3.3垂径定理（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦垂径定理核心知识点，系统梳理定理内容（垂直于弦的直径平分弦及弧）、推论（知二推三，弦非直径）、解题模型（弦长、半径、弦心距勾股关系等）及实际应用，形成从定理拆解到模型归纳再到题型应用的递进学习支架。 资料特色在于模型化梳理（核心四量“知二求二”模型、无图多解等命题规律）、分层练习（随学随练与题型分类）及实际情境融入（赵州桥、筒车等实例），培养几何直观、推理能力与模型意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 课标要点 1. 垂径定理核心内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 掌握定理的推论，清楚过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对弧这四个条件知二推二，注意平分的弦不能为直径。 3. 常结合勾股定理构建直角三角形，用于求解弦长、半径、弦心距等线段长度。 4. 体会圆的轴对称性，垂径定理本质是圆沿直径对折后两边重合的几何性质。 学习重难点 重点： 理解垂径定理内容，明晰垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧。 能够运用垂径定理，结合勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 掌握垂径定理 “知二推三” 的推论，分清定理成立的条件。 难点： 准确识别图形，在复杂构图中找到垂径定理对应的直角三角形模型。 牢记推论限制条件：被平分的弦不能是直径，规避易错陷阱。 灵活添加辅助线，通过作弦的垂线构造垂径定理适用图形解题。 知识点 垂径定理核心内容 1. 定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 关键要素拆解 垂径定理可以拆解为五个核心条件，满足其中两个条件就能推出另外三个结论（知二推三）： 1. 过圆心（直径/半径/圆心所在直线） 2. 垂直于弦 3. 平分弦（不是直径的弦） 4. 平分弦所对的优弧 5. 平分弦所对的劣弧 特别提醒 当定理中“平分弦”作为条件时，这条弦不能是直径，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，只有当被平分的弦不是直径时，才能推出其余结论。 随学随练 1．在中，已知半径为，弦的长为，则圆心到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理；垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；关键是根据勾股定理解答． 作于，连接，根据垂径定理得到，然后在 中利用勾股定理计算即可； 【详解】解：作于，连接，如图，    ， 在中， ， 即圆心到的距离为 5 ； 故选：C． 2．如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，由垂径定理可得，由，，可得，在中，由即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴， ， ， 在中，， ∵是的直径，弦， ∴ 故选：B． 3．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 由可得，，进而利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵圆心到弦的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 4．如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 5．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 知识点 垂径定理的推论 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 特别提醒 所有推论都是基于“知二推三”的逻辑，只要满足两个核心条件，就能得到其余三个结论，推论本质上是垂径定理不同条件组合的体现。 随学随练 1．下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．圆周角等于圆心角的一半 C．平分弦的直径垂直于弦 D．同角或等角的余角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 分别根据对顶角、圆周角定理、垂径定理、余角的概念判断即可． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的一半，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项命题是假命题，不符合题意； 、同角或等角的余角相等，是真命题，符合题意； 故选：． 2．如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点B是的中点，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D．    【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：连接OA， 条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意； ∵OC⊥AB于点E， ∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意； 选项C不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，三角形中位线定理．由题意可知点D平分， 为的中位线，根据直径求出半径，进而求出的长度，再根据中位线原理即可解答． 【详解】解：∵点D平分， ∴平分， ∴为的中位线， ∴， 又∵ 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴弦， 故答案为：． 5．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 【答案】 证明：∵是直径，点是劣弧的中点， ∴垂直平分， ∴． 【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”． 【详解】略． 知识点 常用解题模型与公式 1. 弦长、半径、弦心距关系模型 设圆的半径为 r ，弦长为 a ，圆心到弦的距离（弦心距）为d ，三者满足勾股定理： 2. 平行弦距离模型 圆中两条平行弦，距离的计算需要分两种情况讨论： 1. 两条平行弦在圆心的同侧：弦心距之差等于两弦的距离； 2. 两条平行弦在圆心的两侧：弦心距之和等于两弦的距离。 3. 弓形高计算模型 弓形的高（弓形弧的中点到弦的距离）设为(h ，圆半径为 r ，弦心距为 d ，关系为： 特别提醒 1.平行弦距离模型题目如果没有给出图形，一定要考虑两种情况，避免漏解. 2.弓形高本质是圆心到弦距离和半径的和差关系，区分优弧弓形和劣弧弓形是解题关键 随学随练 1．如图，在中，是的弦，，垂足为E．若，则的半径长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，是的弦，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴的半径长为5， 故选：B． 2．的半径为5，两条平行弦的长为6和8，则这两条弦的距离为________． 【答案】7或1/1或7 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，解题的关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理．先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作于E，交于F，连接、，再根据垂径定理和勾股定理即可求出、，然后结合图形求出即可． 【详解】解：分为两种情况：①当和在O的同旁时，如图1， 过O作于E，交于F，连接、， ∵， ∴， 则由垂径定理得：，， 在中，由勾股定理得：， 同理可求出， ∴； ②当和在O的两侧时，如图2，同法求出，， 则； 即与的距离是1或7． 故答案为：1或7． 3．如图，在中，直径，垂足为，，，求弦． 【答案】 【分析】连接，由可求出半径和，在中运用勾股定理可求出的长，再由垂径定理得，可求出的长； 本题考查了对垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：连接， ∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∵直径， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴． 4．如图，是的弦，半径，求弦的长度． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先过点作于，得，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于， ∵， 则． ， ． 在中，． 由勾股定理得． ． 知识点 垂径定理的实际应用 弦长、拱高的计算：拱桥、隧道问题 这是垂径定理最常见的实际应用题型，通常考察已知桥拱的跨度（弦长）和拱高，求桥拱所在圆的半径，或者已知半径和拱高，求能通过的船只的最大高度/宽度。 管道截面：油面深度、存油量计算 这类问题通常给出圆形排水管道/输油管道的内径（直径），以及油面宽度，求油的最大深度，考察圆心和油面位置关系的分类讨论。 航海问题：判断轮船会不会触礁 航海问题中，通常会给出暗礁所在的范围（以某点为圆心的圆形区域），给出轮船两个航点的位置和方向，计算轮船航线到暗礁圆心的最短距离，和半径比较，判断是否会触礁。 车轮、圆形工件检测：半径计算 工业检测中，经常需要通过测量弦长和弦到圆周的距离，计算圆形工件的半径，判断是否符合规格，完全用垂径定理的基本公式解决。 特别提醒 1. 解决拱桥、管道等弧形实际问题时，先要抽象出圆、弦、拱高，构建几何模型。 2. 分清拱高、弦心距的区别，拱高=半径−弦心距，不要混淆两个线段。 3. 必须借助辅助线：连接半径、过圆心作弦的垂线，形成直角三角形再用勾股定理计算。 4. 算出结果后要对照题意检验，注意长度取值符合现实情境。 随学随练 1．如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，再由垂径定理可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵瓶内液体的深度， ∴， 在中，． ∵， ∴， 故选：A． 2．如图，要测量残缺圆形工件的半径，在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 4．如图，赵州桥又名安济桥，俗称大石桥，始建于隋代，由匠师李春设计建造，它是世界上现存最古老跨度最大的敞肩圆弧拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．主桥拱的跨度约为米，拱高约为米，则主拱桥的半径为______米（结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得， ∴米，， 设米，则米， ∵， ∴， 解得， ∴主拱桥的半径为米， 故答案为：． 5．如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，设半径为r，连接，利用勾股定理列出即可解答． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得， 米， 设半径为r，则， 由勾股定理得，即， 解得， 所以该门洞所在圆（）的半径为米． 拓展 模型归纳——垂径定理解题的通用规律 1. 核心四量模型总结 在涉及垂径定理的计算问题中，永远围绕四个核心量展开：圆的半径R、弦长l、弦心距d（圆心到弦的距离）、弓形高h。这四个量之间存在两个固定关系： 1. 勾股定理关系：，这是所有计算的核心公式，由垂径定理构造直角三角形推导而来； 2. 和差关系：弓形高是弦到弧的距离，劣弧对应的弓形高满足，优弧对应的弓形高满足。 也就是说四个量中只要知道任意两个，就一定可以求出剩下的两个，形成了“知二求二”的固定解题模型，这个规律可以覆盖所有基础的垂径定理计算题，掌握模型后可以大幅提升解题效率。 2. 常见命题规律总结 结合中考和日常考试的命题特点，垂径定理的考察通常遵循三个规律： 1. 无图题多解规律：当题目只给出弦长、弦到圆心的距离或弓形高，没有给出图形时，弦可能在圆心的同侧也可能在异侧，弓形可能是劣弓形也可能是优弓形，此时需要分情况讨论，避免漏解。比如：已知圆半径为5，一条弦长为8，求弦到对应的弧的距离，结果就有两个：劣弓形高为，优弓形高为，很多初学者只会得到第一个结果，这一规律的总结能培养分类讨论的思想。 2. 平行弦距离规律：圆中两条平行弦，存在两种位置关系：两弦在圆心同侧、两弦在圆心异侧，因此两条平行弦之间的距离一定有两个结果（弦长相等时除外），推导过程依然是用弦心距结合位置计算：同侧距离为，异侧为，这是“无图多解”规律的典型应用。 3. 弦长变化规律：同一个圆中，弦长随弦心距的增大而减小，随弦心距的减小而增大：当弦心距为0时，弦长最大等于直径；当弦心距等于半径时，弦长缩小为0。这个变化规律可以用来解决弦长的最值问题，比如：过圆内一点的弦中，最长弦是过该点的直径，最短弦是垂直于该直径的弦，这一结论就是由弦长变化规律推导而来。 3. 辅助线构造规律 所有垂径定理问题的辅助线都遵循统一规律：有弦作弦心距，连半径构造直角三角形。只要遇到圆中涉及弦的计算或证明，第一步做圆心到弦的垂线，再连接圆心和弦的端点，就直接得到可以用勾股定理或三角函数计算的直角三角形，这一规律能帮初学者快速建立解题思路，避免无从下手的问题。 活学活用 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，掌握数形结合、分类讨论的方法是解题关键．根据题意画出图形，分两种情况讨论，由垂径定理和勾股定理先求出的长，从而得到的长，再结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：分两种情况讨论， 第一种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 第二种情况：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上，线段的长为或． 故答案为：或． 3．中式古典园林中大部分月亮门可以看作如图所示的圆的一部分，点是上一点，经过圆心，且弦，垂足为，已知，．求的半径． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识点，根据垂径定理可得，在中，有，然后求解即可得出答案．掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵经过圆心，且弦，， ∴，， 设的半径为，则， ∵经过圆心，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为． 题型利用垂径定理求弦长 解题贴士 首先确定圆心、过圆心作弦的垂线，构造由半径、弦长一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，再结合勾股定理计算弦长，注意弦长是弦一半的2倍，不要忘记乘2。 ▌例1如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，先连接，根据已知条件求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，由垂径定理求出答案即可． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B ▌例2．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．根据题意过点作于点，连接，从而得出是等腰直角三角形，结合图形由线段之间的关系推出，从而利用勾股定理推出，再由垂径定理得到，从而推出． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，    ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． ▌对点练1-1如图，内接于，连接并延长交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，过点作于点，则，根据已知条件求得，根据含30度角的直角三角形的性质求得，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵ ∴, ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． ▌对点练1-2．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则弦的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 由垂径定理得到，由平行线的性质推出，，判定，推出，，求出的长，根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ▌对点练1-3．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，中位线定理，勾股定理，由，得，，然后通过中位线定理可得，设的半径为，则，由勾股定理得，解得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设的半径为，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型 利用垂径定理求圆的半径 解题贴士 同样构造直角三角形，设半径为未知数，将圆心到弦的距离、弦长的一半用已知量或含未知数的表达式表示，代入勾股定理列方程求解，得到半径结果。若题目给出弦长和圆心到弦的距离，直接用勾股定理计算即可。 ▌例1．如图，要测量残缺圆形工件的半径，在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． ▌例2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（    ） A．9 B．8 C． D．3 【答案】C 【分析】如图所示，连接OC，先由BC⊥OA，得到∠ADC=∠ODC=90°，，利用勾股定理求出AD=1，设，则，由勾股定理得到则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接OC， ∵BC⊥OA， ∴∠ADC=∠ODC=90°，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． ▌对点练1-1．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（    ） A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm 【答案】C 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， ， ， ∵AB＝8cm， ， 设圆的半径为， 在中，， 根据勾股定理得：，即， 解得：， 故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径构建直角三角形，根据勾股定理列方程. ▌对点练1-2．如图，为的半径，弦于点．若，，则的半径长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，然后在中利用勾股定理构建方程，即可求出的半径． 【详解】解：连接，设的半径为，如图， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 即的半径为， 故答案为：． ▌对点练1-3如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 题型 利用垂径定理求圆心到弦的距离 解题贴士 已知弦长和半径，直接在构造的直角三角形中，利用勾股定理求垂线段长度，也就是圆心到弦的距离，注意距离一定为非负数，结果直接取算术平方根即可。 ▌例1如图，的半径长为，弦等于，半径于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：半径于点， ， 的半径长为， ， ． 故选：D． ▌例2如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题应用垂径定理，连接，由得，在中，设半径为R，应用勾股定理得：，继而求得的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴, 根据勾股定理： 解得， 故选：B． ▌对点练1-1如图，的半径是，，那么圆心到弦的距离是（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，作出弦心距，结合直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作 则由垂径定理得 又∵, 故选：． ▌对点练1-2如图，在中，弦直径交于，，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理． 连接，则，然后根据垂径定理求得，在中利用勾股定理求得的长． 【详解】解：连接． ∵是的直径，弦直径，，， ∴（圆的半径是直径的一半），（垂径定理）． 在中，． 故答案为：． 题型计算图形面积 解题贴士 利用垂径定理求面积，先作圆心向弦的垂线，构造直角三角形结合勾股定理算出关键线段长。 分清所求图形是弓形、扇形还是组合图形，套用对应面积公式。 留意面积常用转化思路：扇形面积加减三角形面积得到弓形面积。 计算时看清半径、弦长、弦心距，不要混淆线段条件。 ▌例1如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设的半径为，则，先由勾股定理构建方程求出半径的长，再由三角形面积和垂径定理即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 设的半径为，则， 是的直径，，， ， 在中，， 解得：， 的面积， ， ， 的面积的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理，属于中考常考题型． ▌例2如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（　　） A．6 B．12 C．15 D．30 【答案】A 【详解】试题分析： ∵OD⊥BC， ∴BD=CD=BC=×12=6， 在Rt△BOD中，∵OB=AB=8，BD=6， ∴OD==2， ∴S△OBD=OD•BD=×2×6=6． 考点：垂径定理；勾股定理． ▌对点练1-1如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． ▌对点练1-2如图，是的一条弦：点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，则的面积______． 【答案】2.5 【分析】本题考查的知识点是垂径定理的推论、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先根据垂径定理的推论得到，再由线段中点的定义得到，再根据勾股定理求出圆的半径，则的面积即可求解． 【详解】解：设的半径是r， 点C是的中点，过圆心O， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2.5． 题型 利用垂径定理求平行弦问题 解题贴士 遇到圆内平行弦问题，过圆心作平行弦的垂线，运用垂径定理平分两条弦。 分两类情况讨论：两条平行弦在圆心同侧、异侧，避免漏解。 构造直角三角形，借助勾股定理求出弦心距，再计算弦之间的距离。 ▌例1已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． ▌例2已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． ▌对点练1-1半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． ▌对点练1-2半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为______． 【答案】2或14/14或2 【分析】过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8，再利用勾股定理计算出OE＝8，OF＝6，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝14，当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝2． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8， 在Rt△AOE中，OE＝＝8， 在Rt△OCF中，OF＝， 当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝8＋6＝14， 当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝8−6＝2， ∴AB、CD之间的距离为2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用． ▌对点练1-3已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则；    当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 题型 利用垂径定理求平行弦问题 解题贴士 遇到圆内平行弦问题，过圆心作平行弦的垂线，运用垂径定理平分两条弦。 分两类情况讨论：两条平行弦在圆心同侧、异侧，避免漏解。 构造直角三角形，借助勾股定理求出弦心距，再计算弦之间的距离。 ▌例1已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． ▌例2已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． ▌对点练1-1半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． ▌对点练1-2半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为______． 【答案】2或14/14或2 【分析】过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质得OF⊥CD，则根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8，再利用勾股定理计算出OE＝8，OF＝6，然后分类讨论：当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝14，当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝2． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝6，CF＝DF＝CD＝8， 在Rt△AOE中，OE＝＝8， 在Rt△OCF中，OF＝， 当点O在AB和CD之间时，EF＝OE＋OF＝8＋6＝14， 当点O不在AB和CD之间时，EF＝OE−OF＝8−6＝2， ∴AB、CD之间的距离为2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论思想的应用． ▌对点练1-3已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 【答案】或 【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可． 【详解】解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示， 过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC， ，， ∴F、分别为AB、CD的中点， ，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则；    当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得， 综上，弦AB与CD的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 题型 利用垂径定理求同心圆问题 解题贴士 过圆心作弦的垂线，结合垂径定理平分弦；分别对内外圆弦列式，利用勾股定理建立线段关系。 两式相减消去半径，快速求得弦长相关线段差值。 解题关键是构造直角三角形，牢记同心圆共用圆心，垂线可同时平分两条弦。 ▌例1如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出，进而求出结论． 【详解】解：连接，过点O作， ， ，即， ， 由圆环的面积公式可得： ， 故选：D． ▌例2如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． ▌对点练1-1将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. ▌对点练1-2如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】/ 【分析】根据垂径定理可得，，由此求出，观察图形可得图形关于的轴对称图形，阴影部分面积等于. 【详解】解：∵，， ∴， ∵点是的中点，即， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积等于 ， ▌对点练1-3如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 题型 垂径定理的实际应用 解题贴士 遇到圆中弦长、拱高、半径计算，先过圆心作弦的垂线段，活用垂径定理平分弦。 结合半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形，依靠勾股定理列式求解。 已知拱高时，用半径表示弦心距，设未知数建立方程是常用思路。 留意图形有无多解情况，避免遗漏弦在圆心两侧的不同情形。 ▌例1化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，交于点，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∴， 由勾股定理得， ∴． ▌例2如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为C是弧的最高点且垂直，所以根据垂径定理所在直线必然经过弧对应圆的圆心，且D为的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦的距离可表示为()，的长度为的一半即．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径． 【详解】 解：设圆心为O，连接， ∵是弧的最高点到的距离， ∴，， ∴， ∴O、D、C三点共线， 设圆的半径为， ∵，为， ∴，． 在中，由勾股定理得： ， 代入得： ， 解得． ∴所在圆的半径为． ▌对点练1-1如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； 【答案】4 【分析】过点作于点，延长交于点，利用垂径定理求出，再结合勾股定理求出，进而即可求出排水管内水的最大深度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ， ， ， ， ， 即排水管内水的最大深度为4． ▌对点练1-2在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了_________． 【答案】2 【分析】如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作，利用垂径定理和勾股定理求出的长，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：设再注入一些油后，油面宽变为，则，过O作， ∵， ∴，， ∴，， ∵，, ∴O、E、F三点共线， ∴，即油面上升了． ▌对点练1-3如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 【答案】米 【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接，设圆的半径为，米根据勾股定理，则，即可． 【详解】连接， ∵， ∴米， 设圆的半径为， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的半径为米． 基础通关 1．如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理解答即可． 【详解】解：∵的直径，弦于点，， ∴． 2．如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 4．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 【答案】C 【分析】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况讨论. 【详解】解：如图, 设E、F为AB、CD的中点， AE=AB=24=12, CF=CD=10=5, OE===5, OF===12, ①当两弦在圆心同侧时,距离=OF-OE=12-5=7; ②当两弦在圆心异侧时,距离=OE+OF=12+5=17. 所以距离为7或17. 故选C. 【点睛】本题主要考查勾股定理及垂径定理的应用. 5．下列命题中正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．直径是一个圆中最长的弦 C．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，根据圆的定义和性质，逐一判断各选项的正确性． 【详解】A．∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但弦可能是直径，此时不一定垂直，∴A错误； B．∵直径是通过圆心的弦，且是圆中最长的弦，∴B正确； C．∵只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，∴C错误； D．∵等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定等弧，∴D错误． 故选：B． 6．如图，将放在每个小正方形的边长为2的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，得出外接圆圆心位置是解题关键．根据题意得出的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理求出半径即可． 【详解】解：如图所示：点O为外接圆圆心，则为外接圆半径， 故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：． 故选：D． 7．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 【答案】5 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∵，是的弦， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即此圆的半径为． 8．如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 【答案】12 【分析】根据，，可求得的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：∵弦于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路．已知隧道的最大高度为，隧道入口宽为，该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，则这个圆的半径是_________． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理，可求出，根据勾股定理，则，即可． 【详解】解：连接，设圆的半径为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为：． 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 11．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 12．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm． 【答案】12 【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可． 【详解】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示： ∵AB＝48cm， ∴BD＝AB＝×48＝24（cm）， ∵⊙O的直径为60cm， ∴OB＝OC＝30cm， 在Rt△OBD中，OD＝＝＝18（cm）， ∴CD＝OC﹣OD＝30﹣18＝12（cm）， 即水的最大深度为12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13．已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的半径为多少？ 【答案】5 【分析】连接，设的半径为r，则，由垂径定理得到，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：连接， 设的半径为r，则， ∵是的直径，弦，，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 14．如图，在中，半径于点．已知的半径为．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得出，再根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵半径于点，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 15．  于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦长，弓形高长，半径的长． 【答案】半径的长为 【分析】此题主要考查了垂径定理，勾股定理．设半径的长为，则，由已知可得然后在中，由勾股定理得，即，由此解出r即可． 【详解】解：设半径的长为，则， ∵弓形高， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． 答：半径的长为． 素养提升 1．如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的圆心为点，连接，利用垂径定理得出，设半径为，在中利用勾股定理列关于的方程，求解即可． 【详解】解：设圆的圆心为点， 如图，连接， 由题意得，， ， 设半径为，即， 则， 在中， ，即， 解得， 球的半径为：． 2．如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，进而根据扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，的直径，是弦，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直径求出半径和的长，利用比例关系求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据垂径定理求出的长． 【详解】解：的直径， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 4．是的弦，，垂足为M，连接，若，，则弦的长为______． 【答案】6 【分析】利用垂径定理可得，在中计算得到的长度，即可求出弦的长． 【详解】解：如图， ∵是的弦，， ∴，， ∵，， 在中，， ∴， ∴． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       6．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 【答案】/ 【分析】根据，得出，设，则，然后根据勾股定理列出关于r的方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 7．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵， ∴． 又∵于点， ∴． ∵是的半径，， ∴， ∴， ∴； (2)的半径是． 【分析】（1）根据等角对等边得到，根据三线合一得到，根据垂径定理得到，可知； （2）连接，根据垂径定理得到，，设的半径是，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， ∵，为的弦， ∴，， ∴， 设的半径是， ∴， 解得． ∴的半径是． 8．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 【答案】 【分析】根据垂径定理求出，，求出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】26寸 【分析】连接，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接， ， 寸， 为的直径，弦，寸， 寸，， 在中，， ， 解得：， 为的直径， 寸． 10．石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 【答案】不能，理由见解析 【分析】设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，．根据垂径定理得出，在中，根据勾股定理，得，解得．在中，，根据垂径定理得出，然后判断与12的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：如图，设货船最大限度通过拱桥时，船舱顶部与拱桥的交点为M，N，连接，． ∵，， ∴． 又∵， ∴设，则． 在中，根据勾股定理，得，解得． ∵船舱顶部为矩形且高出水面， ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴此货船不能顺利通过这座拱桥． 迁移创新 1．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 【答案】探究1：；结论仍然成立，证明见解析；探究2：；探究3：1 【分析】探究1：根据，，再利用线段的和差即可求解；过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； 探究2：同理探究1得：，，连接，设，根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到，在中，，即，在中，，即，由此建立方程求解即可； 探究3：连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】探究1： 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：（相等） 当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立，证明如下： 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 探究2： 同理探究1得：，， ∵， ∴，， 连接， 设， 则大圆面积为，小圆面积为， ∵大圆面积是小圆面积的3倍， ∴，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，即大圆的半径长为； 探究3： 解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、勾股定理，平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表格进行探究． 三角形关型 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 垂心的位置 直角顶点 ① 在三角形外部 垂心的性质 三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍． 图形 图1 图2 (1)表格中①处应填： ． (2)小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明． 已知：如图1，⊙O是的外接圆，，H是的垂心，，垂足为E． 求证：． (3)如图2，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，高线AF与高线CG交于点H，于点E，为了证明．小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B作了⊙O的直径BD，请继续小明的思路证明． 【答案】(1)在三角形内部 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）锐角三角形的三条高都在三角形内部，所以锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部； （2）根据⊙O是的外接圆点，可得O为AC中点，再根据，由垂径定理得到点E为BC中点，最后利用三角形的中位线定理即可得证； （3）本小题利用（2）的结论，把锐角三角形的问题转化为直角三角形，可得到，然后连接AD、CD，证明四边形ADCH是平行四边形，得到即可得证． 【详解】（1）解：∵锐角三角形的三条高都在三角形内部， ∴锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部在三角形内部， ∴锐角三角形的垂心在三角形的内部； （2）解：如图1，⊙O是的外接圆，， ∴点O为AC中点． ∵， ∴E为BC中点． ∴OE为的中位线， ∴即； （3）证明：如图2，连结AD、CD， ∵BD是⊙O的直径， ∴， 由（2）可知， 又∵， ∴． 同理． ∴四边形ADCH是平行四边形， ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的垂心的性质、平行四边形的性质与判定、垂径定理及三角形中位线定理．掌握三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍以及转化的思想是解答的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 课标要点 1. 垂径定理核心内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 掌握定理的推论，清楚过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对弧这四个条件知二推二，注意平分的弦不能为直径。 3. 常结合勾股定理构建直角三角形，用于求解弦长、半径、弦心距等线段长度。 4. 体会圆的轴对称性，垂径定理本质是圆沿直径对折后两边重合的几何性质。 学习重难点 重点： 理解垂径定理内容，明晰垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧。 能够运用垂径定理，结合勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 掌握垂径定理 “知二推三” 的推论，分清定理成立的条件。 难点： 准确识别图形，在复杂构图中找到垂径定理对应的直角三角形模型。 牢记推论限制条件：被平分的弦不能是直径，规避易错陷阱。 灵活添加辅助线，通过作弦的垂线构造垂径定理适用图形解题。 知识点 垂径定理核心内容 1. 定理内容 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2. 关键要素拆解 垂径定理可以拆解为五个核心条件，满足其中两个条件就能推出另外三个结论（知二推三）： 1. 过圆心（直径/半径/圆心所在直线） 2. 垂直于弦 3. 平分弦（不是直径的弦） 4. 平分弦所对的优弧 5. 平分弦所对的劣弧 特别提醒 当定理中“平分弦”作为条件时，这条弦不能是直径，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，只有当被平分的弦不是直径时，才能推出其余结论。 随学随练 1．在中，已知半径为，弦的长为，则圆心到的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，弦，垂足为P，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．如图，于E，，，则的半径为___________． 5．如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 知识点 垂径定理的推论 推论1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论3 平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 特别提醒 所有推论都是基于“知二推三”的逻辑，只要满足两个核心条件，就能得到其余三个结论，推论本质上是垂径定理不同条件组合的体现。 随学随练 1．下列命题是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．圆周角等于圆心角的一半 C．平分弦的直径垂直于弦 D．同角或等角的余角相等 2．如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（   ）    A．3 B．4 C．6 D．8 3．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 4．如图， 的直径，C是圆O上一点，点D平分，，则弦______________ 5．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：． 知识点 常用解题模型与公式 1. 弦长、半径、弦心距关系模型 设圆的半径为 r ，弦长为 a ，圆心到弦的距离（弦心距）为d ，三者满足勾股定理： 2. 平行弦距离模型 圆中两条平行弦，距离的计算需要分两种情况讨论： 1. 两条平行弦在圆心的同侧：弦心距之差等于两弦的距离； 2. 两条平行弦在圆心的两侧：弦心距之和等于两弦的距离。 3. 弓形高计算模型 弓形的高（弓形弧的中点到弦的距离）设为(h ，圆半径为 r ，弦心距为 d ，关系为： 特别提醒 1.平行弦距离模型题目如果没有给出图形，一定要考虑两种情况，避免漏解. 2.弓形高本质是圆心到弦距离和半径的和差关系，区分优弧弓形和劣弧弓形是解题关键 随学随练 1．如图，在中，是的弦，，垂足为E．若，则的半径长为（   ） A．4 B．5 C． D． 2．的半径为5，两条平行弦的长为6和8，则这两条弦的距离为________． 3．如图，在中，直径，垂足为，，，求弦． 4．如图，是的弦，半径，求弦的长度． 知识点 垂径定理的实际应用 弦长、拱高的计算：拱桥、隧道问题 这是垂径定理最常见的实际应用题型，通常考察已知桥拱的跨度（弦长）和拱高，求桥拱所在圆的半径，或者已知半径和拱高，求能通过的船只的最大高度/宽度。 管道截面：油面深度、存油量计算 这类问题通常给出圆形排水管道/输油管道的内径（直径），以及油面宽度，求油的最大深度，考察圆心和油面位置关系的分类讨论。 航海问题：判断轮船会不会触礁 航海问题中，通常会给出暗礁所在的范围（以某点为圆心的圆形区域），给出轮船两个航点的位置和方向，计算轮船航线到暗礁圆心的最短距离，和半径比较，判断是否会触礁。 车轮、圆形工件检测：半径计算 工业检测中，经常需要通过测量弦长和弦到圆周的距离，计算圆形工件的半径，判断是否符合规格，完全用垂径定理的基本公式解决。 特别提醒 1. 解决拱桥、管道等弧形实际问题时，先要抽象出圆、弦、拱高，构建几何模型。 2. 分清拱高、弦心距的区别，拱高=半径−弦心距，不要混淆两个线段。 3. 必须借助辅助线：连接半径、过圆心作弦的垂线，形成直角三角形再用勾股定理计算。 4. 算出结果后要对照题意检验，注意长度取值符合现实情境。 随学随练 1．如图，烧瓶底部呈球形，瓶内液体的深度，则经过球心的截面圆的半径，则弦的长为（   ）． A． B． C．6 D． 2．如图，要测量残缺圆形工件的半径，在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 3．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 4．如图，赵州桥又名安济桥，俗称大石桥，始建于隋代，由匠师李春设计建造，它是世界上现存最古老跨度最大的敞肩圆弧拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．主桥拱的跨度约为米，拱高约为米，则主拱桥的半径为______米（结果精确到）． 5．如图所示的是某景区“咏月碑林”景点入口处的门洞，这类圆形门洞因形如满月而得名“月洞门”，是中国古典建筑中常见的过径门．某数学兴趣小组利用周末时间实地勘测，测得该门洞地面入口宽为4米，拱高为4米，求该门洞所在圆（）的半径． 拓展 模型归纳——垂径定理解题的通用规律 1. 核心四量模型总结 在涉及垂径定理的计算问题中，永远围绕四个核心量展开：圆的半径R、弦长l、弦心距d（圆心到弦的距离）、弓形高h。这四个量之间存在两个固定关系： 1. 勾股定理关系：，这是所有计算的核心公式，由垂径定理构造直角三角形推导而来； 2. 和差关系：弓形高是弦到弧的距离，劣弧对应的弓形高满足，优弧对应的弓形高满足。 也就是说四个量中只要知道任意两个，就一定可以求出剩下的两个，形成了“知二求二”的固定解题模型，这个规律可以覆盖所有基础的垂径定理计算题，掌握模型后可以大幅提升解题效率。 2. 常见命题规律总结 结合中考和日常考试的命题特点，垂径定理的考察通常遵循三个规律： 1. 无图题多解规律：当题目只给出弦长、弦到圆心的距离或弓形高，没有给出图形时，弦可能在圆心的同侧也可能在异侧，弓形可能是劣弓形也可能是优弓形，此时需要分情况讨论，避免漏解。比如：已知圆半径为5，一条弦长为8，求弦到对应的弧的距离，结果就有两个：劣弓形高为，优弓形高为，很多初学者只会得到第一个结果，这一规律的总结能培养分类讨论的思想。 2. 平行弦距离规律：圆中两条平行弦，存在两种位置关系：两弦在圆心同侧、两弦在圆心异侧，因此两条平行弦之间的距离一定有两个结果（弦长相等时除外），推导过程依然是用弦心距结合位置计算：同侧距离为，异侧为，这是“无图多解”规律的典型应用。 3. 弦长变化规律：同一个圆中，弦长随弦心距的增大而减小，随弦心距的减小而增大：当弦心距为0时，弦长最大等于直径；当弦心距等于半径时，弦长缩小为0。这个变化规律可以用来解决弦长的最值问题，比如：过圆内一点的弦中，最长弦是过该点的直径，最短弦是垂直于该直径的弦，这一结论就是由弦长变化规律推导而来。 3. 辅助线构造规律 所有垂径定理问题的辅助线都遵循统一规律：有弦作弦心距，连半径构造直角三角形。只要遇到圆中涉及弦的计算或证明，第一步做圆心到弦的垂线，再连接圆心和弦的端点，就直接得到可以用勾股定理或三角函数计算的直角三角形，这一规律能帮初学者快速建立解题思路，避免无从下手的问题。 活学活用 1．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，是圆的弦，直径于点，，，则线段的长为______． 3．中式古典园林中大部分月亮门可以看作如图所示的圆的一部分，点是上一点，经过圆心，且弦，垂足为，已知，．求的半径． 题型利用垂径定理求弦长 解题贴士 首先确定圆心、过圆心作弦的垂线，构造由半径、弦长一半、圆心到弦的垂线段构成的直角三角形，再结合勾股定理计算弦长，注意弦长是弦一半的2倍，不要忘记乘2。 ▌例1如图，为的直径，弦，垂足为，，，则线段的长为（    ）    A．5 B．8 C． D． ▌例2．如图，是的直径，弦交于点，，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． ▌对点练1-1如图，内接于，连接并延长交于点，交于点，若，则的长为（    ） A．4 B． C． D．5 ▌对点练1-2．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则弦的长为______． ▌对点练1-3．如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是______． 题型 利用垂径定理求圆的半径 解题贴士 同样构造直角三角形，设半径为未知数，将圆心到弦的距离、弦长的一半用已知量或含未知数的表达式表示，代入勾股定理列方程求解，得到半径结果。若题目给出弦长和圆心到弦的距离，直接用勾股定理计算即可。 ▌例1．如图，要测量残缺圆形工件的半径，在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． ▌例2．如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为D．连接AC．若BC＝，AC＝3，则⊙O的半径长为（    ） A．9 B．8 C． D．3 ▌对点练1-1．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥AB于D，液面深度CD＝2cm，则该管道的半径长为（    ） A．6cm B．5.5cm C．5cm D．4cm ▌对点练1-2．如图，为的半径，弦于点．若，，则的半径长为_____． ▌对点练1-3如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 题型 利用垂径定理求圆心到弦的距离 解题贴士 已知弦长和半径，直接在构造的直角三角形中，利用勾股定理求垂线段长度，也就是圆心到弦的距离，注意距离一定为非负数，结果直接取算术平方根即可。 ▌例1如图，的半径长为，弦等于，半径于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． ▌例2如图，是的直径，弦于点，如果，半径为3，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． ▌对点练1-1如图，的半径是，，那么圆心到弦的距离是（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 ▌对点练1-2如图，在中，弦直径交于，，，则的长是______． 题型计算图形面积 解题贴士 利用垂径定理求面积，先作圆心向弦的垂线，构造直角三角形结合勾股定理算出关键线段长。 分清所求图形是弓形、扇形还是组合图形，套用对应面积公式。 留意面积常用转化思路：扇形面积加减三角形面积得到弓形面积。 计算时看清半径、弦长、弦心距，不要混淆线段条件。 ▌例1如图，是的直径，弦于，连接，过点作于，若，，则的面积是（  ） A． B． C． D． ▌例2如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB=16，BC=12，则△OBD的面积为何？（　　） A．6 B．12 C．15 D．30 ▌对点练1-1如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，是的一条弦：点是的中点，连接并延长交劣弧于点，连接，，若，，则的面积______． 题型 利用垂径定理求平行弦问题 解题贴士 遇到圆内平行弦问题，过圆心作平行弦的垂线，运用垂径定理平分两条弦。 分两类情况讨论：两条平行弦在圆心同侧、异侧，避免漏解。 构造直角三角形，借助勾股定理求出弦心距，再计算弦之间的距离。 ▌例1已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． ▌例2已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 ▌对点练1-1半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 ▌对点练1-2半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为______． ▌对点练1-3已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 题型 利用垂径定理求平行弦问题 解题贴士 遇到圆内平行弦问题，过圆心作平行弦的垂线，运用垂径定理平分两条弦。 分两类情况讨论：两条平行弦在圆心同侧、异侧，避免漏解。 构造直角三角形，借助勾股定理求出弦心距，再计算弦之间的距离。 ▌例1已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． ▌例2已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 ▌对点练1-1半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 ▌对点练1-2半径为10的⊙O中，两条平行弦AB、CD的长分别为12和16，则AB与CD距离为______． ▌对点练1-3已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是_____． 题型 利用垂径定理求同心圆问题 解题贴士 过圆心作弦的垂线，结合垂径定理平分弦；分别对内外圆弦列式，利用勾股定理建立线段关系。 两式相减消去半径，快速求得弦长相关线段差值。 解题关键是构造直角三角形，牢记同心圆共用圆心，垂线可同时平分两条弦。 ▌例1如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． ▌例2如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 ▌对点练1-1将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． ▌对点练1-2如图，在等腰直角三角形中，，，点是的中点，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） ▌对点练1-3如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 题型 垂径定理的实际应用 解题贴士 遇到圆中弦长、拱高、半径计算，先过圆心作弦的垂线段，活用垂径定理平分弦。 结合半径、弦的一半、弦心距构成直角三角形，依靠勾股定理列式求解。 已知拱高时，用半径表示弦心距，设未知数建立方程是常用思路。 留意图形有无多解情况，避免遗漏弦在圆心两侧的不同情形。 ▌例1化学实验中常使用一种球形蒸馏瓶，它的底部可以看成是一个球体，这个球体最大纵截面如图所示，其半径为，液面宽的长为，则瓶内液体最大深度为（     ） A． B． C． D． ▌例2如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图为一条排水管的截面，若半径，水面宽，则排水管内水的最大深度为________； ▌对点练1-2在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升了_________． ▌对点练1-3如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的一部分，其中内跨度米，拱门内部分圆高度米，求该拱门内圆所在圆的半径． 基础通关 1．如图，的直径，弦于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 3．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（　　） A．7 B．17 C．7或17 D．34 5．下列命题中正确的是（   ） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．直径是一个圆中最长的弦 C．两个相等的圆心角所对的弧一定相等 D．长度相等的两条弧是等弧 6．如图，将放在每个小正方形的边长为2的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（    ） A．2 B． C．3 D． 7．已知中，弦，圆心到的距离为3cm，则此圆的半径为________ 8．如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 9．如图，秦岭终南山公路隧道是亚洲最长的公路隧道，位于陕西秦岭山脉之中，其建设技术和规模都处于世界领先水平，是沟通中国南北交通的重要枢纽高速公路．已知隧道的最大高度为，隧道入口宽为，该隧道的截面近似看作一段圆弧，该圆弧所在圆的圆心为，则这个圆的半径是_________． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 11．如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 12．如图所示一个圆柱体容器内装入一些水，截面AB在圆心O下方，若⊙O的直径为60cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为_____cm． 13．已知，如图，线段是的直径，弦于点．若，，则的半径为多少？ 14．如图，在中，半径于点．已知的半径为．求的长． 15．  于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦长，弓形高长，半径的长． 素养提升 1．如图，化学实验中有一个底部呈球形的烧瓶，其截面圆中弦的长为，瓶内液体已经过半，最大深度，则球的半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，的半径为2，于点E，，则扇形的面积为（     ） A． B．π C． D．2π 3．如图，的直径，是弦，，垂足为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．是的弦，，垂足为M，连接，若，，则弦的长为______． 5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 6．如图，是的一条弦，的延长线交于点D．若，，则的长是______． 7．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 8．如图，的直径垂直于弦，垂足为点E，F为上一点，．求与的大小． 9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 10．石拱桥在黔西南州处处可见，小明要帮一船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，其示意图如图所示．现测得桥下水面宽度为，此时拱顶高出水面（），点O为该圆弧所在圆的圆心．已知货船宽，船舱顶部为矩形且高出水面，此货船能顺利通过这座拱桥吗？并说明理由． 迁移创新 1．综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 2．在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这个交点叫做三角形的垂心．课后小明同学继续探究，上网搜索得到了三角形重心的一条性质，制作了如下表格进行探究． 三角形关型 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 垂心的位置 直角顶点 ① 在三角形外部 垂心的性质 三角形任意顶点到垂心的距离等于外心到对边的距离的两倍． 图形 图1 图2 (1)表格中①处应填： ． (2)小明先选择了直角三角形来探究重心的性质，写出了已知求证，请完成证明． 已知：如图1，⊙O是的外接圆，，H是的垂心，，垂足为E． 求证：． (3)如图2，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，高线AF与高线CG交于点H，于点E，为了证明．小明想把锐角三角形的问题转化为直角三角形，为此他过点B作了⊙O的直径BD，请继续小明的思路证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $