. 80 元 B. 100 元 C. 150 元 D. 200 元 10. 用一根长 24 m 的篱笆围成一面靠墙的矩形鸡舍，设与墙平行的边长为 x m，则鸡舍面积 y 与 x 的函数关系式为（ ） A. y = x(24 - 2x) B. y = x(24 - x) C. y = D. y = (12 - x)x 11. 某农场要围建一个矩形仓库，仓库三面靠墙（墙可利用长度为 40 m），第四面用铁栅栏围成，铁栅栏总长 30 m。设与墙平行的边长为 x m，则仓库面积 y 与 x 的函数关系式为（ ） A. y = x(30 - 2x) B. y = C. y = x(40 - x) D. y = x(30 - x) 12. 小明将一个小球从地面竖直向上抛出，t 秒后的高度为 h = -5t² + 20t（m）。小球落回地面的时间是（ ） A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s 难度：★★☆ 13. 用一根长为 20 m 的篱笆靠墙围成一个矩形鸡舍，墙长 12 m。设靠墙边长为 x m，鸡舍面积为 y m²，则 y 与 x 的函数关系式为______，x 的取值范围为______。 14. 某电商平台每台定价 300 元时每周可卖出 150 台，每降价 10 元每周可多卖 20 台，每台成本 180 元。设每台降价 x 元，则每周利润 y 与 x 的函数关系式为______；当 x =______时，利润最大，最大利润为______元。 15. 小球从地面竖直向上抛出，高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）满足 h = -5t² + 20t（0 ≤ t ≤ 4）。小球能达到的最大高度为______m；小球在 t =______s 时达到最高点。 16. 用总长为 40 m 的栅栏围成一个矩形场地，设矩形一边长为xm，面积为Sm2。 则S与x的函数关系式为 。当x=____ 时，面积最大，最大面积为____ m2 17. 抛物线形拱桥，跨度 20 m，拱高 4 m，桥面为 x 轴，对称轴为 y 轴。拱桥抛物线的函数表达式为______；在距离桥面 1 m 高度处，拱桥的宽度为______m。 18. 某通信公司推出一款流量套餐，套餐定价 40 元时，每月售出 1000 份；每降价 2 元，每月多售出 100 份。设套餐降价x元，每月总营收为y元。 则y与x的函数关系式为________；当x= ____元时，每月总营收最大，最大营收为____元。 19. 某商店销售成本为 40 元/件的商品，售价 80 元/件时每天卖出 120 件，售价每降低 2 元销量每天增加 20 件。设降价 x 元，每天利润为 y 元，则 y 与 x 的函数关系式为______；当 x =______时利润最大，最大利润为______元。 20. 某矩形花坛三面靠墙（墙可利用长度 30 m），第四面用栅栏围成，栅栏总长 20 m。设花坛与墙平行的边长为 x m，则花坛面积 S 与 x 的函数关系式为______；当 x =______m 时，花坛面积最大，最大面积为______m²。 难度：★★★ 21. 某商场销售一种电子产品，每日的销售利润 y（元）与销售价格 x（元/件）满足关系 y = -2x² + 400x - 18000（50 ≤ x ≤ 180）。已知当销售价格为 300 元/件时，每日销量为 150 件。 (1) 求该电子产品的单件成本价（取销量最多时的单件成本）； (2) 销售价格定为多少元/件时，每日的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3) 若要保证每日利润不低于 2500 元，求 x 的取值范围。 22. 某工厂要围建一个长方形仓库，仓库三面靠墙（墙可利用长度为 40 m），第四面用铁栅栏围成，铁栅栏总长为 30 m。设仓库长（与墙平行）为 x m，宽为 y m，占地面积为 S m²。 (1) 求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定 x 的取值范围； (2) 求 S 与 x 之间的函数关系式；当 x 为多少时，S 最大？最大面积是多少？ (3) 若要求仓库占地面积不小于 200 m²，同时不超过 350 m²，求 x 的取值范围； (4) 在满足 (3) 的条件下，若在仓库内靠墙一侧留出 2 m 宽的通道，则实际可用面积最大为多少平方米？ 23. 某广场拟建一个矩形花坛，花坛三面靠墙（墙可利用长度为 30 m），第四面用栅栏围成，栅栏长度为 20 m。设花坛与墙平行的边长为 x m，垂直的边长为 y m。 (1) 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并求 x 的取值范围； (2) 求花坛面积 S 与 x 之间的函数关系式；当 x 为多少时，S 最大？最大面积是多少？ (3) 若花坛面积不小于 150 m²，求 x 的取值范围。 24. 阅读材料： 二次函数 y = ax² + bx + c（a < 0）的图像是一条开口向下的抛物线，其顶点为函数的最大值点。 在实际生活中，可以利用这一性质求某个量的最大值或最小值，或根据不等式条件确定自变量的取值范围。 请根据以上材料，解答下列问题： 某农场计划利用一面长 20 m 的墙，围成一个长方形鸡舍，三面用竹篱笆围成，篱笆总长为 30 m。设与墙垂直的两边中较短边的长为 x m，鸡舍面积为 S m²。 (1) 求 S 与 x 之间的函数关系式，并确定 x 的取值范围； (2) 当 x 为多少时，S 最大？最大面积是多少？ (3) 若要求鸡舍面积不低于 100 m²，求 x 的取值范围； (4) 若篱笆总长不变，墙的使用长度可自由选择（不超过 20 m），求墙的最优使用长度。 25. 某商场开业，搭建了一个拱形门，其形状为抛物线。已知拱门的底部宽度为6米(即OA=6米)，最高点B距地面4.5米.如图所示，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的表达式。 (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，若彩带CE、DF的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 26. 某学生宿舍楼前要修建一个矩形花坛，花坛三面用栏杆围成（栏杆总长为 24 m），第四面靠宿舍楼墙壁。设花坛的宽（垂直于墙壁方向）为 x m，长（平行于墙壁方向）为 y m，花坛面积为 S m²。 (1) 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并求 x 的取值范围； (2) 求花坛面积 S 与 x 之间的函数关系式；当 x 为多少时，S 最大？ (3) 若花坛面积不小于 60 m²，求 x 的取值范围； (4) 在 (3) 的条件下，若在花坛内部沿长度方向种植一条宽 1 m 的小路（小路面积不计入花坛可种植面积），则实际可种植的最大面积为多少平方米？ 参考答案 1. A 2. A 3. A 4. B 5. B 6. C 7. A 8. A 9. B 10. C 11. B 12. D 13. y = -x² + 20x，0 < x ≤ 12 14. y = -2x² + 90x + 18000，x = 22.5，y_max = 23062.5 15. 最大高度 20 m，t = 2 s 16. S=-x2+20x；10；100 17. y = - x² + 4，宽度为 10 m（y = 1 时 x = 5，宽度 = 2×5= 10m） 18. y = -50x2+1000x+40000；10；45000 19. y = -10x² + 280x + 4800，x = 14，y_max = 6760 20. S = ，x = 10，S_max = 50 21. (1) 设销量 q = kx + b，代入 (300, 150)：300k + b = 150 利润 y = 定价 × 销量 - 总成本，对比 y = -2x² + 400x - 18000，得 k = -2，b = 400 所以 q = -2x + 400，C = 18000 取利润最大点 x = 100 时，q = 200 件，单件成本 = 18000 ÷ 200 = 90 元/件 (2) y = -2(x - 100)² + 20000，当 x = 100 元/件时，最大利润 2000 元/日 (3) y ≥ 2500 → -2(x - 100)² + 2000 ≥ 2500 → (x - 100)² ≤ -250 此不等式无解，故每日利润达不到 2500 元（最大利润仅 2000 元） 22. (1) 由 2y + x = 30，得 y = ，x 的取值范围：0 < x ≤ 30 (2) S = = - x² + 15x = - (x - 15)² + 112.5 当 x = 15 m 时，S 最大 = 112.5 m² (3) 由 200 ≤ S ≤ 350 S ≥ 200：- x² + 15x ≥ 200 → x² - 30x + 400 ≤ 0 → (x - 10)(x - 20) ≤ 0 → 10 ≤ x ≤ 20 S ≤ 350：- x² + 15x ≤ 350 → x² - 30x + 700 ≥ 0 → (x - 10)(x - 20) ≥ 0 → x ≤ 10 或 x ≥ 20 取交集：x = 10 或 x = 20 m (4) 留 2 m 通道后：S' = = - (x - 16)² + 98 在 10≤x ≤ 20 范围内，x = 16 m 时 S' 最大 = 98 m² 23. (1) 由 2y + x = 20，得 y = ，x 的取值范围：0 < x ≤ 20 (2) S = = - x² + 10x = - (x - 10)² + 50 当 x = 10 m 时，S 最大 = 50 m² (3) 由 - x² + 10x ≥ 150 → x² - 20x + 300 ≤ 0 Δ = 400 - 1200 = -800 < 0，故面积不可能达到 150 m²（最大仅 50 m²） 24. (1) S = x(30 - 2x)，x 的取值范围：0 < x ≤ 10（墙长 20 m 限制，且 30 - 2x ≥ 0） (2) S = -2x² + 30x = -2(x - 7.5)² + 112.5，当 x = 7.5 m 时，S 最大 = 112.5 m² (3) 由 -2x² + 30x ≥ 100 → x² - 15x + 50 ≤ 0 → (x - 5)(x - 10) ≤ 0 → 5 ≤ x ≤ 10 (4) 设墙使用长度为 L（≤ 20 m），则 S = = - L² + 15L 当 L = 15 m 时 S 最大 = 112.5 m²，故最优使用长度为 15 m 25. (1)由题意得:A(-6,0)，B(-3,4.5)， 设y=a(x+3)2+4.5, 代入4(-6,0)，得9a+4.5=0， .a=-，y=-(x+3)2+4.5 (2)解:当y=2时，-(x+3)2+4.5=2， 解得x=-3+，x2=-3-，EF=-3+-(-3-)=2 26. (1) y = 24 - 2x，x 的取值范围：0 < x < 12 (2) S = x(24 - 2x) = -2x² + 24x = -2(x - 6)² + 72，当 x = 6 m 时，S 最大 = 72 m² (3) 由 -2x² + 24x ≥ 60 → x² - 12x + 30 ≤ 0，Δ = 144 - 120 = 24 x = = 6 ± ，即 6 - ≤ x ≤ 6 + ，约 3.55 m ≤ x ≤ 8.45 m (4) 留 1 m 小路后，实际可种植面积为 S' = (x - 1)(24 - 2x) = -2x² + 26x - 24 = -2(x - 6.5)² + 60.5，在 6 - ≤ x ≤ 6 + 范围内， x = 6.5 m 时，S' 最大 = 60.5 m² 学科网（北京）股份有限公司 $