专题08 平面向量（5年汇编）（全国通用）2022-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 平面向量高考真题汇编，整合2022-2026年全国及地方卷试题，按线性运算、数量积、最值三大考点分类，含考情分析与真题，适配高考复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约39题|平面向量线性运算、数量积应用、最值问题|真题来源明确（如2026全国卷、北京卷），结合实际情境（帆船风速问题），注重综合应用（与几何、函数结合）|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08平面向量 5年考情·探规律 考点分类 五年考情(2022-2026) 命题规律 2026全国一卷、2026北京卷、 考查平面向量的基本概念、线性运 2026上海卷 算，掌握平面向量的正交分解及其 考点01平面向量 2025年全国一卷、2025上海卷 的线性运算、平面 坐标表示；会用坐标表示平面向量 向量基本定理 2024上海卷 的加法、减法与数乘运算；理解用 2023上海卷 坐标表示的平面向量共线的条件 2022年新高考全国I卷 2026全国二卷、 考查平面向量数量积的运算、化 2025年全国二卷、2025天津卷 简、证明及数量积的应用问题，如 2024年新课标I卷、2024年新课 垂直、长度、夹角等是常考的内 考点2平面向量 的数量积运算及其 标Ⅱ卷、2024年全国甲卷、2024 容，向量也经常与解析几何、三角 应用（模长、夹 角、垂直、投影向 北京卷、 函数、平面几何等相结合考查，而 量等) 2023年新课标I卷、2023年新课 此时向量作为工具出现.向量的应 用是跨学科知识的一个交汇点，务 标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023 必引起重视 年全国乙卷、2023北京卷、2023 118 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上海卷、 2022年新高考全国IⅡ卷、2022年 全国甲卷、2022年全国乙卷、 2022上海卷 2026北京卷、2026天津卷、2026 上海卷、 考点03平面向量 2025北京卷、2025上海卷 考查数量积的最值问题等，常利用 中的最值问题 2024天津卷 不等式、函数性质解决 2023年全国乙卷、2023天津卷 2022北京卷 5年真题·精准练 考点01平面向量的线性运算、平面向量基本定理 1. (2026北京高考真题)已知向量a,万满足a-=2,a=(2,0),则的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026全国-卷高考真题)已知平面向量元，B不共线，且2 2a+yb=xa-3b ,则() A.x=2,y=-3B.x=-2,y=3C.x=2,y=3D.x=-2,y=-3 3.(2025:全国一卷高考真题)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在 航海学中称为视风风速视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船 行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的 218 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对应关系已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度 代表速度大小，单位：s),则该时刻的真风为() 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.63.3 3 微风 3.45.4 4 和风 5.57.9 5 劲风 8.0-10.7 3视风凤速严 船速 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 4. (2022新高考全国1卷高考真题)在△1BC中，点D在边AB上，BD=2D1.记 A=mCD=i,则 CB=() A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2元 D.2m+3n 5,(2026上海高考真题)已知a=(3),6=(4,60,若a∥万，则x=于 6.(2025上海高考真题)已知i=(2,1,6=,,若a/6,则x= 7.(2024上海高考真题)已知keRa=(2,5),6=(6),且6，则的值为 8. (2023上海高考真题)已知向量a=6,46=L,2),则-26- 考点02平面向量的数量积运算及其应用（模长、夹角、垂直、投影向量 3/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 等) 1.(2026全国二卷高考真题)已知向量a,6满是6+-1,6--5，则a6=() A. B.3 2.(2024新课标1卷高考真题)已知向量=0,6=亿，利，若516-4切，则=《) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.(2024北京高考真题)设a,万是向量，则(a+b川a-b)=0”是“a=-币或a=i”的(). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2024全国甲卷高考真题)设向量=(x+1x),6=(x,2),则《) A.。=-3,是a16,的必要条件B.“x=1+5。是a/历，的必要条科 Q.。=0,是a16,的充分条件D.。=-1+5,是a6,的充分条件 5.(2024新课标1卷高考真题)已知向量a,5清足同-=6+2=2，且6-20)16，侧则=←) √2 3 A.2 B.2 C.2 D.1 6(223北京高考真题)已知向量8万满足8+5=23)a-6=(2,则a-6P-() A.-2 B.-1 C.0 D.1 7.(2023全国乙卷高考真题)正方形1BC0的边长是2.B是4B的中点，则C:历-（) B.3 C.25 D.5 8,(2023全国甲卷高考真题)已知向量a=(6),6=(2,2),则cos(a+五a-)=() 418 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7 5 25 A.17 B.17 c.5 D.5 9. (2023·全国甲卷·高考真题) 已知向量a.6,c满足同--=l=2,且a+6+=0,则 cos(a-c,i-e=(） 4 A.-5 B.-5 4 D.5 10.(2023新课标1卷高考真题)已知向量a=(),6=0,-),若(a+)1(a+b),则() A.元+u=1 B.元+u=-1 C.u=1 D.=-1 1.(202新高考全国1川卷高考真题)已知向量a=6,4,6=,0.c=a+6,若a,c)=6,,则1= () A.-6 B.-5 C.5 D.6 12.(2022全国乙卷高考真题)已知向量a,6满足a山5V5,a-263,则a-6=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 13.(2022全国乙卷高考真题)已知向量a=(2.)5=(-2利，则6--（) A.2 B.3 C.4 D.5 M,(2025天来高考真超)AdBC中，D为5边中点，C正-写0a4C=5,则E:一6用 G,6表示)，若征非5，AE1CB,则正：cD= 15. (2025全国二卷高考真题)已知平面向量i=(x,),6=(c-1,2若a1(a-b),则la 16. (2023上海高考真题)已知a=(-23),6=(L2）,求a-6- 518 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17,(2023新课标川卷高考真题)已知向量a,5满足日-6=5，日+-pa-,测 18. (202上海高考真题)若aH6Hc=元 且满 ai=0,ac=2,6-c=l,则2 19.(2022全国甲卷高考真题)设向量a,5的夹角的余弦值为3，且日=1，=3，则(2ā+)6 20. (2022·全国甲卷·高考真题)已知向量 =m,3)6=m+D.若a16,则m 品 考点3平面向量中的最值问题 1,(2026北京高考真题)已知向量a,万满足点-可=2，a=(2,0,则的最大值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.(205北京高考真题在半省直角丝标系0中，oHo55,2设08，利，则 12C4+4BI 的取值范围是() A.[6,14] B.[6,12], c.[8,14] D.[8,12] 3.(2023全国乙卷高考真题)已知⊙0的半径为1，直线PA与⊙0相切于点A,直线PB与⊙0交于B, C河点，D为5C的点，若PO-,则P,D的是大定为() 1+√2 1+2W2 A.2 B.2 c.1+V2 D.2+V2 4.(2022北京高考真题)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且 PC=1PA·PB ,则 的取值范围是() 618 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A[5,3] B.[3,5] c[6,4 D.4,6 5. (2026天津高考真题)已知=a-6=1,>1,记=ā+6.当a+万-E=0时，2+a 当+5-=l时，+“的取值范围为 6.(2026上海高考真题)在△ABC中，D、E在边BC上，且BD=D正=EC,MD-l,D与花所成 的夹角为3，则ABAC的最大值为 B 1,x>0 7.(2025上海高考真题)己知)=0，x=0 -l,x<0'a、i、c 是平面内三个不同的单位向量.若 fa-D+f6-+fa=0,则a+i+ 的取值范围是。 8。(2025上海高考真题)在平面中，日和%是互相垂直的单位向量，向量ā满足日-4妈-2，向量6满 足5-6闷=1，求5在ā方向上的数量投影的最大值 9.(224天津高考真题》已知正方形1BCD的边长为1，DE=2C若正=B1+BC,其中2，为实 数，则2+4=一；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则AF·DG的最小值为一· 10.(2025天津高考真题)在a8C中，BC-l∠A=60,而-号服.正-CD,记丽=C-5, 2 用a,b表示AE= 一：若F-号8c,则花.正的最大值为 3 AA2… 11.(2022浙江·高考真题)设点P在单位圆的内接正八边形 4的边4上，则 718 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P4+PA+…+P 的取值范围是 818 专题08 平面向量 考点分类 五年考情（2022-2026） 命题规律 考点01 平面向量的线性运算、平面向量基本定理 2026全国一卷、2026北京卷、2026上海卷 2025年全国一卷、2025上海卷 2024上海卷 2023上海卷 2022年新高考全国Ⅰ卷 考查平面向量的基本概念、线性运算，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；理解用坐标表示的平面向量共线的条件 考点02 平面向量的数量积运算及其应用（模长、夹角、垂直、投影向量等） 2026全国二卷、 2025年全国二卷、2025天津卷 2024年新课标Ⅰ卷、2024年新课标Ⅱ卷、2024年全国甲卷、2024北京卷、 2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023北京卷、2023上海卷、 2022年新高考全国Ⅱ卷、2022年全国甲卷、2022年全国乙卷、2022上海卷 考查平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如垂直、长度、夹角等是常考的内容，向量也经常与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视 考点03 平面向量中的最值问题 2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷、 2025北京卷、2025上海卷 2024天津卷 2023年全国乙卷、2023天津卷 2022北京卷 考查数量积的最值问题等，常利用不等式、函数性质解决 考点01 平面向量的线性运算、平面向量基本定理 1．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解. 【详解】因为，且 ，则， 所以， 所以当反向时，取最大值为4. 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 3．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 5．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 6．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】/ 【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由得，解得. 故答案为：. 7．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 8．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 【答案】 【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为： 考点02 平面向量的数量积运算及其应用（模长、夹角、垂直、投影向量等） 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 6．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B.    8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 11．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 12．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 13．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 14．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 16．（2023·上海·高考真题）已知，，求 ________ 【答案】4 【分析】由平面向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】因为，， 则 故答案为：4 17．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则______． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 18．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则___________. 【答案】/ 【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出. 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 19．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 20．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则______________． 【答案】/ 【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由题意知：，解得. 故答案为：. 考点03 平面向量中的最值问题 1．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解. 【详解】因为，且 ，则， 所以， 所以当反向时，取最大值为4. 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 4．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 5．（2026·天津·高考真题）已知，，记．当时，__________，当时，的取值范围为__________． 【答案】 【分析】第一空：利用和得出和的值，即可得出结论； 第二空：解法一：将代入得，展开，令，，，代入并整理，得出，即可求出的取值范围. 解法二：设，，，根据可设，进而可得，即可得取值范围. 解法三：不妨设，，， ，，可知点在直线上，且点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可. 【详解】由题意， ，，， 第一空： 当时，， ∴， ∴. 第二空： 解法一：将代入得， 两边平方，得：， 展开：， 代入，，记， ， 令，，， 则原式变为：， 配方得：， 由于 ，，因此 ， 即 ，解得， ， 因此，的取值范围为：. 解法二：因为，， 不妨设，，，则，， 若，设， 则. 解法三：因为，， 不妨设，，，即点在直线上， 且，， 因为， 若，可知点在直线上，（或直接由三点共线的结论可得出）， 若，即，可知点在以为圆心，半径为1的圆上， 则圆在直线和之间，可得，即， 所以的取值范围为. 6．（2026·上海·高考真题）在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为____________. 【答案】 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 7．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点，采用一定一动的处理策略，从而求解最大值. 9．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值. 【详解】解法一：因为，即，则， 可得，所以； 由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为，则，所以； 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得， 则， 且，所以当时，取到最小值为； 故答案为：；. 10．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    11．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出． 【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则,，设,于是， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $