专题03 复数（专项训练）（上海专用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 聚焦复数本质理解与基础创新，以真题研析为核心，构建“概念-运算-应用”逻辑链条，培养直观想象与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考情概览|命题解读|重本质轻套路、重基础低难度、适度创新反固化|从复数概念、几何意义到四则运算，结合新定义考查迁移应用| |2026真题研析|1道新定义典例|拆解自定义规则，融合实数化条件与共轭性质|以“伴随”概念为载体，体现概念本质与逻辑推理| |3年真题精炼|4道真题|聚焦模计算、运算规律，强化基础题型解法|覆盖高频考点，形成“概念理解-运算应用”路径| |最新模拟探源|29道模拟题|结合几何意义与充要条件，拓展综合应用|从基础辨析到动态问题，构建知识应用梯度|

专题03 复数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 一是重本质、轻套路，摒弃机械刷题套路，不再单纯考查公式套用，侧重考查学生对复数概念、几何意义的本质理解，贴合上海考试院命题导向，将数学运算、直观想象核心素养融入解题过程。二是重基础、低难度，题目均源于教材变式，无复杂运算、无综合拔高，聚焦基础知识全覆盖。 三是适度创新、反固化，偶尔融入新定义题型，如2026年真题中出现复数互相伴随的新定义考查，打破固定解题模板，考查学生临场理解与迁移应用能力。 复数的模 2026春考第9题 2025秋考第10题 2025春考第3题 复数代数形式的四则运算 2024春考第3题 2024秋考第9题 复数的分类 2026秋考第15题 2026上海秋考数学复数试题为第15题新定义创新题，分值4分，延续上海高考“单题考查、基础为主、微创新赋能”的稳定命题模式。题目摒弃传统固化运算题型，以复数互相伴随全新自定义规则为载体，融合复数实数化条件、共轭复数性质、复数加减运算核心考点，是本年度填选板块最具代表性的素养导向基础创新题。 考向一 复数的分类 典例1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 考向二 复数的模 典例2．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 考向一 复数的模 1．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 2．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 考向二 复数代数形式的四则运算 3．（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 4．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（     ）． A．3 B． C． D． 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）设复数记，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 3．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．（2026·上海浦东新·三模）已知复数满足，且当复平面上以，，，对应的点为顶点的四边形面积最大时，与最接近的整数为（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 二、填空题 5．（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 6．（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______． 7．（2026·上海·三模）若复数满足（为虚数单位），则__________． 8．（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 9．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 10．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 11．（2026·上海金山·模拟预测）已知，则_________． 12．（2026·上海·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），则__________． 13．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 14．（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 15．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 16．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 17．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 18．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________ 19．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 20．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 21．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 22．（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 23．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 24．（2026·上海·模拟预测）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 25．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 26．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 27．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 三、解答题 28．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 29．（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 复数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 一是重本质、轻套路，摒弃机械刷题套路，不再单纯考查公式套用，侧重考查学生对复数概念、几何意义的本质理解，贴合上海考试院命题导向，将数学运算、直观想象核心素养融入解题过程。二是重基础、低难度，题目均源于教材变式，无复杂运算、无综合拔高，聚焦基础知识全覆盖。 三是适度创新、反固化，偶尔融入新定义题型，如2026年真题中出现复数互相伴随的新定义考查，打破固定解题模板，考查学生临场理解与迁移应用能力。 复数的模 2026春考第9题 2025秋考第10题 2025春考第3题 复数代数形式的四则运算 2024春考第3题 2024秋考第9题 复数的分类 2026秋考第15题 2026上海秋考数学复数试题为第15题新定义创新题，分值4分，延续上海高考“单题考查、基础为主、微创新赋能”的稳定命题模式。题目摒弃传统固化运算题型，以复数互相伴随全新自定义规则为载体，融合复数实数化条件、共轭复数性质、复数加减运算核心考点，是本年度填选板块最具代表性的素养导向基础创新题。 考向一 复数的分类 典例1．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 考向二 复数的模 典例2．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 考向一 复数的模 1．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【详解】， 故． 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 考向二 复数代数形式的四则运算 3．（2024·上海·高考真题）已知，则_______. 【答案】 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 4．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 一、单选题 1．（2026·上海黄浦·三模）已知是虚数单位，、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭复数，故，其虚部为. 2．（2026·上海杨浦·模拟预测）设复数记，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【详解】设，则， 设，则， ， ， 因为， 所以. 3．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（2026·上海浦东新·三模）已知复数满足，且当复平面上以，，，对应的点为顶点的四边形面积最大时，与最接近的整数为（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】B 【详解】设， 所以，， 同理，如图， 四边形（梯形）面积为 ， 所以当时，四边形面积取得最大值，即或，或， 所以，即与最接近的整数为37. 二、填空题 5．（2026·上海金山·二模）已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数__________． 【答案】 【详解】由复数为纯虚数， 则，解得. 6．（2026·上海·三模）已知复数（i为虚数单位），则______． 【答案】 【详解】由题意可得. 7．（2026·上海·三模）若复数满足（为虚数单位），则__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，. 8．（2026·上海·模拟预测）若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 9．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【详解】， 所以. 10．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【详解】复数z满足， 则+3i， 则， 则. 11．（2026·上海金山·模拟预测）已知，则_________． 【答案】 【详解】由题意，， ∴， ， ∴. 12．（2026·上海·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），则__________． 【答案】2 【详解】设，所以，则，解得：，或, 所以 13．（2026·上海·三模）已知复数满足，其中为虚数单位，则_____． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故. 14．（2026·上海·模拟预测）已知是虚数单位，计算：__________． 【答案】2 【详解】因为所以 因为所以原式的值为． 15．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 16．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则， 由可得， 则，故. 17．（2026·上海·三模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则______． 【答案】 【详解】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和，其中， 则. 所以. 18．（2026·上海·三模）已知，若，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由， 则， 所以时，取得最小值. 19．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 20．（2026·上海奉贤·二模）已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 21．（2026·上海杨浦·二模）设集合，，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】集合，由，即到与距离相等， 即的轨迹为与两点连线的垂直平分线， 设，所以，所以，化简得， 若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足； 若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：， 即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是. 22．（2026·上海·三模）已知是由复数组成的数列，（为虚数单位），且，则的值为____________. 【答案】 【详解】因为， 所以，即数列周期为， 已知，计算得，，以此类推，奇数项都为， 偶数项都为. . 因为，所以总和为， 所以. 23．（2026·上海虹口·三模）已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】16π 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心， 以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 24．（2026·上海·模拟预测）已知、，复数，，为虚数单位，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】，， 则，， 因为， 所以，即，， 由，根据基本不等式，当同号时，， 即或， 所以的取值范围为. 25．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________. 【答案】 【详解】设 则， 化简得：， ， 又 所以 所以 所以的最小值为. 26．（2026·上海静安·二模）若满足，且的复数z有两个，分别设为、，则______． 【答案】 【详解】设，，，， 因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径为5的圆， 可得； 且，则，可知点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 则，，，可得， 联立方程，解得， 且，则，可得，， 所以. 27．（2026·上海徐汇·二模）已知复数满足，记满足的复数组成的集合为.若且，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】，. 设，则，即，，. 已知，根据复数模的几何意义，表示复数所对应的点到复数所对应的点的距离，集合中的元素对应的点的轨迹是以为圆心，半径分别在范围内的圆环上的点. 题干要求对都满足，因此是两个圆环的交集： 两个圆环分别以为圆心，内半径，外半径， 建立如图所示的坐标系： 是非空闭区域，当都在处时，最小距离可取到， 中最远的两点距离是两个外圆的交点距离， 因为两个外圆半径都是，圆心距， 由勾股定理可得两交点距离为： 因此∣的取值范围是 三、解答题 28．（2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 29．（2026·上海·模拟预测）设函数，． (1)若，求函数的所有单调区间； (2)若方程有两个虚根和，且．求的值． 【详解】（1）当时，，则，定义域为. 求导得. 令得. 当时，，故；当时，. 因此在上单调递减，在上单调递增. （2）方程有两个虚根，故判别式， 整理得，解得或. 设两根为，则，. ，解得或. 因为或，所以排除，即. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $