3.3 垂径定理 同步练习 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 垂径定理提高练习通过三层递进设计，以选择、填空、解答、综合题型覆盖定理直接应用到实际情境建模，培养几何直观与推理能力，适配新授课巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|垂径定理及推论直接应用|选择1-4题求弦长，填空9题用垂径定理证角度，强化概念理解| |应用提升|结合勾股定理、方程思想的情境问题|选择2题《九章算术》锯木问题，填空10题桥拱半径计算，体现数学眼光| |综合拓展|多知识点综合与实际问题解决|综合15题同心圆弦关系证明，16题管道截面补全与计算，发展推理能力与模型意识|

3.3 垂径定理 提高练习 一、选择题 1．如图，⊙O的直径 垂直于弦 ，垂足为 ．若 ， ，则 的长是（　　） A．4 B． C．2 D． 2．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图， 为 的直径，弦 于 ， 寸， 寸，求直径 的长.”则 （　　） A． 寸 B． 寸 C． 寸 D． 寸 3．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　） A．4 B．6 C．6 D．8 4．半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．3 6．如图，的半径为5，弦，点C在弦AB上，延长CO交于点D，则CD的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图，的半径弦于点E，C是上一点，，的最大值为18，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 8．A、C是以半径为6的圆的圆周上的两点，为的中点，以线段BA，BC为邻边作菱形ABCD，顶点恰好为该圆直径的三等分点，则该菱形的边长为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题 9．如图，已知的两弦相交于E，且点A为的中点，若，则的度数为　 　． 10． 如图，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度AB为60m， 拱高CD为10m， 则桥拱所在圆的半径长为　 　 ​​ 11．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为　 　 12．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为　 　. 三、解答题 13．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图①），赵州桥是我国古代石拱桥的代表，图②是根据该石拱桥画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为，桥的跨度（弧所对的弦长），设所在圆的圆心为O，，为半径，半径，垂足为D.拱高（弧的中点到弦的距离）． （1）直接写出与的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径． 14．HUAWEIMate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦AB长80mm，弓形高CD长14mm求半径OA的长． 四、综合题 15．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D. （1）求证AC＝BD； （2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　 　. 16．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵⊙O的直径 垂直于弦 CD ， ∴ ∵ ， ， ∴CE=1 ∴CD=2． 故答案为：C． 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=2CE，求出CE的长，再利用垂径定理可得：CD=2CE。 2．【答案】C 【解析】【解答】如图，连接AO， 设AO=OD=r， 故OE=r-1， ∵AB=10，∴AE=5， 由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2， 解得r=13，故CD=2r=26 故答案为：C 【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，OC过点O， ， 即. 故答案为：D. 【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质可得OC=3，利用勾股定理可得AC，根据垂径定理可得AC=BC，则AB=2AC，据此计算. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：如图 由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB， ∴AD=BD， 在Rt△AOD中，， ∴． 故答案为：A． 【分析】根据垂径定理和勾股定理得出答案。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F， 设CE＝3x，DE＝5x， ∴OD＝DE＝5x，CD＝8x， ∴由垂径定理可知：DF＝4x， ∴EF＝x， 由勾股定理可知：OF＝3x， 在Rt△OEF中， 由勾股定理可知：（3x）2+x2＝52， ∴x＝， ∴CD＝8x＝4. 故答案为：A. 【分析】过点O作OF⊥CD于点F，设CE＝3x，则DE＝5x，OD＝DE＝5x，CD＝8x，由垂径定理可知：DF＝4x，EF＝x，由勾股定理可知OF＝3x，然后在Rt△OEF中，利用勾股定理可求出x，进而可得CD的长. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：如图： 过点O作OE⊥AB交AB于点E， ∴，OB=5 ∴OE=4. ∴4≤OC≤5. ∵OD=5， ∴CD=OC+OD=OC+5， ∴CD的最大值为10，最小值为9. 故答案为：D. 【分析】根据垂径定理求得OE的长度，O为线段AB外一定点，C为AB上动点，根据垂线段最短知道4≤OC≤5.再由CD=OC+OD=5+OC，即可知道CD的范围. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：连接，如图所示： 的半径弦于点，， ， 设半径为， 可知当，，在同一条直线上时最长， 即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ， 故答案为：D． 【分析】如图，连接，根据垂径定理可得，设半径为，结合“的最大值为18”可知当，，在同一条直线上时，进而可得，再运用勾股定理可得，代入计算即可求解。 8．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，∵为的中点 ， ∴OB⊥AC， ∵OB=OC=6，∴圆O的直径为12， 由顶点恰好为该圆直径的三等分点，则当BD=×12=4时， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DE=BE=2， ∴OE=OB-BE=6-2=4， ∴CE=， ∴CD=. 如图，当BD=×12=8时， 由（1）知BE=BD=4， ∴OE=OB-BE=2， ∴CE=， ∴CD=. ∴ 该菱形的边长为 或 . 故答案为：C. 【分析】分两种情况：当BD为直径的时和当BD为直径的时，据此分别画出图形并解答即可. 9．【答案】 【解析】【解答】解：连接OA交CD于G， A为的中点 故答案为：58° 【分析】根据题意给出弧的中点，易联想到垂径定理，故想到连接OA，得到直角三角形；在直角三角形内，由圆半径都相等易证一个内角与已知角相等，另一内角即所求。 10．【答案】50 【解析】【解答】解：根据题意可得：AD=BD=AB=×60=30， 设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10， 在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2， ∴r2=302+（r-10）2， 解得：r=50， 故答案为：50. 【分析】设OA=OB=OC=r，则OD=OC-CD=r-10，再利用勾股定理可得r2=302+（r-10）2，最后求出r的值即可. 11．【答案】4 【解析】【解答】都是的半径，， ， 在Rt△OAD中， 【分析】利用垂径定理和勾股定理求得OB=10，结合OD的值，从而得出结论. 12．【答案】 【解析】【解答】解：如图：作于E，作于F， 根据垂径定理可得：AE=BE，CF=DF，又圆的半径为10， AB⊥CD ， 且AB=CD=16 ，则OB=10，BE=AE=8，故四边形OEFP为矩形，OE=6，则EP=6， 由勾股定理可得： 故答案为：. 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、垂径定理、勾股定理，作于E，作于F，根据垂径定理可得：AE=BE，CF=DF，根据垂径定理及矩形的判定定理可得：四边形OEFP为矩形，从而得到EP的长度，再根据勾股定理求解即可. 13．【答案】（1） （2）解：设主桥拱半径为， ∵，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 因此，这座石拱桥主桥拱半径约为． 【解析】【分析】（1）根据垂径定理即可求出答案. （2）设主桥拱半径为，则，，在中，由勾股定理可得，解方程即可求出答案. 14．【答案】解：设半径OA的长为r mm， 则OA＝OC＝OB＝r mm， ∵弓形高CD＝14mm， ∴OD＝（r﹣14）mm， ∵OC⊥AB，AB＝80mm， ∴AD＝AB＝40mm， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2﹣OD2＝AD2， 即r2﹣（r﹣14）2＝402， 解得：r＝． 答：半径OA的长为mm． 【解析】【分析】设半径OA的长为r mm，可得则OA＝OC＝OB＝r mm，用r表示出OD的值，利用垂径定理可得AD＝AB ，根据勾股定理可得关于r的方程，解方程即可求解. 15．【答案】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图， ∵OH⊥CD，∴CH=DH，AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，∴AC=BD； （2） 【解析】【解答】解： （2）连接OC，如图， 设CH=x.在Rt△OCH中，OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2. 在Rt△OAH中，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，∴42﹣x2=62﹣（3+x）2， 解得：x= ， ∴CD=2CH= . 故答案为：. 【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，AH=BH，利用等量减等量差相等可得到结论； （2）连接OC，如图，设CH=x，利用勾股定理得到OH2=OC2﹣CH2=42﹣x2，OH2=OA2﹣AH2=62﹣（3+x）2，则42﹣x2=62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长. 16．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形． （2）解：过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB． ∵OE⊥AB ∴BD= AB= ×16=8cm 由题意可知，ED=4cm 设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm 在Rt△BOD中，由勾股定理得： OD2+BD2=OB2 ∴（x﹣4）2+82=x2 解得x=10． 即这个圆形截面的半径为10cm 【解析】【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD= AB= ×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $