第五章 三角函数（二）（复习讲义）高一数学人教A版2019必修第一册

第五章 三角函数（二）（两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换、函数y＝Asin（ωx＋φ））（复习讲义） 1、经历推导两角差余弦公式的过程，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，.熟练利用和差角公式和二倍角公式进行化简、求值和证明，进一步由和角公式推导二倍角公式，提升逻辑推理素养. 2、会用二倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，了解半角公式的结构形式，会用两角和、差的正、余弦公式，推导积化和差、和差化积公式(不要求记忆)，进行简单的化简、求值、证明. 3、通过研究参数A，ω，对函数y=Asin(ωx+)图象的影响以及函数图象的变换过程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 一、两角和与差的余弦公式 1、公式 : : 2、记忆要诀：两角差（和）的余弦值等于两角的余弦值乘积加上（减去）两角的正弦值乘积． 3、使用范围：为任意角，可以是一个角也可以是角的组合． 二、两角和与差的正弦公式 1、公式 : : 2、记忆要诀：记忆时要与两角和与差的余弦公式区分开来，两角和与差的正弦公式右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左端的连接符号相同． 3、使用范围：为任意角，可以是一个角也可以是角的组合． 三、两角和与差的正切公式 1、公式 :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：； 2、记忆要诀：公式右端为分式形式，其中分子为与的和或差，分母为1与的差或和；分子上的加减号与左端的加减号相同，分母的加减号与左端的加减号相反． 四、二倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用 ：，，． ：． ：，． （2）配方变形：． （3）因式分解变形：． （4）升幂公式：；． （5）降幂公式：；；；． 五、半角公式与万能公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 六、积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 七、辅助角公式 1、辅助角公式的推导 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 八、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1、A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. 2、φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. 3、ω决定了函数的周期 4、振幅变换 要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 5、平移变换 要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 6、周期变换 要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 7、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 8、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 九、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 十、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期T＝. 3、简谐运动的频率f＝＝. 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 十一、建立函数模型的一般步骤 十二、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 十三、解三角函数应用问题的基本步骤 十四、建立三角函数拟合模型的注意事项 1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． 2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． 3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 两角和与差公式的直接应用 1．（24-25高一下·广东汕头·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦的和角公式，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】， 故选：A 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数值，进行计算，即可求解. 【详解】由. 故选：C. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据诱导公式以及两角差的正切公式计算可得结果. 【详解】. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方关系求出，然后结合和角的余弦公式可得. 【详解】因为，且是第三象限角，所以， 则， 故选：D 5．已知，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再利用和角的正切求解即得. 【详解】由，得，解得， 所以． 故选：D 6．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦公式，以及切化弦可求得，的值，进而利用两角和的余弦公式可求值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A. 7．（24-25高一下·海南·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用两角差的正弦公式计算． 【详解】由得到，即，即， 已知，则， 根据两角差的正弦公式，得． 故选：C． 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据余弦两角和差公式，求出和，进而求出结果. 【详解】， 则，， 解得，得， 即， 故选：B. 题型二 两角和与差公式的逆运用 1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用差角的正弦公式求解. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【详解】 . 故选：B. 3．的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】 . 故选：D. 4．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】运用拆角变换，逆用差角的正弦公式，化简函数式，即可求得其最值. 【详解】因 ，故其最大值为1. 故选：A. 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 【答案】7. 【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解. 【详解】已知， 则， 即， 则， 则， 则. 故答案为：7. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的正切公式的逆用结合诱导公式求解即可. 【详解】， 故选：D 7．若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用正切的两角差公式，即可求值. 【详解】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 题型三 二倍角公式 1．（24-25高一下·山东枣庄·期末）有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由二倍角的正余弦，正切公式可得. 【详解】，①正确； ，②正确； 因为， 所以，③正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式及诱导公式可得解. 【详解】由已知， 则， 故选：B. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题的核心在于灵活运用和差公式、二倍角公式等进行化简，关键点在于将分母展开，并通过变量代换将原式转化为关于的方程，最终利用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得． 故选：B. 4．（23-24高一下·江苏南通·月考）（多选题）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据三角函数的定义分别求出的值，再利用二倍角公式计算即可一一判断. 【详解】由题意，, 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，因，，则，故C项错误； 对于D项，，故D项正确. 故选：BD. 5．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式得到，由余弦二倍角公式求出答案. 【详解】由可得， 故. 故答案为： 6．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】将已知式平方后利用同角三角函数基本关系式及正弦的二倍角公式计算即得. 【详解】∵， ∴， ∴. 7．（24-25高一下·重庆江北·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 8．已知，则 ． 【答案】1 【分析】利用二倍角的余弦公式以及两角和差的余弦公式化简即可求出，再利用公式即可. 【详解】由题意得，， 得， 则. 故答案为： 9．若，则 ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 10．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式对等式进行化简，然后结合角的取值范围求出的值，最后根据二倍角公式求出即可. 【详解】由二倍角公式可得，即， ，，故上式化为， . 故答案为：. 题型四 降幂公式 1．（23-24高一下·江苏镇江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用降幂公式和诱导公式化简可得答案. 【详解】，解得：， 故选：D 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用降幂公式，再利用二倍角公式化简即得解. 【详解】由已知，化简得． 平方得， 所以． 故选：A． 3．已知，则是（   ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 【答案】A 【分析】利用三角降幂公式和诱导公式将函数化简为，即可判断奇偶性和周期性. 【详解】因， 故为奇函数，且最小正周期为. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·单元测试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：利用降幂公式运算求解即可；解法二：利用诱导公式可得，结合倍角公式运算求解. 【详解】解法一：． 解法二：， 所以． 故选：B. 5．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式，以及二倍角的余数公式，化简等式，再利用两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式，即可求解. 【详解】根据题意，，即， 即，即，所以， 所以， 因为，所以，， 又，所以， 则. 故答案为： 题型五 辅助角公式 1．（24-25高一下·四川资阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和辅助角公式即可化简并求解函数的周期. 【详解】由， 所以函数的周期为， 故选：B． 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）函数的最大值是（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得. 【详解】，由正弦函数的值域可得其最大值为. 故选：C 3．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 4．（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选题）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式、两角和的正弦公式，即可化简原式，又函数为偶函数，列出等式即可求得结果. 【详解】由题意知 ， 所以，又函数为偶函数， 所以，，即，， 所以当时，；当时，. 故选:BD. 5．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用和角公式展开，再用辅助角公式将其化成正弦型函数即可求得最大值. 【详解】由 ， 可得. 故答案为：. 6．（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知函数． (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换的化简计算可得，结合整体代换法计算即可求解； （2）由不等式的性质可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得：， 的单调增区间为； （2）， ， 即其值域为． 题型六 给值求值问题 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据角的终边所经过的点计算角的正弦值和余弦值，根据的余弦值计算其正弦值，最后将所有已知量代入两角差的余弦公式计算即可. 【详解】依题意，，， 由可知， 则或. 故选：D. 3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角关系，结合余弦的和角公式即可代入求解. 【详解】由可得，， 由，得，， 故， 故选：C 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和平方后相加，结合的值，建立方程求解. 【详解】∵，则令①， ∵②， 由①2＋②2得， 又，∴． ∴． 故选：A. 5．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据和差公式及辅助角公式化解得，再利用二倍角公式可求得值. 【详解】， ， 故答案为：. 6．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据和的范围，确定和的范围，求出和；再由，结合两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】，，，， ，， ，. . 故答案为：. 题型七 给值求角问题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知求出、和，接着结合两角和的余弦公式求即可得解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，， 所以， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则 ， 所以， 故选：A． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由条件可得，从而得到的值，再由的范围，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以， 则， 且，，， 则. 故答案为： 4．（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角关系可得，再结合倍角公式运算求解； （2）先根据同角三角关系求，再利用两家和差公式可求，即可得结果. 【详解】（1）因为，，则，， 所以. （2）因为，，则， 则， 且，所以. 5．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由同角的三角函数关系得到，再利用差角的正切展开式结合同角的三角函数关系解方程组可得； （2）方法一：由差角的正切公式结合特殊角的正切值可得；方法二：由同角的三角函数关系结合两角和的余弦展开式可得. 【详解】（1）由，为锐角，则， 又，则， 所以， 即， 所以……①   又……② 由为锐角，由①②解得：． （2）由（1）知，又， 即． 由，且，则，所以， 又，则，所以． 法二：因为，为锐角，，，解得：，， 由，又， 所以， 则 ， 由，且，则，所以， 又，则，所以． 题型八 半角公式 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【详解】，故，故， 所以. 故选：D 2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用半角公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：C 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的范围，然后利用半角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 【答案】B 【分析】根据已知及三角函数的定义得、，再由半角公式求值. 【详解】由题得，， 所以属于第一象限或第三象限，则， 故. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·课前预习）（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式得出，，根据半角公式求出，从而得出的值. 【详解】因为，， 所以. 根据半角公式， 所以. 故选：D. 题型九 万能公式 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 3．已知，，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式，万能公式得到答案. 【详解】 . 故答案为： 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】先用诱导公式求出，再用万能公式求出和，再用正弦的和角公式进行求解 【详解】因为，由诱导公式得： 所以． ， ． 故答案为： 5．已知为锐角且，则的值是 ． 【答案】/-0.6 【分析】由题意首先求得的值，然后利用诱导公式和二倍角公式求得三角函数式的值即可. 【详解】由， 得， 解得，或. 因为为锐角，故. 故答案为: . 题型十 三角恒等变换的综合应用 1．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦的二倍角公式结合两角差的正弦公式化简. 【详解】原式． 故选：A 2．已知，则＝（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由两角和差的正切公式可得，再将所求式子应用二倍角公式及弦化切最后代入得解. 【详解】因为，所以，即， ， . 故选：B. 3．已知角满足，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用二倍角公式化简条件得到，再对目标式进行化简并代入求解即可. 【详解】由题意得，则， 解得，所以，， 所以， 故选：B. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】直接利用三角函数的二倍角公式以及两角差的正弦对原式进行变换即可求出的值. 【详解】解：， 即 . 故. 故选：C 5．已知，，则的值（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角的正弦公式和切化弦可将三角函数式化为，然后我们可以利用同角的三角函数关系和两角和的余弦公式可求三角函数式的值，也可以利用两角和的余弦和平方关系直接展开求，后可求三角函数式的值，也可以逆用两角和的正切公式和二倍角公式求三角函数式的值，也可以利用角的整合，结合两角差的余弦求出后求三角函数式的值. 【详解】. 解法1：， ，，故， ，，两边平方后可得， ，. 解法2：，得， 平方得，， ，，， 原式. 解法3：因为，，所以，即， 又， 故原式. 解法4：因为，，所以 ， 又，所以，， 原式. 题型十一 根据图像求解析式 1．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图像求出，利用周期公式求出，将代入函数求出. 【详解】由函数图像可知，所以，又，所以， 将代入得到，因为，所以， 故，解得． 故选：C． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【分析】根据图像可得，然后逐项判断即可. 【详解】根据图像可得，，解得， 又，所以，故A错误； 又过点，， 由五点作图法可知，，周期，故B错误； ，， 又，所以函数在区间上不单调，故C错误； ， 解得，又， 所以，所以共有8100个零点，故D正确； 故选：D. 3．（24-25高一上·湖南永州·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象，利用零点、周期性求参数值，即可得解析式. 【详解】由题图，，所以或，， 因为，所以， ，所以，得，， 又，得，则，故， 所以. 故选：D 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可知，由周期可得，进而可得，再代入特殊点求出，化简即可得出答案. 【详解】由函数的图象可知，， 所以，解得， 因为函数过点， 所以， 所以，即， 解得：， 又， 所以， 所以， 故选：A. 5．（24-25高一下·河南南阳·月考）如图是的部分图象，则正确的是（    ） A． B．函数在上无最小值 C． D．在上，有3个不同的根 【答案】D 【分析】对于A，将下降趋势中的点代入即可求解；对于B，由图可知在的一条称轴为，因为，所以在上有最小值；对于C，根据对称即可判断与是否相等；对于D，由经过上升趋势中的点及可求出，进而知道的解析式，利用整体的思想以及结合三角函数的图象即可求解在上的根. 【详解】对于A，由图可知经过下降趋势中的点， ，故A错误； 对于B，由图可知在的一条称轴为， 所以在上有最小值，当时取得最小值-1，故B错误； 对于C，和都在区间内，， 故，故C错误； 对于D，由A知，又因为经过上升趋势中的点， ， 整理得，由图可知，即，解得， 又因为，所以当时，满足，， 令，当时，时，， 此时，所以在上，有3个不同的根，D正确. 故选：D. 题型十二 三角函数的图像变换 1．（24-25高一下·山西吕梁·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换可得结论. 【详解】因为， 为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平行移动个单位长度. 故选：D. 2．（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的变换规则计算可得. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到， 将向右平移个单位得到. 故选：D 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图像的平移法则，结合诱导公式进行求解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位，得到图像， 所以函数， 故选：A. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【分析】首先求得，再结合函数平移变换法则即可求解. 【详解】由题意可得，解得，所以， 由图可知，所以， 解得，所以， ， 注意到， 所以为了得到的图象，可以将的图象向右平移个单位长度. 故选：B. 5．（24-25高一下·四川德阳·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象作如下变换（   ） A．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 B．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 C．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 D．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 【答案】B 【分析】先将函数的解析式化简，再根据平移变换和周期变换的原则即可得解. 【详解】 ， 由函数的图象得到函数的图象， 只需先将先将的图象向左平移单位，得， 再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍即可，故A错，B对； 或者先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍， 得， 再将所得的图象向左平移个单位即可，故CD错误. 故选：B. 6．（24-25高一下·四川成都·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化为同名三角函数，然后利用图像变换规律即可得到答案. 【详解】因为， 将图象向右平移个单位长度得到的图象，即函数的图象. 故选：A. 7．（2025高一·全国·专题练习）要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】由三角函数图象平移原则判断选项即可. 【详解】由于， 所以将的图象向左平移个单位长度即得. 故选：B． 题型十三 三角函数图像变换结合性质 1．（25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象变换求出的解析式，根据对称性可得答案. 【详解】将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍得到函数的图象， 再向右平移个单位长度得到的图象， 令，解得，结合选项可得当时，， 故选：C． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得即可. 【详解】函数的图象向右平移， 得到， 由于偶函数，所以，即， 由于，所以取，得. 故选：A 3．（24-25高一下·山东临沂·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】D 【分析】利用平移得到，然后利用奇函数的定义判断A选项，利用整体代入法判断选项B,C,D. 【详解】函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 故； 对于A，，故， 则函数是奇函数，故A正确； 对于B，当时，，故在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，故的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，，故，故D错误. 故选：D 4．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由平移变换知识得到函数的图象，再由的取值范围和的单调性即可得到函数在所给区间上的单调性，从而得到最值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位长度后得到函数的图象， 再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 当时，，因为在上单调递增， 则在上单调递增， 故. 故选：D 5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可计算出周期，即可得，再利用平移后过零点计算可得，从而可结合得到的最大值. 【详解】由最小值为，则，则， 将向右平移个单位长度后恰好过原点， 则， 则，又，则的最大值为. 故选：A. 6．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，结合对称轴可求解析式，再利用平移可得，利用正弦值等于在区间内内恰有3个解,可得到动区间端点的取值范围，即可求解. 【详解】由的图象关于直线对称， 则，又因为，所以， 即 由的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 由可得：， 因为，所以， 根据在区间内恰有3个解， 则，解得：， 故选：D. 题型十四 三角函数图像与性质的综合应用 1．（24-25高三上·湖南·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A．的一个对称中心为 B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C．在区间上单调递增 D．若在区间上与有且只有6个交点，则 【答案】BD 【分析】代入即可验证A，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B，利用整体法即可判断C，由求解所以根，即可求解D. 【详解】对于A，由，故A错误； 对于B，的图象向右平移个单位长度后得： ，为奇函数，故B正确； 对于C，当时，则，由余弦函数单调性知，在区间上单调递减，故C错误； 对于D，由，得，解得或， 在区间上与有且只有6个交点， 其横坐标从小到大依次为：， 而第7个交点的横坐标为， ，故D正确. 故选：BD 2．（多选题）若函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数的图象与的图象重合 B． C． D．存在唯一的，使得 【答案】AC 【分析】逐项代入验证，化简即可得到结果. 【详解】，A对； ， ， ，B错； ，，C对． ，， 当，即时，，，使得； 当，即时，，，使得. 所以，有两解. 故选：AC. 3．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是的一个周期 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．是图象的一条对称轴 【答案】ABC 【分析】根据平方关系和二倍角公式将函数降幂化简，然后结合三角函数的性质分析每个选项. 【详解】 ． 对选项A，，故A正确； 对选项B，函数定义域为，关于原点对称， ， 所以是偶函数，故B正确； 对选项C，，，由余弦函数的单调性可知C正确； 对选项D，或，故D错误. 故选：ABC 4．（24-25高一下·广东江门·月考）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（   ） A． B． C．将图象向右平移个单位后图象关于y轴对称． D．方程在内恰有4个互不相等的实根 【答案】BCD 【分析】先通过图象经过点列方程求出，进而可得的解析式，即可判断AB，根据图象平移求解C，根据函数图象即可求解D. 【详解】由题意可得，将代入可得，所以， 又，所以或， 根据图象可知点在其递减区间上，故，故A不正确； 将代入可得，结合图象可得，所以， 且，故，则，故，故B正确； 则，将图象向右平移个单位可得为偶函数，故其图象关于y轴对称，故C正确； 当时，则，，从而可得在上的图象如下： 由图可得方程在内恰有4个互不相等的实根，故D正确. 故选：BCD. 5．（23-24高一上·吉林长春·期末）（多选题）已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（    ） A．是奇数 B．的最大值为7 C．不存在，使得是偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据零点和最值点列方程组求解，结合单调区间可得，然后分类讨论即可. 【详解】由题知，，即，， 解得， 因为在区间上单调． 所以，即，所以， 又，，所以，故A正确， 当时，，此时， 当时，，函数在上不单调， 即当时，函数在区间上不是单调函数，B错误； 因为，所以，当时，由，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，， 所以. 综上可知，CD正确. 故选：ACD 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．当时，直线 是曲线的一条对称轴 B．做，且，则 C．若在上恰有5个零点，则的取值范围为 D．存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数 【答案】BC 【分析】首先利用二倍角公式将等式化简，转变成的形式，对于选项A，可利用正弦函数的对称轴公式进行判断；对于选项B，可由已知条件判断函数的最小周期进行求解的值；对于选项C，将函数的零点问题转化为正弦函数与直线的交点问题，通过图象确定范围；对于选项D，先求出平移后函数解析式，然后判断奇偶性. 【详解】 对于选项A： 当时，. 对称轴为，解得. 若是对称轴，则 则解得，不是整数，所以选项A错误. 对于选项B： 因为，且，的最大值为，最小值为，说明之间最小间隔是半个周期. ，即，解得，B正确. 对于选项C： 已知，则. 令，则. 因为在上恰有5个零点，则. 解得的取值范围为，C正确. 对于选项D： 的图像向左平移个单位长度后得到. 若是偶函数，则，. 化简得，则. 当时，，所以不存在，D错误. 故选：BC. 7．（23-24高一下·重庆铜梁·月考）（多选题）已知为偶函数，（，与中相同），则下列结论正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上单调递减，则的取值范围为 D．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由为偶函数，得，解得，利用正余弦型函数的周期，单调性与最值等性质求解即可. 【详解】由为偶函数，得，解得：，因为，所以，故A正确； 对于B，由于的最小正周期为，所以，得，故B不正确； 对于C，由A可得，令，解得， 所以的单调减区间为：，，因为在区间上单调递减， 所以，解得：，由于，所以，的取值范围为，故C正确； 对于D，当时，，若在区间上有且仅有3个最值点， 则可以取到， ，，所以，解得，故D正确. 故选：ACD 基础巩固通关测 1．（24-25高一下·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据正弦函数平移原则即可得到答案. 【详解】， 则只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：B. 2．（24-25高一下·陕西榆林·月考）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辅助角公式化简，即可根据周期公式求解. 【详解】，其中为锐角，且， 故最小正周期为， 故选：A 3．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数的有界性可求得原函数的最大值. 【详解】因为， 故当，即时，函数取最大值. 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】 , 故选：C. 5．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和角的正切公式可得，结合角的范围即得答案. 【详解】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 6．（24-25高一下·天津·月考）已 知，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】 故选：A. 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，结合正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意得，可得， 所以. 故选：B. 8．（24-25高一下·辽宁·期末）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移的规则进行求解即可. 【详解】将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度， 再向上平移个单位长度，函数解析式变为； 将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍， 可得函数的图象. 故选：B. 9．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，计算出，再由展开公式即可. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：B. 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由最高点得到，由相邻零点得到周期进而得到，再代入一个上升零点得到，从而得到解析式，由图象平移结合诱导公式得到平移后的解析式. 【详解】由最高点知， 因为与轴相邻交点的横坐标分别为和，所以即， 所以 将代入得， 所以， 因为，所以，所以， 图象上的所有点向左平移个单位长度得到， 故选：D. 11．（24-25高一下·贵州黔南·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象确定周期求得，再由，结合单调性求得，再由，求即可； 【详解】周期为，则，所以， 由，且在附近单调递减，所以，解得 又因为，所以，则， 因为，可得，所以， 故选：B. 12．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，，则的值是（   ）． A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题设结合两角差的正弦公式化简可得，进而求得，再利用二倍角公式及两角和的余弦公式化解求解即可. 【详解】由， 则， 则，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以 . 故选：B. 13．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】D 【分析】将化为，再根据三角函数的图象变换得到答案. 【详解】因为， 所以为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点向右平行移动个单位长度， 故选：D. 14．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D．－1 【答案】B 【分析】利用两角和差公式可得，再结合倍角公式运算求解. 【详解】因为，则， 即，可得， 又因为，解得. 故选：B. 15．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用倍角公式化简得出即可求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 16．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角和的正弦公式，及同角三角函数的关系可求得，进而利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由，可得， 由，可得，所以， 所以， 所以. 故选：B. 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数后，结合题意进行运算即可求出结果. 【详解】 所以， 由题意可得，为偶函数，所以，解得， 又，所以的最小值为. 故选：A． 18．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求出，从而求出，再由降幂公式及和差角的余弦公式计算可得. 【详解】因为，， 即，可得 所以 . 故选：D. 19．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正、余弦的二倍角公式化简，即可求，再用正切函数的二倍角公式求解即可. 【详解】，， 由，所以，所以，所以，所以. 故选：A 20．（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【详解】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 21．（24-25高一下·广西梧州·期末）设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 【答案】B 【分析】由题可知的最小正周期为即可判断A；由此可得，再根据余弦函数的图像及相关性质可判断B、C、D. 【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误； B选项，由A可知，．则． 当时，，则当，，，，，时，，则在区间上的根的个数共有6个，故B正确； C选项，当时，，因在上单调递减，则，故C错误； D选项，将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为奇函数，故D错误； 故选：B． 22．（多选题）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用二倍角的余弦公式即可判断A；利用二倍角的正弦公式即可判断B；利用两角和的正弦公式即可判断C；利用两角差的正切公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 23．（23-24高一下·江苏扬州·期中）（多选题）计算下列几个式子，结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由正切的和角公式变形可判断A；将转化为，结合正弦和角公式可判断B；利用二倍角的正切公式即可判断C；将转化为结合正切和角公式可判断D. 【详解】对于选项A，， 变形得，故A正确； 对于选项B，原式可化为，故B正确； 对于选项C，原式，故C错误； 对于选项D，原式＝＝tan 60°＝，故D正确； 故选：ABD. 24．（24-25高一下·云南玉溪·期中）（多选题）下列推理正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于A和D，根据诱导公式化简后，因角的象限不能确定，即可判断选项；对于B，利用诱导公式整体处理角即得；对于C，拆角后利用和角公式计算即得. 【详解】对于A，由只能判断为第一或第二象限角，而余弦函数在这两个象限的符号不同，故A错误； 对于B，由，因，则可得，故B正确； 对于C，因，则，故C正确； 对于D，因，而， 因根据不能确定的符号，也就不能确定的值，故D错误. 故选：BC. 25．（多选题）已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的图象关于对称 【答案】AB 【分析】利用二倍角公式和诱导公式化简，再由余弦函数相关性质检验各项即可求解. 【详解】, ∴，故A正确； 最小正周期，故B正确； 时，， ∵在单调递减， ∴在上单调递减，故C错； ，不是函数的对称轴，故D错； 故选：AB. 26．（多选题）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】A选项，由图象得到，，求出，，再代入，结合求出，求出函数解析式，计算出，AB正确；将代入解析式，利用诱导公式求出，C错误；整体法求出，结合正弦函数图象，得到其单调递增，D正确. 【详解】从图象可知：，，解得：， 即，则， 将代入解析式，得， 因为，所以， 所以，解得：，故，A正确； 故，，B正确； 当时，， 故的图象不关于点对称，C错误； ，当时，， 由于在上单调递增， 故在上单调递增，D正确. 故选：ABD 27．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）（多选题）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由同角三角函数的平方关系计算，和验证ABD选项；，由两角和的正弦公式计算验证C选项. 【详解】，则， ，，故A错误，D正确； ，故B选项正确； ，故C选项正确； 故选：BCD. 28．（24-25高一下·山东淄博·月考）（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【详解】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选: 29．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选题）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据图像得出，由过，两点，代入函数式，即可确定，进而得出，即可根据正弦函数图象和性质判断选项. 【详解】由图知,可得，又， 解得：或，又 若无解；若，则，所以，向右平移得到， 对于A：因为，所以是奇函数，关于原点对称，故A错误； 对于B：令，故对称中心,故B错误； 对于C:因为，则，所以在区间的最小值为：，故C正确； 对于D：因为，所以，所以在此区间不单调，故D错误； 故选：ABD 30．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，则 【答案】 【分析】利用同角的三角函数的关系可求得，进而利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以，所以． 故答案为：. 31．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】根据二倍角公式得到，求出. 【详解】， ，，． 故答案为：1 32．已知，，则 . 【答案】 【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 33．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 . 【答案】/ 【分析】首先根据对称轴求出的关系，然后利用二倍角公式化简并计算即可. 【详解】因为角的终边关于直线对称， 由已知得，即， 所以， 所以． 故答案为：. 34．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 【答案】(1)最小正周期为；最大值为4 (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及诱导公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）由已知得，再根据诱导公式及二倍角公式即可求解． 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为； 当且仅当，即时，函数的最大值为4． （2）因为，所以，即， 所以 ． 35．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出的范围，即可求出，； （2）首先求出，再根据利用两角和的余弦公式求出，即可得解. 【详解】（1），，， 又，， 则． （2），，， 所以 ． 又，，，． 36．已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值； （2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可. 【详解】（1）易知， 又最小正周期为，所以， 即，则 （2）的图象向右平移个单位长度得到， 因为时，， 根据正弦函数的单调性可知即时，， 时即，，即，则. 37．（23-24高一下·北京·期中）已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为. (1)求的解析式； (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由周期求出，由最低点求出，得的解析式； （2）由，设，当时方程有唯一实根，转化为当时方程有唯一实根，利用正弦函数的图像和性质求解. 【详解】（1）由题意可得，可得， 而，可得， 再由图像上一个最低点为，可得， 且，，又因为，可得， 所以； （2）当时方程有唯一实根，即， 时有，设， 设， 当时方程有唯一实根，即时方程有唯一实根， 作出的图像如图所示， 当时，单调递减， 由图可得时满足方程有唯一实根， 所以. 即的取值范围为. 能力提升进阶练 1．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角恒等变换，化简得到，由得到和的关系，从而得解 【详解】 其中，，， 依题意得，，， ，，，， ， 故选：C． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，结合二倍角的正弦、余弦公式得到的值，然后根据同角三角函数的基本关系及角的范围得到的正、余弦值，最后利用两角差的余弦公式求解的值． 【详解】因为， 所以． 因为， 根据两角正切值的正负可得， 所以，， 又因为， 所以， 同理可得，， ． 故选：C. 3．（24-25高一下·山东临沂·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 【答案】D 【分析】利用平移得到，然后利用奇函数的定义判断A选项，利用整体代入法判断选项B,C,D. 【详解】函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 故； 对于A，，故， 则函数是奇函数，故A正确； 对于B，当时，，故在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，故的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，，故，故D错误. 故选：D 4．（24-25高一下·广西梧州·期末）设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 【答案】B 【分析】由题可知的最小正周期为即可判断A；由此可得，再根据余弦函数的图像及相关性质可判断B、C、D. 【详解】A选项，时，的最小值为，可得的最小正周期为，故A错误； B选项，由A可知，．则． 当时，，则当，，，，，时，，则在区间上的根的个数共有6个，故B正确； C选项，当时，，因在上单调递减，则，故C错误； D选项，将函数的图像向左平移个单位，则得到的解析式为，则得到的函数为奇函数，故D错误； 故选：B． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知求得、，结合差角正弦公式求，注意的范围，即可得. 【详解】因为且，则，所以， 又，所以，又， 所以，而 当时，， 因为，则，所以不符合，舍去； 当时，符合， 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； （3）常见的角的变换：， ， 等. 6．（24-25高一下·甘肃天水·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 【答案】BCD 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简可得，即可判断A；进而根据正弦函数的性质判断BCD. 【详解】由，故A错误； 的最小正周期为，故B正确； 当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，故C正确； 因为， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有最大值 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】逆用二倍角公式进行降幂变形、再利用两角差的余弦、正弦公式化简函数解析式，然后结合正弦函数的性质判断各选项. 【详解】 对于A，的最小正周期，故A正确； 对于B，当时，， 所以直线是的图象的一条对称轴，故B正确； 对于C，当时，， 令，解得 所以在上单调递减且，在上单调递增， 所以当时，取得最大值，为，故C正确； 对于D，由C可知在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：ABC. 8．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A．的最小正周期为 B．时，的最大值是 C．的图象向右平移个单位后为奇函数 D．与有相同的零点 【答案】AC 【分析】 根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式，求出周期判断A，结合正弦函数性质利用整体法求值域判断B，先求出平移后的解析式，再根据正弦函数性质判断C，分别求出函数与的零点即可判断D. 【详解】观察图象得，，得，而，所以， 因为，所以，又，所以， 所以，故A正确； 对于B，当时，，所以， 所以，即的最大值是，故B错误； 对于C，的图象向右平移个单位后为， 则，故为奇函数，C正确； 对于D，令得， 即函数的零点为，令得， 即函数的零点为， 显然与无交集， 故与没有相同的零点，D错误. 故选：AC 9．（23-24高一上·全国·单元测试）（多选题）已知，，其中α，β为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】可以先通过已知角的三角函数值缩小角的范围，再将未知角转化为已知角来求值即可. 【详解】因为α，β为锐角，即，， ，， 因为，所以， 所以 因为，所以， 则， ，A选项正确； ，所以B选项正确； ①， ②， ①＋②并化简得，所以C选项错误； ①－②并化简得， 所以，所以D选项错误， 故选：AB. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以，A错误. 对于选项B，因为， 所以，B    正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD 11．（24-25高一下·山西·期末）（多选题）已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】A选项，利用同角三角函数关系和正弦和角公式得到；B选项，计算出，展开后代入求解；C选项，得到，结合角的范围得到；D选项，在C基础上，得到，结合求出. 【详解】A选项，由，得， 所以，则， 所以，A正确； B选项，由，得， 即，又， 解得，B错误； C选项，， 又，故，所以，C错误； D选项，由，得， 所以， 与联立，得，D正确. 故选：AD. 12．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选题）已知在上是单调函数，对任意满足，且．则下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．若函数在上有最小值无最大值，则实数a的取值范围为 C．若时函数不单调，且至多有2个零点，则实数的取值范围为 D．方程在上恰有3个不同的实根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【分析】利用条件得到对称轴和对称中心，结合余弦函数性质得到解析式，再利用正弦函数的性质判断A选项，结合余弦函数的图象判断BC选项，方程的根，判断D选项. 【详解】因为，所以是一个对称中心，因为，所以是一条对称轴， 又因为在上是单调函数，和一定相邻，所以，所以，即，所以， 又因为在时取得最大值，所以，所以，因为，所以， 从而， A选项，， ，所以是奇函数，故A正确； B选项，，，结合余弦函数图象，得，故B错误； C选项，，，结合余弦函数图象得，解得，故C正确； D选项，时，此时区间为，， 令得，得或， 由可得所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】思路点睛：三角函数中的整体代换思想，在余弦型函数中，将看成一个整体，利用余弦函数的性质研究余弦型函数的性质. 13．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据最值求出，根据周期求出，然后利用求出，即可求出的解析式，最后令即可求出对称中心； （2）根据图象变换得出，最后结合正弦函数图象即可求出. 【详解】（1）由图象可得，得， 由图象可知，所以，即， 即； 又因为，即， 所以，则， 结合，可得， 所以； 令得， 所以曲线的对称中心为． （2）把曲线向右平移个单位后的曲线为； 把曲线上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线； 把曲线向上平移个单位，得到曲线； 令，得， 结合正弦函数图象可得不等式的解集为. 14．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）利用函数的平移变换求出，按的正负分情况讨论的取值范围，结合题意利用集合的包含关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以. （2）由（1）可知，当时，，    方程有两个不同的解，由正弦函数的图象可知. （3）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 可得， 纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度， 可得，即， 当时，，则， 当，，则， 因为 ①当时，， 由题意可得， 则，解得，所以； ②当时，， 由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，． 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)， (2) (3)5， 【分析】 （1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式及其单调递减区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，，，， 即，，，， 解得：，，，， 所以． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 三角函数（二）（两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换、函数y＝Asin（ωx＋φ））（复习讲义） 1、经历推导两角差余弦公式的过程，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，.熟练利用和差角公式和二倍角公式进行化简、求值和证明，进一步由和角公式推导二倍角公式，提升逻辑推理素养. 2、会用二倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，了解半角公式的结构形式，会用两角和、差的正、余弦公式，推导积化和差、和差化积公式(不要求记忆)，进行简单的化简、求值、证明. 3、通过研究参数A，ω，对函数y=Asin(ωx+)图象的影响以及函数图象的变换过程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 一、两角和与差的余弦公式 1、公式 : : 2、记忆要诀：两角差（和）的余弦值等于两角的余弦值乘积加上（减去）两角的正弦值乘积． 3、使用范围：为任意角，可以是一个角也可以是角的组合． 二、两角和与差的正弦公式 1、公式 : : 2、记忆要诀：记忆时要与两角和与差的余弦公式区分开来，两角和与差的正弦公式右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左端的连接符号相同． 3、使用范围：为任意角，可以是一个角也可以是角的组合． 三、两角和与差的正切公式 1、公式 :. :. 注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； ②公式的变形：； 2、记忆要诀：公式右端为分式形式，其中分子为与的和或差，分母为1与的差或和；分子上的加减号与左端的加减号相同，分母的加减号与左端的加减号相反． 四、二倍角公式 1、倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 2、倍角公式的变形应用 （1）倍角公式的逆用 ：，，． ：． ：，． （2）配方变形：． （3）因式分解变形：． （4）升幂公式：；． （5）降幂公式：；；；． 五、半角公式与万能公式 1、半角公式 ＝±， ＝±， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 2、万能公式 ； ； 六、积化和差与和差化积公式 1、积化和差公式 2、和差化积公式 七、辅助角公式 1、辅助角公式的推导 对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为1， 故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定， 或由和共同确定． 八、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1、A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. 2、φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. 3、ω决定了函数的周期 4、振幅变换 要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 5、平移变换 要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 6、周期变换 要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 7、函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 8、三角函数图象变换中的三个注意点 （1）变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； （2）要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数图象，得到的是哪个函数图象，切不可弄错方向； （3）要弄准变换量的大小，特别是平移变换中 函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位， 函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位． 九、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 十、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期T＝. 3、简谐运动的频率f＝＝. 4、ωx＋φ称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 十一、建立函数模型的一般步骤 十二、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 十三、解三角函数应用问题的基本步骤 十四、建立三角函数拟合模型的注意事项 1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． 2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． 3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 两角和与差公式的直接应用 1．（24-25高一下·广东汕头·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）（   ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且是第三象限角，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C．3 D． 6．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·海南·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．2 题型二 两角和与差公式的逆运用 1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 3．的值为(    ) A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则 . 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）计算：（   ） A． B． C． D． 7．若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 题型三 二倍角公式 1．（24-25高一下·山东枣庄·期末）有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏南通·月考）（多选题）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知，则 ． 6．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则的值为 . 7．（24-25高一下·重庆江北·月考）已知，则 . 8．已知，则 ． 9．若，则 ． 10．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知，，则 ． 题型四 降幂公式 1．（23-24高一下·江苏镇江·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则是（   ） A．奇函数且最小正周期为 B．偶函数且最小正周期为 C．奇函数且最小正周期为 D．偶函数且最小正周期为 4．（25-26高一上·全国·单元测试）（    ） A． B． C． D． 5．已知，则 . 题型五 辅助角公式 1．（24-25高一下·四川资阳·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京大兴·期中）函数的最大值是（   ） A． B．3 C． D．5 3．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江西宜春·期末）（多选题）已知函数，若函数为偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽·期中）函数的最大值为 . 6．（24-25高一下·四川遂宁·期中）已知函数． (1)求的单调增区间； (2)当时，求的值域. 题型六 给值求值问题 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）已知，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏盐城·期中）若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期中）已知，则的值为 . 6．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，，，则的值为 ． 题型七 给值求角问题 1．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 4．（24-25高一下·四川成都·期中）已知锐角，满足， (1)求的值． (2)求的大小． 5．（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 题型八 半角公式 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知角是第二象限角，且终边经过点，则（   ） A． B．2 C．或 D．或2 5．（25-26高一上·全国·课前预习）（   ） A． B．0 C． D． 题型九 万能公式 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则 . 4．已知，则 ． 5．已知为锐角且，则的值是 ． 题型十 三角恒等变换的综合应用 1．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简：（   ） A． B． C． D． 2．已知，则＝（   ） A．2 B． C． D．3 3．已知角满足，则的值等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 5．已知，，则的值（   ） A． B． C．2 D． 题型十一 根据图像求解析式 1．（25-26高一上·云南楚雄·月考）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 3．（24-25高一上·湖南永州·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）函数的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南南阳·月考）如图是的部分图象，则正确的是（    ） A． B．函数在上无最小值 C． D．在上，有3个不同的根 题型十二 三角函数的图像变换 1．（24-25高一下·山西吕梁·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 2．（24-25高一下·上海·期中）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，可以得到函数（    ）的图象 A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 5．（24-25高一下·四川德阳·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象作如下变换（   ） A．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 B．先将的图象向左平移单位，再将所得到的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍而得的图象 C．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 D．先将的图象上的每点纵坐标不变而横坐标缩短到原来的倍，再将所得的图象向左平移个单位而得的图象 6．（24-25高一下·四川成都·月考）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 7．（2025高一·全国·专题练习）要得到的图象，只需将的图象（    ）． A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型十三 三角函数图像变换结合性质 1．（25-26高一上·全国·课前预习）将函数图象上的所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东临沂·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 4．（25-26高一上·全国·单元测试）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在上的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）是函数的两个零点，若最小值为，将向右平移个单位长度后恰好过原点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东清远·期末）已知函数的图象关于直线对称，的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间内恰有3个解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十四 三角函数图像与性质的综合应用 1．（24-25高三上·湖南·月考）（多选题）已知函数，则（    ） A．的一个对称中心为 B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象 C．在区间上单调递增 D．若在区间上与有且只有6个交点，则 2．（多选题）若函数，则下列命题正确的是（    ） A．函数的图象与的图象重合 B． C． D．存在唯一的，使得 3．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是的一个周期 B．是偶函数 C．在上单调递增 D．是图象的一条对称轴 4．（24-25高一下·广东江门·月考）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点，则（   ） A． B． C．将图象向右平移个单位后图象关于y轴对称． D．方程在内恰有4个互不相等的实根 5．（23-24高一上·吉林长春·期末）（多选题）已知函数（，），为的零点，对任意，恒成立，且在区间上单调．则下列结论正确的是（    ） A．是奇数 B．的最大值为7 C．不存在，使得是偶函数 D． 6．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．当时，直线 是曲线的一条对称轴 B．做，且，则 C．若在上恰有5个零点，则的取值范围为 D．存在，使得的图像向左平移个单位长度后得到的图像对应的函数是偶函数 7．（23-24高一下·重庆铜梁·月考）（多选题）已知为偶函数，（，与中相同），则下列结论正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上单调递减，则的取值范围为 D．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 基础巩固通关测 1．（24-25高一下·四川宜宾·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 2．（24-25高一下·陕西榆林·月考）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·辽宁·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·天津·月考）已 知，则=（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·辽宁·期末）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，并将所得图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知函数的部分图象如图所示，将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的函数表达式可以是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·贵州黔南·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，，则的值是（   ）． A． B． C． D．2 13．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）为了得到函数的图像，只需把余弦函数上所有点（ ） A．向左平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 14．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知，则（    ） A．1 B．0 C． D．－1 15．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·河南洛阳·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 18．已知，则（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 21．（24-25高一下·广西梧州·期末）设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 22．（多选题）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·江苏扬州·期中）（多选题）计算下列几个式子，结果为的是（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·云南玉溪·期中）（多选题）下列推理正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（多选题）已知函数，则（   ） A．的最大值为1 B．的最小正周期为 C．在上单调递增 D．的图象关于对称 26．（多选题）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上单调递增 27．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）（多选题）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·山东淄博·月考）（多选题）若，，且，，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·江西南昌·期末）（多选题）已知函数（，）部分图象如下，它过，两点，将的图像向右平移个单位得到的图象，则下列关于的说法错误的是（   ） A．图像关于轴对称 B．图像关于中心对称 C．在最小值为 D．在上单调递增 30．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，则 31．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知，，则 ． 32．已知，，则 . 33．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称，若，则 . 34．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)若，求的值． 35．（24-25高一下·四川德阳·月考）已知，，，． (1)求； (2)求． 36．已知函数的最小正周期为． (1)求及； (2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域． 37．（23-24高一下·北京·期中）已知函数的一个对称中心到其相邻的对称轴的距离为，且图像上一个最低点为. (1)求的解析式； (2)若当时方程有唯一实根，求的范围. 能力提升进阶练 1．（24-25高一下·云南保山·期末）当时，函数取得最小值，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东临沂·期末）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 4．（24-25高一下·广西梧州·期末）设函数，若时，的最小值为．则下列选项正确的是（    ） A．函数的周期为 B．方程在区间上的根的个数共有6个 C．当，的值域为 D．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为偶函数 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，且，，则（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25高一下·甘肃天水·期末）（多选题）已知函数，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的图象关于点对称 7．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）已知函数，，则下列结论中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上有最大值 D．函数在区间上单调递增 8．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（   ） A．的最小正周期为 B．时，的最大值是 C．的图象向右平移个单位后为奇函数 D．与有相同的零点 9．（23-24高一上·全国·单元测试）（多选题）已知，，其中α，β为锐角，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山西·期末）（多选题）已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）（多选题）已知在上是单调函数，对任意满足，且．则下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．若函数在上有最小值无最大值，则实数a的取值范围为 C．若时函数不单调，且至多有2个零点，则实数的取值范围为 D．方程在上恰有3个不同的实根，则实数的取值范围为 13．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式及对称中心坐标； (2)将的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象．求不等式的解集． 14．（24-25高一下·上海·月考）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $