3.5 圆内接四边形同步练习2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、中档综合、高阶应用三层设计，以圆内接四边形性质为核心，融合圆周角定理等知识，形成从单一到综合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆内接四边形性质、圆周角定理|选择1-5题直接应用对角互补，填空11题基础计算，强化概念理解| |中档|性质与全等/菱形结合|选择2题全等三角形性质综合，填空12题菱形与圆内接四边形性质融合，提升知识迁移| |综合|多知识点综合应用|解答题13题结合直径性质证明，综合题16题动态探究，培养逻辑推理与问题解决能力|

3.5 圆内接四边形 同步练习 一、选择题 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 2．如图，△ACD≌△ACB≌△AEB，将这三个三角形按照图中所示摆放在圆内，点A，E，B，D四点在圆上，若∠BCD＝112°，则∠BAD的度数是（　　） A．72° B．68° C．56° D．34° 3．如图， 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠ABC＝114°，则∠AOC的度数为（　　） A．134° B．132° C．76° D．66° 7． 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，AD是的外角平分线，与的外接圆交于点，连结BD交AC于点，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知中，，含角的三个顶点分在的三边上，且直角顶点D在斜边上，则的长为　 　． 10．如图，过原点，且分别与两坐标轴交于点A，B，点A的坐标为，M是第三象限内上一点，，则的半径为　 　． 11．如图，四边形为⊙O的内接四边形，已知，则度数为　 　． 12．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连结AC，AE．若∠D=78°，则∠EAC=　 　° 三、解答题 13．如图所示，四边形ABCD内接于为的直径，. （1）试判断的形状，并给出证明. （2）若，求CD的长度. 14．如图所示，AB是的直径，C，D是圆上的两点，且，若，求的度数. 四、综合题 15．如图， 的直径 为10，弦 为6， 是 的中点，弦 和 交于点 ，且 . （1）求证： ； （2）求 的长. 16．已知：是的外接圆，且，，D为上一动点. （1）如图1，若点D是的中点，等于多少？ （2）过点B作直线的垂线，垂足为点E. ①如图2，若点D在上，求证：. ②若点D在上，当它从点A向点C运动且满足时，求的最大值. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°， ∵AB 是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠BAC=70°， ∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC=180°-∠ABC=110°， 故答案为：B. 【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB 是⊙O的直径，可得 ∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解. 2．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：连接BD， 已知△ACD ≌△ACB ≌△AEB ， ∴∠ACD =∠ACB =∠AEB ，AB=AD， ∵ ∠BCD＝112°， ∴， 由圆内接四边形的性质可得∠ADB =180°-∠AEB=180°-124°=56°， ∵AB=AD ∴∠ADB =∠ABD=56°， 根据三角形内角和定理可得： ∠BAD =180°-2×56°=68°. 故答案为：B. 【分析】连接BD，根据全等三角形的性质可得，AB=AD，然后根据圆内接四边形的性质可得∠ADB =56°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和公式，即可求解. 3．【答案】D 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：∵ 是半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵ ， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴ ， ∴ ； 故答案为：D． 【分析】先求出∠A=40°，再求出 ，最后求解即可。 4．【答案】A 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：A. 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，合理运用定理找到角之间的关系是解题关键. 5．【答案】A 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：如图所示，在优弧AB上任取一点D，连接AD，BD ∵是正三角形 ， ∴， 又∵， ∴∠D=， 在四边形ACBD中，则∠C=180°-∠D=150°， 又∵， ∴∠ABC=180°-∠C-∠CAB=10°. 故选：A. 【分析】由等边推出AB所对圆周角30°，结合圆内接四边形推出∠D即可得出结果. 6．【答案】B 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝114°， ∴∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°， ∴∠AOC=2∠D=2×66°=132°， 故答案为：B. 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出∠D=180°-∠ABC=180°-114°=66°，再利用圆周角的性质可得∠AOC=2∠D=2×66°=132°. 7．【答案】B 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：B． 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，求出，然后利用圆周角定理得出的度数，再结合已知求出，然后根据圆周角定理可得答案． 8．【答案】B 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：AD是△ABC的外角平分线， ∴∠EAD=∠DAC， ∵∠EAD=∠DCB，∠DAC=∠DBC， ∴∠DBC=∠DCB， ∵BC=CF， ∴∠FBC=∠CFB， ∴∠CDB=∠BCF， ∵∠ADB=∠BCA， ∴∠ADB=∠CDB． 故A正确， 设∠DCB=α，∠CDB=β，则∠ADB=∠ACB=β，∠ABD=∠ACD=α-β， ∴2α+β=180°， ∴3∠ACB+∠ACD=3β+（α-β）=α+2β≠180°， 故B错误； 3∠BDC+2∠ABD=3β+2∠ACD=3β+2（α-β）=2α+β=180°， 故C正确； 3∠BAD+∠ABD=3（180°-α）+（α-β）=540°-（2α+β）=540°-180°=360°， 故D正确； 故答案为：B． 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角，且运用圆周角定理以及角度之间的等量转化可得出答案. 9．【答案】或 【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：如图，当∠EFD=30°时，连接BD， ∵∠B=∠EDF=90°， ∴点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上， ∴∠C=90°-30°=60°， ∵弧DF=弧DF， ∴∠DEF=∠DBF=60°， ∴∠BDA=180°-∠A-∠DBA=180°-30°-60°=90°， ∴∠CDB=90°， ∴CD=BC=； 当∠FED=30°时，连接BD， 同理可证点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上， ∵弧DF=弧DF， ∴∠EBD=∠DFE=60°， ∵∠C=60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴DC=BC=1. 故答案为：或 【分析】分情况讨论：当∠EFD=30°时，连接BD，利用∠B=∠EDF=90°，可得到点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，利用三角形的内角和定理求出∠C的度数，再利用圆周角定理可得到∠DEF=∠DBF=60°，利用三角形的内角和定理求出∠BDA=∠CDB=90°，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD的长；同理可证点D，E，B，F在以EF为直径的同一个圆上，利用圆周角定理可知∠EBD=∠DFE=60°，可得到△DBC是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出DC的长. 10．【答案】3 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；直角三角形的性质 【解析】【解答】解：∵点A的坐标为(0，3)， ∴OA＝3， ∵四边形ABMO是圆内接四边形， ∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°， ∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°， ∴AB＝2OA＝6， 则则⊙C的半径为3， 故答案为：3. 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，直角三角形的性质.先利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数，再根据圆周角定理可求出∠ABO的度数，利用直角三角形的性质可求出AB的长，进而求出答案. 11．【答案】110° 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∵四边形为⊙O的内接四边形， ∴ 故答案为：110°. 【分析】根据"同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍"求出∠BAD的度数，最后根据圆内接四边形的性质即可求解. 12．【答案】27 【知识点】菱形的性质；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°， ∴∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°， ∵四边形AECD是圆内接四边形， ∴∠AEB=∠D=78°， ∴∠EAC=∠AEB−∠ACE=27°， 故答案为：27 【分析】先根据菱形的性质得到∠ACB=∠DCB=（180°-∠D）=51°，进而根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，从而根据∠EAC=∠AEB−∠ACE即可求解。 13．【答案】（1）解：△ABC是等腰直角三角形，证明如下， 为的直径 是等腰直角三角形 （2）解：，， 为的直径 【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【分析】(1)由圆周角定理和圆心角定理可证得AB=BC，，进而得到是等腰直角三角形. (2)利用勾股定理求得AC的长度后，进而得到CD的长度. 14．【答案】解：∵AB是直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠DBA=30°， ∴∠DAB=90°-30°=60°， ∵∠DCB+∠DAB= 180°， ∴∠DCB= 120° ∴∠CDB+∠CBD=60°， ∵∠CDB=2∠CBD， ∴∠CDB= =40°，∠CBD=20°， ∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=90° +40°= 130°. 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【分析】由直径所对圆周角为直角可得∠ADB=90°，再利用圆内接四边形的性质求出∠DCB= 120°，再利用三角形内角和定理求出∠CDB=40°，进而可解. 15．【答案】（1）证明：∵∴ 又∵ ， ∴ ∴ （2）解：连接 ， ， ， ∵ 为 的直径 ∴ ， 在 中， ∵ 是弧 的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ，即 ∴ ∴ ， ∴ 在 延长线上截取 ，连 在圆内接四边形 中， 又∵∴ ∴ ∴ ∴ ∴在等腰 中， 【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【分析】（1）由等边对等角可得 ，由对顶角相等可得∠DFC=∠EFB，由同弧所对圆周角相等可得 ，等量代换可得 ，由等角对等边可得结果； （2） 连接 ， ， ， 在 延长线上截取 ，连 ，可得A、E、B、D四点共圆，可得 ，△CEG为等腰直角三角形，利用勾股定理可得结果. 16．【答案】（1）解：如图1中，连接 . ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵D是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ . （2）解：①过B作 于点H，则 . 又∵ 于点E， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， 又∵四边形 是 的内接四边形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ②连接 并延长与 交于点I，则点D在 上. 如图：过B作 于点H， 则 ， 又∵ 于点E， ∴ ， ∴ ， 又∵四边形 是 的内接四边形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是 直径， ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴当点D运动到点I时 取得最大值，此时 . 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）连接BD，由圆周角定理可得∠DBA=∠DCA，∠BCA=∠BAC=60°，结合中点的概念可得∠DCA=30°，据此解答； （2）①过B作BH⊥CD于点H，则∠BED=∠BHC=∠BHD，由圆周角定理可得∠BAE=∠BCH，根据弧、弦的关系可得AB=BC，利用AAS证明△BEA≌△BHC，得到EA=CH，由圆内接四边形的性质可得∠BDE=∠BCA，根据圆周角定理可得∠BCA=∠BDC，则∠BDE=∠BDC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到DE=DH，然后根据线段的和差关系进行证明； ②连接BO并延长与⊙O交于点I，过B作BH⊥CD于点H，则∠BED=∠BHC=∠BHD，由由圆周角定理可得∠BAE=∠BCD，根据弧、弦的关系可得AB=BC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到ED=HD，由圆周角定理可得∠BDA=∠BDC，利用AAS证明△BED≌△BHD，得到DE=DH，则CD=DE+AE，易得BI垂直平分AC，据此求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $