3.1圆的有关概念（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦圆的基本性质核心知识点，系统梳理圆的概念（圆心、半径、弦、弧等）、点与圆的位置关系（d与r的数量关系）、三角形外接圆与外心（外心位置与三角形类型对应），构建从概念辨析到位置判定再到应用的递进式学习支架。 资料通过“特别提醒”辨析易混概念（如弦与直径、等弧条件）培养抽象能力，“随学随练”结合生活实例（残破圆形配玻璃）发展几何直观，拓展部分归纳分类思想迁移（点与圆到直线与圆）提升推理意识。课中辅助教师突出重难点，课后通过题型分类和练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第3章 圆的基本性质 3.1 圆的有关概念 课标要点 1. 理解圆、圆心、半径、弦、弧等相关概念，能够辨别半圆、优弧与劣弧。 2. 探索点与圆的位置关系，会利用点到圆心的距离和半径的大小关系进行判断。 3. 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆这一结论，理解作图原理。 4. 认识三角形的外接圆、外心，明确外心是三角形三边垂直平分线的交点。 5. 能运用以上概念进行简单识别、说理与基础计算。 学习重难点 重点： 掌握圆、圆心、半径、弦、弧等基本概念，分清优弧、劣弧、半圆。 会依据点到圆心的距离与半径的大小，判断点和圆的位置关系。 理解不在同一直线上的三点确定一个圆，认识三角形外接圆与外心。 难点： 准确辨析弦、直径、弧、等弧等易混淆概念。 理解三角形外心的位置特点以及外心的性质。 运用三点定圆相关知识解决简单作图与推理问题。 知识点 圆的基本构成概念 1.圆心 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合，这个定点就叫做圆心，通常用字母O表示。圆心决定了圆在平面内的位置，只有确定了圆心，才能确定圆画在平面的哪个区域。 2.半径 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示。半径的长度决定了圆的大小，半径越长，圆的面积就越大，周长也越长。在同一个圆中，所有的半径长度都相等。 3.弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径通常用字母d表示。直径是同一个圆中最长的弦，直径的长度等于两倍半径的长度，即d=2r。 4.弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，例如以A、B为端点的弧记作⌒AB。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，比如⌒ABC；小于半圆的弧叫做劣弧，通常用两个点表示。在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 特别提醒 1. 圆心是点不是线段，同一个圆只有一个圆心，找圆形物体圆心的常用方法是两次不同方向对折找折痕交点。 2. 半径是线段，不是长度，描述时要注意区分“半径长为3cm”和“半径是3cm”两种常用表述，后者实际指代长度，属于约定俗成的简化说法。 3. 任意圆上的两点都能连出一条弦，但并不是所有弦都是直径，只有过圆心的弦才是直径，解题时不要默认题目给出的弦一定过圆心。 4. 等弧不仅要求长度相等，还要求弧度相等，只有长度相等的两条弧不一定是等弧；半圆既不是优弧也不是劣弧，是独立的一类弧。 随学随练 1．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 2．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 3．下列说法正确的是（    ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 4．下面命题中，为真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于它的任意一个内角 B．内错角相等 C．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 D．弧长相等的弧是等弧 5．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 知识点 点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，根据d和r的大小关系，可以直接判定点和圆的位置： · 当d < r时，点在圆内 · 当d = r时，点在圆上 · 当d > r时，点在圆外 特别提醒 位置关系和数量关系是一一对应的，可以互相推导，已知位置关系就能得到d和r的大小关系，反过来也成立；这里的距离是点到圆心的直线距离，不是点到圆上某点的距离。 随学随练 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 3．已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 5．若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 知识点 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径。 不同类型三角形的外心位置不同： · 锐角三角形的外心在三角形的内部 · 直角三角形的外心在斜边的中点处，外接圆半径等于斜边长度的一半 · 钝角三角形的外心在三角形的外部 特别提醒 任意一个三角形都有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形；外心是垂直平分线的交点，不是角平分线的交点，不要和内心的概念混淆。 随学随练 1．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 2．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 3．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 4．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 5．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结，，求的长． 拓展 从确定性分类到逻辑分类思想——点与圆位置关系的本质归纳 点与圆的位置关系从表面上看是三种不同的空间位置，其本质可以通过点到圆心的距离(d)与圆半径(r)的数量关系实现完全分类，这种分类恰好对应着逻辑划分的完备性与互斥性要求，是分类讨论思想在几何中的典型应用，我们可以从两个维度进行深度探究： 第一，分类的等价性规律。点在圆内(d<r)，点在圆上，点在圆外( d>r)，这三组关系是双向等价的：既可以根据位置推导出数量关系，也可以根据数量关系判断位置，这种等价性将几何的位置关系转化为代数的数量比较，实现了几何问题代数化，是数形结合思想的基础体现。进一步可以拓展规律：平面上任意两个不同的点，若到圆心的距离相等，则这两个点一定在同一个圆上；反之同一个圆上任意点到圆心距离都等于半径，这个性质也可以反推圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合，圆内是到定点距离小于定长的点的集合，圆外是到定点距离大于定长的点的集合，帮助我们从集合论的角度理解圆的概念，建立整体的点集认知。 第二，分类思想的迁移价值。这种“用数量关系划分几何位置”的分类逻辑，可以迁移到后续所有直线与圆、圆与圆的位置关系学习中：直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离(d)与(r)比较分类，圆与圆的位置关系用圆心距(d)与两个半径(R,r)的和差比较分类，本质都是一致的。掌握这一分类逻辑，就可以自主推导后续位置关系的判定规律，形成可迁移的几何思维方法，提升逻辑推理素养。 活学活用 1．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是______． 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 拓展 从一般到特殊的对应关系——三角形外接圆的核心规律探究 三角形的外接圆是“三点确定圆”的具体应用，我们可以从外心的位置、外心的性质、外心与三角形的关系做深度归纳，探究其中的对应规律： 第1， 外心位置与三角形类型的对应规律。外心是三角形三条边垂直平分线的交点，也就是外接圆的圆心，外心的位置和三角形的形状有明确的对应关系：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，这个对应规律可以通过几何推理证明：对于锐角三角形，任意两边的垂直平分线交点一定在三角形内部，因此外心在形内；对于直角三角形，斜边的中点到三个顶点的距离相等，符合外心的定义，因此外心就是斜边中点，进一步可以推出直角三角形外接圆的半径（(c)为斜边长度），这个结论在几何计算中非常常用；对于钝角三角形，最大角对的边最长，两条边垂直平分线的交点在三角形外部，因此外心在形外。掌握这个对应规律，可以快速判断外心的大致位置，也可以根据外心位置反推三角形的类型，建立形状与位置的对应认知，提升几何直观素养。 第二，实际应用中的规律总结。在实际问题中，三角形外接圆规律可以解决“找圆心”“复原残破圆形”等问题：只需要在残圆上取三个不同点，作出任意两条边的垂直平分线，交点就是圆心，再确定半径就可以画出完整的圆，这就是三点确定圆知识的实际应用，体现了几何知识解决实际问题的价值，提升数学应用素养。 活学活用 1．若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（   ） A．， B． C． D．1，2 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 3．如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 题型 核心概念基础辨析题 解题贴士 · 1.牢记概念本质：圆心是圆的中心确定点，决定圆的位置；半径是圆心到圆上任意一点的线段，决定圆的大小；弦是圆上任意两点的连线，直径是过圆心的特殊弦，因此直径一定是弦，但弦不一定是直径；弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径分圆得到的特殊弧，因此半圆一定是弧，但弧不一定是半圆。 · 2.遇到直径的判断，必须同时满足两个条件：过圆心+两个端点都在圆上，仅过圆心的线段不是直径。 · 3.做概念辨析题时，逐一排除错误选项，记住特殊反例：长度等于半径的弦不是直径，小于半圆的弧是劣弧、大于半圆的弧是优弧，都不属于半圆。 ▌例1 用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． ▌例2．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 ▌对点练1-1下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 ▌对点练1-2．在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． ▌对点练1-3．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 题型 点与圆的位置关系 解题贴士 · 牢记位置关系的判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则d<r时点在圆内，d=r时点在圆上，d>r时点在圆外，三个规则一一对应，不要记混大小关系。 · 如果题目给出点的坐标，先利用勾股定理计算出点到圆心坐标的距离，再和半径比较，若圆心在坐标原点，直接计算点横纵坐标的平方和开根号即可。 · 遇到矩形、直角三角形等图形中判断顶点与圆的位置关系时，先计算顶点到圆心的线段长度，再和半径对比，不要想当然根据图形位置直接判断。 ▌例1．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 ▌例2．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 ▌对点练1-1．已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 ▌对点练1-2．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 ▌对点练1-3．某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 题型 求圆中弦的条数 解题贴士 1. 连接圆上两个点的线段才是弦，直径属于弦，半径不是弦。 2. 两点确定一条弦，优先用组合思路 3. 留意点是否重合、有无三点共直径、是否要求“不重复计数”，剔除不符合题意的线段。 4. 点数较少时，固定一个点依次和其余点连线，有序列举，避免漏数、重复数。 ▌例1如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． ▌例2计算：如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练1-1如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 ▌对点练1-2经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． ▌对点练1-3的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 题型 求过圆内一点的最长弦 解题 1. 过圆内定点的最长弦是**直径。 2. 连接圆心与圆内已知点，延长这条线段和圆相交，两个交点连成的线段即为最长弦。 3. 在圆内所有经过该点的弦里，直径长度等于2R，是圆中最长线段，没有弦能超过直径。 5. 最长弦长度固定 = 圆的直径，只看圆半径，和圆内点的位置无关。 ▌例1已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． ▌例2已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 ▌对点练1-1已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． ▌对点练1-2是内任意一点．若圆的半径为1，则经过点的弦的长度可以是__________．（写一种即可） ▌对点练1-3已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为______________cm 题型 圆的周长和面积问题 解题贴士 1. 核心公式记牢：求周长用或，求面积用，拿到题目先找半径或直径，对应代入公式就能得到基础结果。 2. 半圆类问题注意区分：求半圆的周长要加上直径长度，不能只算圆周长的一半；求半圆面积直接取整圆面积的二分之一即可。 3. 组合图形巧拆分：遇到阴影、环形这类组合图形，先拆分成熟悉的基础圆形或规则图形，分别计算面积或周长后再做加减，就能快速得到正确答案。 ▌例1要画一个周长是的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）． A． B． C． D． ▌例2一个圆的直径由10厘米增加到20厘米，则圆的面积变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C． D． ▌对点练1-1如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． ▌对点练1-3电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为毫米．现有厚度为毫米的胶片，它紧绕在盘上共有圈，那么这盘胶片的总长度约为____________米．（圆周率取计算） 题型 求三角形外心坐标 解题贴士 求三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，核心是利用这个几何性质建立方程求解。若已知三个顶点坐标，可设外心坐标为(x,y)，根据到三点距离相等列出两个二元一次方程，联立求解就能得到坐标结果。对于特殊三角形可快速判断：直角三角形外心在斜边中点，锐角三角形在三角形内部，钝角三角形在外部，能直接简化计算 解 ▌例1如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． ▌例2如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图中外接圆的圆心坐标是______． ▌对点练1-3．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 题型 判断三角形外接圆的圆心位置 解题贴士 三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。 若三角形是锐角三角形，外心位于三角形的内部；若三角形是直角三角形，外心恰好落在斜边的中点处；若三角形是钝角三角形，外心则位于三角形的外部。 我们可以通过三角形的类型直接快速判定外接圆圆心的位置，这一性质也可以用来辅助解决三角形与圆相关的几何计算与证明问题。 解 ▌例1三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 ▌例2如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G ▌对点练1-1如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ▌对点练1-2如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． ▌对点练1-3已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 基础通关 1．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 2．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 3．已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 5．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 6．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 7．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 9．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 10．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 11．如图，是的弦，，若，则的长为__________． 12．周长为的圆，面积为_______．（取）． 13．是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 14．中，，，则的外接圆的半径为______． 15．如图外接圆的圆心坐标是___________． 素养提升 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 2．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．有一个边长为50 cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( ) A．50cm B．cm C． cm D．cm 5．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 6．如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 7．如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 9．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是___________ 迁移创新 1．我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 2．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质 3.1 圆的有关概念 课标要点 1. 理解圆、圆心、半径、弦、弧等相关概念，能够辨别半圆、优弧与劣弧。 2. 探索点与圆的位置关系，会利用点到圆心的距离和半径的大小关系进行判断。 3. 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆这一结论，理解作图原理。 4. 认识三角形的外接圆、外心，明确外心是三角形三边垂直平分线的交点。 5. 能运用以上概念进行简单识别、说理与基础计算。 学习重难点 重点： 掌握圆、圆心、半径、弦、弧等基本概念，分清优弧、劣弧、半圆。 会依据点到圆心的距离与半径的大小，判断点和圆的位置关系。 理解不在同一直线上的三点确定一个圆，认识三角形外接圆与外心。 难点： 准确辨析弦、直径、弧、等弧等易混淆概念。 理解三角形外心的位置特点以及外心的性质。 运用三点定圆相关知识解决简单作图与推理问题。 知识点 圆的基本构成概念 1.圆心 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合，这个定点就叫做圆心，通常用字母O表示。圆心决定了圆在平面内的位置，只有确定了圆心，才能确定圆画在平面的哪个区域。 2.半径 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通常用字母r表示。半径的长度决定了圆的大小，半径越长，圆的面积就越大，周长也越长。在同一个圆中，所有的半径长度都相等。 3.弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径通常用字母d表示。直径是同一个圆中最长的弦，直径的长度等于两倍半径的长度，即d=2r。 4.弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，例如以A、B为端点的弧记作⌒AB。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，一般用三个点表示，比如⌒ABC；小于半圆的弧叫做劣弧，通常用两个点表示。在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 特别提醒 1. 圆心是点不是线段，同一个圆只有一个圆心，找圆形物体圆心的常用方法是两次不同方向对折找折痕交点。 2. 半径是线段，不是长度，描述时要注意区分“半径长为3cm”和“半径是3cm”两种常用表述，后者实际指代长度，属于约定俗成的简化说法。 3. 任意圆上的两点都能连出一条弦，但并不是所有弦都是直径，只有过圆心的弦才是直径，解题时不要默认题目给出的弦一定过圆心。 4. 等弧不仅要求长度相等，还要求弧度相等，只有长度相等的两条弧不一定是等弧；半圆既不是优弧也不是劣弧，是独立的一类弧。 随学随练 1．下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 2．一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 3．下列说法正确的是（    ） A．弦是直径 B．半圆是弧 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径 【答案】B 【分析】此题考查了圆的相关性质，根据圆的弦、弧、直径等相关知识进行判断即可．熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 【详解】直径是经过圆心的弦，不是所有的弦都是直径，故A错误； 圆上任意两点间的部分是弧，所以半圆是弧，故B正确； 只有在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，故C错误； 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线，故D错误． 故选：B． 4．下面命题中，为真命题的是（    ） A．三角形的一个外角大于它的任意一个内角 B．内错角相等 C．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 D．弧长相等的弧是等弧 【答案】C 【分析】根据三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义判断求解即可． 【详解】解：三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角，故A选项不符合题意； 两直线平行，内错角相等，故B不符合题意； 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故C符合题意； 在同圆或等圆中，弧长相等的弧是等弧，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了命题与定理，熟记三角形外角性质、平行线的性质、正方形的判定定理、等弧的定义是解题的关键． 5．下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了圆的认识．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，但弦不一定是直径，故原说法错误； ②半圆是弧，说法正确； ③过圆心的弦是直径，故原说法错误； ④圆心相.同半径不同的两个圆是同心圆，故原说法错误． 故答案为：①③④． 知识点 点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，根据d和r的大小关系，可以直接判定点和圆的位置： · 当d < r时，点在圆内 · 当d = r时，点在圆上 · 当d > r时，点在圆外 特别提醒 位置关系和数量关系是一一对应的，可以互相推导，已知位置关系就能得到d和r的大小关系，反过来也成立；这里的距离是点到圆心的直线距离，不是点到圆上某点的距离。 随学随练 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 3．已知的半径是3，点在上，则点到圆心的距离满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在圆上时，点到圆心的距离与半径相等，即可求解． 【详解】解：∵点在上，的半径为3， ∴． 4．如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 5．若的半径为8，，且点在外，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径求解即可． 【详解】解：∵的半径为8，，且点在外， ∴的取值范围为． 知识点 三角形的外接圆 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径。 不同类型三角形的外心位置不同： · 锐角三角形的外心在三角形的内部 · 直角三角形的外心在斜边的中点处，外接圆半径等于斜边长度的一半 · 钝角三角形的外心在三角形的外部 特别提醒 任意一个三角形都有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形；外心是垂直平分线的交点，不是角平分线的交点，不要和内心的概念混淆。 随学随练 1．如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 2．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 3．平面内，，，，五个点如图．过点______所作的圆的半径最大．（从中选填三个点） 【答案】A、E、C 【分析】本题主要考查了圆的认识、三角形的外接圆等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线，再结合图形即可得解． 【详解】解：要使过三个点的圆的半径最大，我们需要选择这三个点使得它们形成的三角形尽可能“平坦”，即接近共线； 因为当三个点接近共线时，它们所确定的圆的半径会趋向于无穷大， 由图可知点A、E、C三点接近共线，符合题意， 故答案为：A、E、C． 4．已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 5．如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． (1)画出的外接圆圆心． (2)连结，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在正方形网格中，先画出的正方形网格的对角线，即EF，则EF为AB的中垂线，AC长度为4，取AC中点所在网格线即GH，则GH为AC中垂线 ，连接EF，GH交于点O，即为的外接圆圆心． （2）根据正方形边长为1，求出以BC为斜边的直角三角形BCM中BM、CM的长度，再利用勾股定理求出BC的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图，连接BM，CM， ∴△BCM为直角三角形， ， ∴ ． 【点睛】本题考查三角形外接圆、勾股定理，熟练掌握定义是解题关键． 拓展 从确定性分类到逻辑分类思想——点与圆位置关系的本质归纳 点与圆的位置关系从表面上看是三种不同的空间位置，其本质可以通过点到圆心的距离(d)与圆半径(r)的数量关系实现完全分类，这种分类恰好对应着逻辑划分的完备性与互斥性要求，是分类讨论思想在几何中的典型应用，我们可以从两个维度进行深度探究： 第一，分类的等价性规律。点在圆内(d<r)，点在圆上，点在圆外( d>r)，这三组关系是双向等价的：既可以根据位置推导出数量关系，也可以根据数量关系判断位置，这种等价性将几何的位置关系转化为代数的数量比较，实现了几何问题代数化，是数形结合思想的基础体现。进一步可以拓展规律：平面上任意两个不同的点，若到圆心的距离相等，则这两个点一定在同一个圆上；反之同一个圆上任意点到圆心距离都等于半径，这个性质也可以反推圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合，圆内是到定点距离小于定长的点的集合，圆外是到定点距离大于定长的点的集合，帮助我们从集合论的角度理解圆的概念，建立整体的点集认知。 第二，分类思想的迁移价值。这种“用数量关系划分几何位置”的分类逻辑，可以迁移到后续所有直线与圆、圆与圆的位置关系学习中：直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离(d)与(r)比较分类，圆与圆的位置关系用圆心距(d)与两个半径(R,r)的和差比较分类，本质都是一致的。掌握这一分类逻辑，就可以自主推导后续位置关系的判定规律，形成可迁移的几何思维方法，提升逻辑推理素养。 活学活用 1．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 【详解】解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 2．在平面直角坐标系中，点B的坐标为，的半径为，若点B在内，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法．设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆内，由此得到，即可求出的取值范围． 【详解】解：点B到圆心O的距离， ∵点B在内， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 3．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】(1)点B在内，点C在外，点D在上 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 拓展 从一般到特殊的对应关系——三角形外接圆的核心规律探究 三角形的外接圆是“三点确定圆”的具体应用，我们可以从外心的位置、外心的性质、外心与三角形的关系做深度归纳，探究其中的对应规律： 第1， 外心位置与三角形类型的对应规律。外心是三角形三条边垂直平分线的交点，也就是外接圆的圆心，外心的位置和三角形的形状有明确的对应关系：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，这个对应规律可以通过几何推理证明：对于锐角三角形，任意两边的垂直平分线交点一定在三角形内部，因此外心在形内；对于直角三角形，斜边的中点到三个顶点的距离相等，符合外心的定义，因此外心就是斜边中点，进一步可以推出直角三角形外接圆的半径（(c)为斜边长度），这个结论在几何计算中非常常用；对于钝角三角形，最大角对的边最长，两条边垂直平分线的交点在三角形外部，因此外心在形外。掌握这个对应规律，可以快速判断外心的大致位置，也可以根据外心位置反推三角形的类型，建立形状与位置的对应认知，提升几何直观素养。 第二，实际应用中的规律总结。在实际问题中，三角形外接圆规律可以解决“找圆心”“复原残破圆形”等问题：只需要在残圆上取三个不同点，作出任意两条边的垂直平分线，交点就是圆心，再确定半径就可以画出完整的圆，这就是三点确定圆知识的实际应用，体现了几何知识解决实际问题的价值，提升数学应用素养。 活学活用 1．若一个等边三角形的边长为，则其内切圆与外接圆的半径分别为（   ） A．， B． C． D．1，2 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的外接圆和内接圆，掌握等边三角形的性质、三角形外接圆和内接圆的概念、根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【详解】解：如图，设等边三角形的中心为O， ， 连接，延长交于点E，则， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为外接圆的半径，为内切圆的半径，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴内切圆与外接圆的半径分别为1和2， 故选：D． 2．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 题型 核心概念基础辨析题 解题贴士 · 1.牢记概念本质：圆心是圆的中心确定点，决定圆的位置；半径是圆心到圆上任意一点的线段，决定圆的大小；弦是圆上任意两点的连线，直径是过圆心的特殊弦，因此直径一定是弦，但弦不一定是直径；弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径分圆得到的特殊弧，因此半圆一定是弧，但弧不一定是半圆。 · 2.遇到直径的判断，必须同时满足两个条件：过圆心+两个端点都在圆上，仅过圆心的线段不是直径。 · 3.做概念辨析题时，逐一排除错误选项，记住特殊反例：长度等于半径的弦不是直径，小于半圆的弧是劣弧、大于半圆的弧是优弧，都不属于半圆。 ▌例1 用圆规画一个直径是的圆，圆规两脚间的距离应该是（   ） A． B． C． 【答案】A 【分析】求出半径即可得解． 【详解】解：用圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，同一个圆中直径， 本题中圆的直径， ∴， 因此圆规两脚间的距离应为． ▌例2．下列说法中，正确的是（   ） A．圆是由到圆心的距离大于半径的所有点组成的图形 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【分析】根据圆的相关基础概念，逐一辨析各选项概念即可判断对错． 【详解】解：∵圆是平面内到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形，到圆心距离大于半径的点组成圆外区域， ∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆， ∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意； ∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确； ∴D选项正确． ▌对点练1-1下列说法正确的是（    ） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正误． 【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意； B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意； D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D选项表述一致，故此选项正确，符合题意． 故选：D． ▌对点练1-2．在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【答案】② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． ▌对点练1-3．如图，在中，弦有________，直径有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】 AB，AC AC ， ， 【分析】本题考查了圆的弦、直径、劣弧、优弧，掌握这些定义是解题的关键． 本题根据弦的定义：连接圆上任意两点的线段；直径的定义：经过圆心的弦；劣弧的定义：小于半圆的弧；优弧的定义：大于半圆的弧即可解决问题． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段， ∴图中的弦有：； ∵直径是经过圆心的弦， ∴图中的直径有：； ∵劣弧是小于半圆的弧， ∴图中的劣弧有：， ∵优弧是大于半圆的弧， ∴图中的优弧有：，． 故答案为：；；，；，． 题型 点与圆的位置关系 解题贴士 · 牢记位置关系的判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则d<r时点在圆内，d=r时点在圆上，d>r时点在圆外，三个规则一一对应，不要记混大小关系。 · 如果题目给出点的坐标，先利用勾股定理计算出点到圆心坐标的距离，再和半径比较，若圆心在坐标原点，直接计算点横纵坐标的平方和开根号即可。 · 遇到矩形、直角三角形等图形中判断顶点与圆的位置关系时，先计算顶点到圆心的线段长度，再和半径对比，不要想当然根据图形位置直接判断。 ▌例1．点与圆的位置关系中，若点到圆心的距离大于半径，则该点在（     ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．圆心 【答案】C 【详解】解：∵点到圆心的距离大于半径， ∴该点在圆外． ▌例2．如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． ▌对点练1-1．已知的直径为，点M不在内，则的长（   ） A．大于 B．不小于 C．大于 D．不小于 【答案】B 【分析】先根据圆的直径求出半径，再结合点与圆的位置关系判断的长度范围，点不在圆内包含点在圆上和点在圆外两种情况． 【详解】解：∵的直径为， ∴的半径， ∵点不在内， ∴点在上或外， ∴，即的长不小于． ▌对点练1-2．已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． ▌对点练1-3．某圆形桌面，圆心为O，半径为，桌面上有一点P，则线段的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点P在圆形桌面上，可得点P在圆内或圆上，由此得到的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵点在圆形桌面上，圆形桌面所在圆的半径，圆心为， ∴点在内或上， ∴， 故观察选项，只有符合该范围． 题型 求圆中弦的条数 解题贴士 1. 连接圆上两个点的线段才是弦，直径属于弦，半径不是弦。 2. 两点确定一条弦，优先用组合思路 3. 留意点是否重合、有无三点共直径、是否要求“不重复计数”，剔除不符合题意的线段。 4. 点数较少时，固定一个点依次和其余点连线，有序列举，避免漏数、重复数。 ▌例1如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． ▌例2计算：如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据弦的定义求解即可． 【详解】解：根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫圆的弦． ▌对点练1-1如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了弦的定义，熟练掌握弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．根据弦的定义即可解答． 【详解】解：图中的弦有、这2条． 故选：A． ▌对点练1-2经过圆内一点可作圆的________条弦，其中最长的弦是________． 【答案】 无数 直径 【分析】本题主要考查了弦的概念，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据连接圆上任意两点间的线段是弦，经过圆内一点可以作无数条直线与圆相交，从而形成无数条弦；根据圆中最长的弦是直径即可解答． 【详解】解：经过圆内一点可作圆的无数条弦，其中最长的弦是直径． 故答案为：无数；直径． ▌对点练1-3的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有________个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 题型 求过圆内一点的最长弦 解题 1. 过圆内定点的最长弦是**直径。 2. 连接圆心与圆内已知点，延长这条线段和圆相交，两个交点连成的线段即为最长弦。 3. 在圆内所有经过该点的弦里，直径长度等于2R，是圆中最长线段，没有弦能超过直径。 5. 最长弦长度固定 = 圆的直径，只看圆半径，和圆内点的位置无关。 ▌例1已知的半径为，则中弦的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，根据直径是圆的最大的弦解答，即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的直径为， ∴中弦的长度小于等于， 故选：D． ▌例2已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦， ∵的半径是3， ∴两点间的最长距离是6． 故选：B ． ▌对点练1-1已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为5， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． ▌对点练1-2是内任意一点．若圆的半径为1，则经过点的弦的长度可以是__________．（写一种即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了弦的性质，由是内任意一点，圆的半径为1，可得经过点的弦长的取值范围，即可得出答案，注意答案不唯一． 【详解】解：∵是内任意一点，圆的半径为1， ∴经过点的弦的长， ∴经过点的弦的长度可以是1（答案不唯一）， 故答案为：1（答案不唯一）． ▌对点练1-3已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为______________cm 【答案】8cm． 【详解】试题分析：⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长． 试题解析：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm， ∴⊙O的半径为8cm． 考点：圆的认识． 题型 圆的周长和面积问题 解题贴士 1. 核心公式记牢：求周长用或，求面积用，拿到题目先找半径或直径，对应代入公式就能得到基础结果。 2. 半圆类问题注意区分：求半圆的周长要加上直径长度，不能只算圆周长的一半；求半圆面积直接取整圆面积的二分之一即可。 3. 组合图形巧拆分：遇到阴影、环形这类组合图形，先拆分成熟悉的基础圆形或规则图形，分别计算面积或周长后再做加减，就能快速得到正确答案。 ▌例1要画一个周长是的圆，圆规两脚之间的距离是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是解题的关键．根据圆的周长半径，用圆的周长求出圆的半径，即圆规两脚之间的距离． 【详解】 所以圆规两脚之间的距离是． 故选：A． ▌例2一个圆的直径由10厘米增加到20厘米，则圆的面积变为原来的（　　） A．2倍 B．4倍 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，圆的面积等于半径的平方乘以圆周率，据此分别计算出变化前后的圆的面积即可得到答案． 【详解】解：原来圆的面积：（平方厘米）， 新圆的面积：（平方厘米）， ∴圆的面积变为原来的（倍）， 故选：B． ▌对点练1-1如图，在中，，弦的长为3，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的面积公式，证明为等边三角形得出，再由圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：D． ▌对点练1-2如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了减法的性质，转化的数学思想﹒根据减法的性质可以得到的值为的值，计算即可求解﹒ 【详解】解：因为阴影部分为大圆和小圆的公共部分， 所以﹒ 故答案为：﹒ ▌对点练1-3电影胶片绕在盘上，空盘的盘心直径为毫米．现有厚度为毫米的胶片，它紧绕在盘上共有圈，那么这盘胶片的总长度约为____________米．（圆周率取计算） 【答案】 【分析】本题考查了圆环柱的应用，解题的关键是求出圆环柱的体积和胶片的底面积．根据题意，可设圆柱形的高度为毫米，分别求得中间孔的半径，大圆的半径，再根据圆环柱的体积除以胶片的底面积即可求解． 【详解】解：设圆柱形的高度为毫米， 中间孔的半径为（毫米） 外圆半径（毫米） 总长度 （毫米） 毫米（米） 答：这盘胶片的总长度约为米． 故答案为：． 题型 求三角形外心坐标 解题贴士 求三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，核心是利用这个几何性质建立方程求解。若已知三个顶点坐标，可设外心坐标为(x,y)，根据到三点距离相等列出两个二元一次方程，联立求解就能得到坐标结果。对于特殊三角形可快速判断：直角三角形外心在斜边中点，锐角三角形在三角形内部，钝角三角形在外部，能直接简化计算 解 ▌例1如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心． 依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，观察图象，可直接得出外心的坐标． 【详解】解：∵三角形的外心是各边的垂直平分线的交点， 图中已明确出各边垂直平分线以及其交点， 观察图象，可直接得出外心坐标为， 故选A． ▌例2如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． ▌对点练1-2如图中外接圆的圆心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形外心的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，即外心是三角形三边中垂线的交点． 【详解】解：和的垂直平分线的交点即为的外接圆的圆心，由图知．     故答案为：． ▌对点练1-3．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的重心和外心，能够掌握三角形的外心和重心的性质是解题的关键； 画出图形，找到三角形的重心与外心，利用重心和外心的性质求距离即可． 【详解】解：如图，点D为三角形外心，点I为三角形重心，为所求， ∵等腰中，， ∴ ∵直角三角形的外心是斜边的中点， ∴， ∵I是的重心， ∴是三角形三条中线的交点， ∴， 故答案为：． 题型 判断三角形外接圆的圆心位置 解题贴士 三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，等于外接圆的半径。 若三角形是锐角三角形，外心位于三角形的内部；若三角形是直角三角形，外心恰好落在斜边的中点处；若三角形是钝角三角形，外心则位于三角形的外部。 我们可以通过三角形的类型直接快速判定外接圆圆心的位置，这一性质也可以用来辅助解决三角形与圆相关的几何计算与证明问题。 解 ▌例1三角形的外心是（   ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三个内角平分线的交点 【答案】C 【分析】直接根据外心的定义即可选出正确答案. 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点. ▌例2如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G都在小正方形的顶点上，则的外心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外心，熟练掌握三角形的外心的定义是解题关键．根据三角形的外心：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特点画出的垂直平分线，由此即可得． 【详解】解：结合网格，画出的垂直平分线如图所示： 则的外心是点． 故选：A． ▌对点练1-1如图，在的正方形网格中，A，B在格点上，在网格中找一个格点C，使的外心也在该正方形网格的格点上，这样的点C有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心，根据三角形的外心是三角形三条边的线段垂直平分线的交点，结合网格，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，满足题意，共2个， 故选：C． ▌对点练1-2如图，正方形网格中，三点均在格点上，那么的外接圆圆心是点__________． 【答案】G 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，圆的定义，根据线段垂直平分线的性质确定圆心的位置是解题的关键．连接，作线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点G， 则点G即为所求作的点． 【详解】解：如图，点G即为所求作的点． 故答案为：G． ▌对点练1-3已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的重心和外心，掌握等腰直角三角形的性质和三角形外接圆的半径的求法是解题关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再由重心的性质即可得出结果． 【详解】解：如图等腰直角三角形，，为外心，为重心， ∴， ∴， ∵为重心， ∴， 故答案为：． 基础通关 1．已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 【详解】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 2．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离与半径作比较；根据点与圆的位置关系判定规则，比较点P到圆心O的距离与半径的大小，即可确定的位置． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∴点在内， 故选：A． 3．已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 4．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 5．一个圆形花坛，周长是，在距花坛边的外面围上一圈栏杆，栏杆的长（取）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的周长公式，先根据花坛周长求出花坛半径，再得到栏杆围成圆的半径，最后计算栏杆周长． 【详解】解：设花坛半径为，栏杆围成圆的半径为， ∵， ∴， ∵栏杆在距花坛边的外侧， ∴， ∴栏杆周长． 6．已知的半径为5，则中弦的长度不可能是（    ） A．1 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了圆的性质中弦长的性质，根据圆的弦的性质，弦的长度不能超过直径，半径为5，直径为10，因此弦长不可能大于10． 【详解】解：∵的半径为5， ∴直径长为10， ∵弦的长度满足， ∴的长度不可能为11， 故选：D． 7．下列说法： ①三点确定一个圆； ②平分一条弦的直径垂直于这条弦； ③长度相等的弧是等弧； ④三角形只有一个外接圆． 其中真命题有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②平分一条弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④三角形只有一个外接圆，正确，是真命题，符合题意． 真命题有1个． 8．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解. 【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点， ∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上， ∴，. 设外接圆半径，在中，. ∵， ∴， 由勾股定理得 ， 代入得 ， 整理得 ， ， ∵， ∴. 9．下列三角形的外心一定在该三角形外部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外心，掌握相关知识是解题的关键．根据锐角三角形的外心在三角形内部，如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是直角三角形，如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是钝角三角形，即可判断． 【详解】解：因为钝角三角形的外心在它的外部， 由题意得知，只有D选项为钝角， 故选：D． 10．小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 11．如图，是的弦，，若，则的长为__________． 【答案】 【分析】由题意得是等腰直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 是等腰直角三角形， ． 12．周长为的圆，面积为_______．（取）． 【答案】 【分析】本题考查圆的周长公式与圆的面积公式，先根据已知周长求出圆的半径，再代入面积公式计算即可得到结果. 【详解】解：已知圆的周长 ，. 由圆的周长公式，可得圆的半径 . 由圆的面积公式，代入 ，得 . 13．是以为斜边的直角三角形，其外接圆半径，则斜边的长度为___________． 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆中，斜边是外接圆的直径，即斜边长度等于外接圆半径的2倍．先根据直角三角形外接圆的性质确定斜边与外接圆直径的关系，再结合已知半径计算斜边长度． 【详解】解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴斜边是其外接圆的直径， ∴． 14．中，，，则的外接圆的半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．已知中，，，斜边是外接圆的直径，因而外接圆的半径等于5． 【详解】解：，， 外接圆的半径等于5． 故答案为5. 15．如图外接圆的圆心坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的特点，画出圆心，即可求解． 【详解】解：如图，点即为外接圆的圆心坐标 故答案为：． 素养提升 1．下列说法正确的是（     ） A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．长度相等的弧是等弧 C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形 D．三个点确定一个圆 【答案】C 【分析】根据圆的相关性质与菱形的判定定理，逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径才垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，当弦本身是直径时结论不成立，故该选项错误； B．等弧是能完全重合的弧，必须在同圆或等圆中长度相等的弧才是等弧，仅长度相等不能保证是等弧，故该选项错误； C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故该选项正确； D．不在同一直线上的三个点才能确定一个圆，三点共线时无法确定一个圆，故该选项错误． 2．如图，扇形，点C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则，根据等边对等角与三角形内角和定理得到，，根据即可求出的度数． 【详解】解：连接，则， ∴， ， ∴． 3．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 4．有一个边长为50 cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( ) A．50cm B．cm C． cm D．cm 【答案】C 【详解】试题解析：根据题意，知圆盖的直径至少应为正方形的对角线的长；再根据勾股定理，得圆盖的直径至少应为：． 故选C． 5．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 6．如图，A为上一点，按以下步骤作图：①连接，②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B；③在射线上截取；④连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，证明，再利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，为的直径，弦与交于点E，已知，，则的度数为________． 【答案】/120度 【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，再利用圆的半径相等得到，进而求出的度数，最后利用角的和差关系及邻补角定义求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是、、是的外接圆，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键．过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，则，即点的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，则点是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，作于，连接，作的垂直平分线，垂足为，交于，连接． ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， 又∵垂直平分， ∴和的交点即为的外心M， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 9．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是___________ 【答案】①③/③① 【分析】本题考查等弧，直径的概念，弦与圆心角的关系，三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，据此一一判断即可， 【详解】解：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．正确． ②两条弧的度数相等，它们不一定是等弧，原说法错误； ③直径是圆中最长的弦，正确； ④两条弦相等，这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误． 故答案为：①③． 迁移创新 1．我们知道：三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点叫做三角形的外心．对于三角形的外心，课本第138页有如下一个关于角度的问题： 5．如图，在中，，边、的垂直平分线相交于点P，连接、．求的度数． 对于类似的问题会不会有一般性的结论呢？ (1)如图1，在锐角三角形中， ①请用直尺和圆规作出的外心O（保留作图痕迹）； ②在所作图中连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (2)如图2，在钝角三角形中，，点O是的外心，连接、，如果设，那么 （用含的式子表示）； (3)如果三角形的外心恰好落在这个三角形的一条边上，那么这个三角形的最大角的度数是 度； (4)通过以上问题的解决，对于三角形的外心的位置你能得到怎样的结论？请写出得到的结论． 【答案】(1)解：①如图，外心即为所求； ② (2) (3) (4)解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部. 【分析】（1）①分别作的垂直平分线，交点即为所求；②利用线段的垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （2）连接，结合外心的性质，等腰三角形的性质与三角形的内角和定理解答即可； （3）先画图，再结合外心与等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答即可； （4）根据（1）（2）（3）进行归纳总结即可. 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， ∵为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. （3）解：如图，为三角形的外心， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大角为. （4）略 2．投掷铅球比赛中，裁判员一般按以下步骤测量并给出成绩： 1．将皮尺的零刻度线拉至铅球落点； 2．将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心； 3．将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩． 乐乐投掷铅球后（如图1），裁判员将皮尺零刻度线拉至铅球落点，皮尺的另一端拉长经过投掷区的圆心，交抵趾板内沿于点，测量落点到投掷区圆心点的距离为12.7米，乐乐铅球的成绩是9.2米． (1)投掷区所在圆的半径长为_____米； (2)如图2，如果测量时错选了抵趾板内沿的点（点与不重合），测量铅球落点到点的距离作为成绩，那么这个成绩相较于实际成绩偏大还是偏小呢？请说明理由． 解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴_____________． 在中，_____（_____________________）， ． ∴_________________________． 即这个成绩相较于实际成绩_____．（填“偏小”或“偏大”） 【答案】(1)3.5 (2)；；两点之间，线段最短；；偏大 【分析】（1）根据题意得，米，米，然后相减求解即可； （2）根据半径相等得到，然后结合两点之间，线段最短列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，米，米 ∴（米） ∴投掷区所在圆的半径长为3.5米； （2）解：连接、． 和都是投掷区所在圆的半径， ∴． 在中，（两点之间，线段最短）， ． ∴． 即这个成绩相较于实际成绩偏大． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $