第二单元2.4《修复铜镜》（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学北师大版

本讲义聚焦圆形残片复原的核心知识点，从确定圆心与半径的基础原理出发，通过利用圆的对称性、借助外接正方形辅助确定参数等方法技巧，延伸至判断残片能否复原的依据及实物尺寸测算的生活应用，搭建从原理到方法再到应用的学习支架。 该资料以“修复铜镜”为情境载体，通过核心知识讲解、方法点拨及典型例题与对应练习，培养学生用数学眼光观察圆弧特征、用数学思维推理对称原理、用数学语言描述尺寸测算的能力。课中辅助教师引导学生探究，课后练习帮助学生巩固知识，有效查漏补缺。

北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.4《修复铜镜》 (5个考点) 考点1：圆形残片复原的核心前提（确定圆心与半径） 【核心知识】 1圆的两大决定性要素：圆心（确定圆的位置）、半径（确定圆的大小），二者缺一不可， 残缺圆形想要复原，必须先精准找到这两个要素。 2残片只要保留了一段圆弧，圆弧上任意三点都能用来反向推导圆心：作任意两条弦的垂直 平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心；圆心到圆弧上任意一点的距离就是半径。 3.原理支撑：圆上任意一条弦的垂直平分线必然经过圆心，多条弦的垂直平分线交点唯一， 就是圆心位置。 【方法点拨】 1.实操步骤：①在残片的圆弧边缘取3个不同点：②两两连接得到两条弦：③分别作两条弦 的垂直平分线，交点即为圆心；④测量圆心到圆弧端点距离得到半径，即可画出完整的圆。 2.避坑提醒：不能仅靠残片局部轮廓日测圆心，必须借助弦的垂直平分线保证精度。 【典型例题】 例1：一块圆形玉佩残片保留了一段圆弧，简述复原完整圆形玉佩的关键步骤。 【对应练习】 1.填空：确定一个圆的两个必要条件是( )和( 2.判断：只要找到圆心，不用半径也能画出唯一的圆( 3.简答：为什么弦的垂直平分线一定经过圆心？ 第1页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 4.选择：复原残缺圆形最核心的目的是( ) A.只找圆心 B.只找半径 C.同时确定圆心和半径 D.只观察圆弧形状 考点2：利用圆的对称性复原残缺圆形的实操方法 【核心知识】 1.圆有无数条对称轴（直径所在直线），沿任意对称轴对折，圆的两部分完全重合，可利用 轴对称、旋转对称两种方式补全残片： ·轴对称法：画出残片圆弧的对称轴，沿对称轴镜像补全缺失部分： ·旋转对称法：圆绕圆心任意角度旋转都与自身重合，将残片绕圆心旋转拼接，补全缺失区 域。 2.对折实操逻辑：残片圆弧沿对称轴对折重合，能反向验证对称轴（直径）位置，多条对称 轴交点锁定圆心。 【方法点拨】 1.轴对称适配场景：残片保留连续长圆弧，优先画对称轴镜像补形： 2.旋转适配场景：零散多块残片，先定圆心再旋转拼接对齐圆弧： 3组合技巧：先靠垂直平分线定圆心，再用对称性质快速补画完整圆形轮廓。 【典型例题】 例1：半圆形陶瓷残片如何用轴对称性质复原整圆？ 【对应练习】 1.填空：圆的对称轴是( )所在的直线，数量有( )条。 2.判断：把圆形残片绕找到的圆心旋转，可辅助拼接补全圆形( ) 3.实操简答：仅有一段圆弧残片，怎么用对折思路辅助找对称轴？ 4.选择：下列不能用于圆形残片复原的性质是( A.轴对称性 B.任意旋转对称性 C.三角形内角和性质 第2页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 考点3：借助外接正方形辅助确定圆参数的技巧 【核心知识】 1.正方形内最大内切圆：圆的直径=正方形的边长，圆心与正方形两条对角线交点重合： 2.当圆形残片轮廓不足时，可先画出完整外切正方形，通过正方形边长直接得到圆的直径， 换算半径，对角线交点锁定圆心位置，大幅降低复原难度： 3.对应关系：外切正方形边长a,圆直径d=a,半径r=a÷2。 【方法点拨】 1观察残片圆弧与正方形边界的相切点位，反向推出正方形边长： 2正方形对角线交点就是圆心，无需多次作弦的垂直平分线，提升作图效率； 3适用场景：残片能看出和正方形边相切的痕迹时优先使用。 【典型例题】 例1：已知某古镜外切正方形边长为18cm,求这个古镜圆形镜面的半径。 【对应练习】 1.填空：圆外切正方形边长14cm,圆的直径是( )cm,半径( )cm。 2.判断：外切正方形对角线交点和内切圆圆心重合( 3.简答：为什么外切正方形边长等于内切圆直径？ 4.计算：正方形边长22cm,内部最大圆形的半径是多少？ 考点4：判断圆形残片能否完整复原的依据 【核心知识】 1.可复原判定标准：残片保留至少一段连续圆弧，就能取三点作弦找圆心半径完成复原； 2.不可复原判定标准：残片仅保留圆形边缘零散碎片、没有连续圆弧段，无法取有效弦作垂 第3页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 直平分线，不能唯一确定圆心半径，无法精准复原； 3.拓展：多块残片只要任意一块带有连续圆弧，就可先定圆参数，再拼接其余碎片。 【方法点拨】 1快速判断：看残片有没有连续弯曲的圆弧轮廓，有则可复原，无则无法精准复原： 2.误区纠正：不是所有碎块都能复原，关键看是否留存有效圆弧信息。 【典型例题】 例1：两块碎片，甲保留大半段圆弧，乙只有边缘小块碎渣无连续圆弧，判断能否复原并说 明理由。 【对应练习】 1.填空：判断圆形残片能否复原，关键看是否保留( 2判断：只要是圆形碎块，不管形状大小都能复原整圆( 3.简答：一块极小的圆弧碎屑能否精准复原整圆？为什么？ 4.选择：下列残片能复原圆形的是( A.带连续圆弧的瓷片 B.仅圆心部位碎块 C.边缘无弧度碎渣 考点5：圆形实物尺寸测算的生活应用 【核心知识】 1.圆形桌面、铜镜、圆盘类物品定制配套保护垫、外包装时，必须获取山直径（或半径）山 这一核心数据； 2.测量方法：夹板平移法测直径，再通过r=d÷2换算半径，依据尺寸制作等大配件： 3.单位换算：1cm=10mm,考古测量铜镜尺寸时常混合使用厘米、毫米单位。 【方法点拨】 1.生活实操：圆桌铺保护垫只需测出桌面直径，就能算出大小定制匹配垫： 第4页共5页 北师大版六年级数学上册讲义 2考古场景：出土铜镜残片复原后测出直径，可对比史料数据考证文物信息。 【典型例题】 例1：圆形餐桌桌面直径120c,定制完全贴合的保护垫，需要获取什么关键数据？保护垫 半径是多少？ 【对应练习】 1.填空：给圆形茶几定制桌垫，必须测量茶几的( ）。 2.单位换算：铜镜直径18.6cm=( )mm。 3.计算：圆桌半径45cm,桌面直径是多少厘米？ 4.简答：为什么测圆形桌垫优先测直径而非随意量两点距离？ 第5页共5页北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.4《修复铜镜》（5个考点） 考点 1：圆形残片复原的核心前提（确定圆心与半径） 【核心知识】 1.圆的两大决定性要素：圆心（确定圆的位置）、半径（确定圆的大小），二者缺一不可，残缺圆形想要复原，必须先精准找到这两个要素。 2.残片只要保留了一段圆弧，圆弧上任意三点都能用来反向推导圆心：作任意两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心；圆心到圆弧上任意一点的距离就是半径。 3.原理支撑：圆上任意一条弦的垂直平分线必然经过圆心，多条弦的垂直平分线交点唯一，就是圆心位置。 【方法点拨】 1.实操步骤：①在残片的圆弧边缘取 3 个不同点；②两两连接得到两条弦；③分别作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心；④测量圆心到圆弧端点距离得到半径，即可画出完整的圆。 2.避坑提醒：不能仅靠残片局部轮廓目测圆心，必须借助弦的垂直平分线保证精度。 【典型例题】 例 1：一块圆形玉佩残片保留了一段圆弧，简述复原完整圆形玉佩的关键步骤。 分析：依靠弦的垂直平分线找圆心、半径，再画完整圆。 详解 ① 在残片的圆弧边上取 3 个不重合的点； ② 两两连接两点，画出两条不同的弦； ③ 分别作出两条弦的垂直平分线，两条线相交的点就是完整玉佩的圆心； ④ 测量圆心到圆弧上任意一点的长度，得到半径； ⑤ 以找到的点为圆心、测出的长度为半径画圆，即可复原完整圆形玉佩。 答案：①圆弧上取 3 个点，连接得到两条弦；②作两条弦的垂直平分线，交点为圆心；③量圆心到圆弧距离得半径；④以该圆心、半径画圆复原玉佩。 【对应练习】 1.填空：确定一个圆的两个必要条件是（ ）和（ ）。 分析：圆的两大决定要素基础概念。 详解：圆心决定圆的摆放位置，半径决定圆的大小，二者同时存在才能确定唯一的圆。 答案：圆心；半径 2.判断：只要找到圆心，不用半径也能画出唯一的圆（ ） 分析：缺少半径，圆的大小无法确定，能画出无数个大小不同的同心圆。 详解：只有圆心没有半径，圆的大小不确定，可以画出无数个同心但大小不同的圆，不能得到唯一的圆，说法错误。 答案：× 3.简答：为什么弦的垂直平分线一定经过圆心？ 分析：圆上任意一点到圆心距离相等（半径相等），垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 详解：圆心到弦两个端点的距离都是半径，长度相等，说明圆心在这条弦的垂直平分线上，因此任意一条弦的垂直平分线都会经过圆心。 答案：圆心到弦两端点距离相等（均为半径），到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，所以弦的垂直平分线必过圆心。 4.选择：复原残缺圆形最核心的目的是（ ） A. 只找圆心 B. 只找半径 C. 同时确定圆心和半径 D. 只观察圆弧形状 分析：圆心、半径缺一不可，只有同时确定二者才能画出唯一完整的圆。 详解：只找到圆心不知道半径，圆大小不确定；只知道半径没有圆心，圆位置不确定，复原必须同时确定圆心和半径。 答案：C 考点 2：利用圆的对称性复原残缺圆形的实操方法 【核心知识】 1.圆有无数条对称轴（直径所在直线），沿任意对称轴对折，圆的两部分完全重合，可利用轴对称、旋转对称两种方式补全残片： •轴对称法：画出残片圆弧的对称轴，沿对称轴镜像补全缺失部分； •旋转对称法：圆绕圆心任意角度旋转都与自身重合，将残片绕圆心旋转拼接，补全缺失区域。 2.对折实操逻辑：残片圆弧沿对称轴对折重合，能反向验证对称轴（直径）位置，多条对称轴交点锁定圆心。 【方法点拨】 1.轴对称适配场景：残片保留连续长圆弧，优先画对称轴镜像补形； 2.旋转适配场景：零散多块残片，先定圆心再旋转拼接对齐圆弧； 3.组合技巧：先靠垂直平分线定圆心，再用对称性质快速补画完整圆形轮廓。 【典型例题】 例 1：半圆形陶瓷残片如何用轴对称性质复原整圆？ 分析：半圆有 1 条对称轴，沿对称轴镜像对称补出另一半，得到完整圆形。 详解 ① 画出半圆垂直于直径的对称轴； ② 以对称轴为中线，将现有半圆沿对称轴作轴对称图形，画出另一半圆弧； ③ 两半圆弧拼接后得到完整圆形。 答案：画出半圆的对称轴，以对称轴为基准画出半圆的轴对称图形，两部分合并得到完整圆形。 【对应练习】 1.填空：圆的对称轴是（ ）所在的直线，数量有（ ）条。 分析：对称轴是直线，直径为线段，过圆心的直径直线都是对称轴。 详解：每一条直径所在直线都是圆的对称轴，过圆心能画出无数条直线，因此有无数条对称轴。 答案：直径；无数 2.判断：把圆形残片绕找到的圆心旋转，可辅助拼接补全圆形（ ） 分析：圆具备任意旋转对称性，绕圆心旋转后圆弧可以匹配拼接。 详解：圆绕圆心旋转任意角度都能和自身重合，将残片绕圆心旋转调整位置，能够和其余碎片对齐拼接，说法正确。 答案：√ 3.实操简答：仅有一段圆弧残片，怎么用对折思路辅助找对称轴？ 分析：模拟对折重合逻辑，找到能让圆弧两侧镜像重合的直线。 详解：把圆弧想象成圆形的一部分，找出一条直线，使直线一侧圆弧能镜像重合到另一侧，这条直线就是圆的一条对称轴；多条对称轴交点就是圆心。 答案：寻找一条直线，使直线两侧的圆弧能完全镜像重合，该直线即为圆的对称轴；多画几条对称轴，交点为圆心。 4.选择：下列不能用于圆形残片复原的性质是（ ） A. 轴对称性 B. 任意旋转对称性 C. 三角形内角和性质 分析：轴对称、旋转对称均可补全残圆，三角形内角和与圆形复原无关。 详解：轴对称可镜像补形，旋转对称可拼接碎片；三角形内角和是三角形专属性质，无法用于圆形残片复原。 答案：C 考点 3：借助外接正方形辅助确定圆参数的技巧 【核心知识】 1.正方形内最大内切圆：圆的直径 = 正方形的边长，圆心与正方形两条对角线交点重合； 2.当圆形残片轮廓不足时，可先画出完整外切正方形，通过正方形边长直接得到圆的直径，换算半径，对角线交点锁定圆心位置，大幅降低复原难度； 3.对应关系：外切正方形边长，圆直径，半径。 【方法点拨】 1.观察残片圆弧与正方形边界的相切点位，反向推出正方形边长； 2.正方形对角线交点就是圆心，无需多次作弦的垂直平分线，提升作图效率； 3.适用场景：残片能看出和正方形边相切的痕迹时优先使用。 【典型例题】 例 1：已知某古镜外切正方形边长为 18cm，求这个古镜圆形镜面的半径。 分析：外切正方形边长 = 圆直径，半径 = 直径 ÷2。 详解 圆直径 = 正方形边长 = 18cm 半径： 答案：古镜镜面半径 9 厘米。 【对应练习】 1.填空：圆外切正方形边长 14cm，圆的直径是（ ）cm，半径（ ）cm。 分析：边长等于直径，直径 ÷2 得半径。 详解 直径 = 14cm，半径 答案：14；7 2.判断：外切正方形对角线交点和内切圆圆心重合（ ） 分析：正方形中心与内切圆圆心是同一点。 详解：正方形内切圆刚好贴合正方形四边，圆心在正方形正中心，也就是两条对角线相交的交点，说法正确。 答案：√ 3.简答：为什么外切正方形边长等于内切圆直径？ 分析：内切圆左右、上下刚好接触正方形四条边，横向最长距离等于正方形边长。 详解：圆内切于正方形，圆最左侧到最右侧的距离（直径）刚好等于正方形左右两条边之间的距离，也就是正方形边长。 答案：内切圆左右、上下刚好贴合正方形四边，圆横向最大长度（直径）与正方形横向边长相等，因此边长等于圆的直径。 4.计算：正方形边长 22cm，内部最大圆形的半径是多少？ 分析：正方形内最大圆为内切圆，直径 = 边长，半径 = 边长 ÷2。 详解 直径 = 22cm 半径： 答案：半径 11 厘米。 考点 4：判断圆形残片能否完整复原的依据 【核心知识】 1.可复原判定标准：残片保留至少一段连续圆弧，就能取三点作弦找圆心半径完成复原； 2.不可复原判定标准：残片仅保留圆形边缘零散碎片、没有连续圆弧段，无法取有效弦作垂直平分线，不能唯一确定圆心半径，无法精准复原； 3.拓展：多块残片只要任意一块带有连续圆弧，就可先定圆参数，再拼接其余碎片。 【方法点拨】 1.快速判断：看残片有没有连续弯曲的圆弧轮廓，有则可复原，无则无法精准复原； 2.误区纠正：不是所有碎块都能复原，关键看是否留存有效圆弧信息。 【典型例题】 例 1：两块碎片，甲保留大半段圆弧，乙只有边缘小块碎渣无连续圆弧，判断能否复原并说明理由。 分析：有无连续圆弧是能否复原的核心标准。 详解 甲碎片可以复原：存在连续圆弧，能在圆弧上取三点作弦，画出垂直平分线确定唯一圆心和半径，复原完整圆； 乙碎片不能复原：没有连续圆弧，无法找到有效弦，不能唯一确定圆心、半径，无法精准复原。 答案：甲能复原，有连续圆弧可取点求圆心半径；乙不能复原，无连续圆弧，无法确定唯一的圆。 【对应练习】 1.填空：判断圆形残片能否复原，关键看是否保留（ ）。 分析：连续圆弧是找圆心半径的必要条件。 详解：只有存在连续圆弧，才能在弧上取点绘制弦，推导圆心与半径，完成复原。 答案：连续圆弧 2.判断：只要是圆形碎块，不管形状大小都能复原整圆（ ） 分析：无连续圆弧的碎渣无法确定圆参数，不能复原。 详解：如果碎块仅为小碎屑、没有连续弯曲的圆弧，无法取点作弦，不能确定唯一的圆心和半径，不能复原整圆，说法错误。 答案：× 3.简答：一块极小的圆弧碎屑能否精准复原整圆？为什么？ 分析：只要存在连续圆弧，就能取点推导圆心半径。 详解：可以精准复原。碎屑带有连续圆弧，能在圆弧上选取三个不同点，作两条弦的垂直平分线，得到唯一圆心，再量取半径，画出完整圆形。 答案：能；碎屑带有连续圆弧，可在圆弧上取三点作弦，通过垂直平分线确定圆心和半径，复原完整圆形。 4.选择：下列残片能复原圆形的是（ ） A. 带连续圆弧的瓷片 B. 仅圆心部位碎块 C. 边缘无弧度碎渣 分析：只有带连续圆弧的碎片满足复原条件。 详解：A 存在连续圆弧，可以取点求圆心半径；B、C 没有连续圆弧，无法确定完整圆形。 答案：A 考点 5：圆形实物尺寸测算的生活应用 【核心知识】 1.圆形桌面、铜镜、圆盘类物品定制配套保护垫、外包装时，必须获取 \\ 直径（或半径）\\ 这一核心数据； 2.测量方法：夹板平移法测直径，再通过换算半径，依据尺寸制作等大配件； 3.单位换算：，考古测量铜镜尺寸时常混合使用厘米、毫米单位。 【方法点拨】 1.生活实操：圆桌铺保护垫只需测出桌面直径，就能算出大小定制匹配垫； 2.考古场景：出土铜镜残片复原后测出直径，可对比史料数据考证文物信息。 【典型例题】 例 1：圆形餐桌桌面直径 120cm，定制完全贴合的保护垫，需要获取什么关键数据？保护垫半径是多少？ 分析：保护垫和桌面是等大圆形，需要直径或半径，半径 = 直径 ÷2。 详解 需要获取圆形桌面的直径（或半径）； 半径计算：。 答案：需要桌面的直径；保护垫半径 60 厘米。 【对应练习】 1.填空：给圆形茶几定制桌垫，必须测量茶几的（ ）。 分析：直径是确定圆形大小的核心测量数据。 详解：测出直径就能算出半径，确定圆形茶几整体大小，匹配桌垫尺寸。 答案：直径（或半径） 2.单位换算：铜镜直径 18.6cm=（ ）mm。 分析：厘米转毫米，乘进率 10。 详解： 答案：186 3.计算：圆桌半径 45cm，桌面直径是多少厘米？ 分析：，直径 = 半径 ×2。 详解： 答案：直径 90 厘米。 4.简答：为什么测圆形桌垫优先测直径而非随意量两点距离？ 分析：直径是圆内最长线段，任意两点连线长度小于直径，无法代表完整尺寸。 详解：圆内只有过圆心的线段是直径，长度最长；随意两点连线长度都小于直径，测出的尺寸偏小，无法匹配完整桌面大小，因此优先测量直径。 答案：直径是圆内最长线段，能代表圆形完整大小；随意两点连线不是直径，长度偏小，测量数据不准确，所以优先测直径。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.4《修复铜镜》 (5个考点) 考点1：圆形残片复原的核心前提（确定圆心与半径） 【核心知识】 1圆的两大决定性要素：圆心（确定圆的位置）、半径（确定圆的大小），二者缺一不可， 残缺圆形想要复原，必须先精准找到这两个要素。 2残片只要保留了一段圆弧，圆弧上任意三点都能用来反向推导圆心：作任意两条弦的垂直 平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心；圆心到圆弧上任意一点的距离就是半径。 3原理支撑：圆上任意一条弦的垂直平分线必然经过圆心，多条弦的垂直平分线交点唯一， 就是圆心位置。 【方法点拨】 1.实操步骤：①在残片的圆弧边缘取3个不同点：②两两连接得到两条弦：③分别作两条弦 的垂直平分线，交点即为圆心；④测量圆心到圆弧端点距离得到半径，即可画出完整的圆。 2.避坑提醒：不能仅靠残片局部轮廓日测圆心，必须借助弦的垂直平分线保证精度。 【典型例题】 例1：一块圆形玉佩残片保留了一段圆弧，简述复原完整圆形玉佩的关键步骤。 分析：依靠弦的垂直平分线找圆心、半径，再画完整圆。 详解 ①在残片的圆弧边上取3个不重合的点： ②两两连接两点，画出两条不同的弦 ③分别作出两条弦的垂直平分线，两条线相交的点就是完整玉佩的圆心： ④测量圆心到圆弧上任意一点的长度，得到半径： ⑤以找到的点为圆心、测出的长度为半径画圆，即可复原完整圆形玉佩： 答案：①圆弧上取3个点，连接得到两条弦：②作两条弦的垂直平分线，交点为圆心；③量 圆心到圆弧距离得半径；④以该圆心、半径画圆复原玉佩。 第1页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.填空：确定一个圆的两个必要条件是（ )和( 分析：圆的两大决定要素基础概念。 详解：圆心决定圆的摆放位置，半径决定圆的大小，二者同时存在才能确定唯一的圆。 答案：圆心：半径 2.判断：只要找到圆心，不用半径也能画出唯一的圆( 分析：缺少半径，圆的大小无法确定，能画出无数个大小不同的同心圆。 详解：只有圆心没有半径，圆的大小不确定，可以画出无数个同心但大小不同的圆，不能得 到唯一的圆，说法错误。 答案：× 3.简答：为什么弦的垂直平分线一定经过圆心？ 分析：圆上任意一点到圆心距离相等（半径相等），垂直平分线上的点到线段两端距离相 等。 详解：圆心到弦两个端点的距离都是半径，长度相等，说明圆心在这条弦的垂直平分线上， 因此任意一条弦的垂直平分线都会经过圆心。 答案：圆心到弦两端点距离相等（均为半径），到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线 上，所以弦的垂直平分线必过圆心。 4.选择：复原残缺圆形最核心的日的是( A.只找圆心 B.只找半径 C.同时确定圆心和半径 D.只观察圆弧形状 分析：圆心、半径缺一不可，只有同时确定二者才能画出唯一完整的圆。 详解：只找到圆心不知道半径，圆大小不确定：只知道半径没有圆心，圆位置不确定，复原 必须同时确定圆心和半径。 答案：C 考点2：利用圆的对称性复原残缺圆形的实操方法 【核心知识】 1.圆有无数条对称轴（直径所在直线），沿任意对称轴对折，圆的两部分完全重合，可利用 轴对称、旋转对称两种方式补全残片： 第2页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 •轴对称法：画出残片圆弧的对称轴，沿对称轴镜像补全缺失部分： ·旋转对称法：圆绕圆心任意角度旋转都与自身重合，将残片绕圆心旋转拼接，补全缺失区 域。 2.对折实操逻辑：残片圆弧沿对称轴对折重合，能反向验证对称轴（直径）位置，多条对称 轴交点锁定圆心。 【方法点拨】 1.轴对称适配场景：残片保留连续长圆弧，优先画对称轴镜像补形： 2.旋转适配场景：零散多块残片，先定圆心再旋转拼接对齐圆弧： 3.组合技巧：先靠垂直平分线定圆心，再用对称性质快速补画完整圆形轮廓。 【典型例题】 例1：半圆形陶瓷残片如何用轴对称性质复原整圆？ 分析：半圆有1条对称轴，沿对称轴镜像对称补出另一半，得到完整圆形。 详解 ①画出半圆垂直于直径的对称轴： ②以对称轴为中线，将现有半圆沿对称轴作轴对称图形，画出另一半圆弧： ③两半圆弧拼接后得到完整圆形。 答案：画出半圆的对称轴，以对称轴为基准画出半圆的轴对称图形，两部分合并得到完整圆 形。 【对应练习】 1.填空：圆的对称轴是( )所在的直线，数量有( )条。 分析：对称轴是直线，直径为线段，过圆心的直径直线都是对称轴。 详解：每一条直径所在直线都是圆的对称轴，过圆心能画出无数条直线，因此有无数条对称 轴。 答案：直径：无数 2判断：把圆形残片绕找到的圆心旋转，可辅助拼接补全圆形( 分析：圆具备任意旋转对称性，绕圆心旋转后圆弧可以匹配拼接。 详解：圆绕圆心旋转任意角度都能和自身重合，将残片绕圆心旋转调整位置，能够和其余碎 片对齐拼接，说法正确。 第3页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 答案：V 3.实操简答：仅有一段圆弧残片，怎么用对折思路辅助找对称轴？ 分析：模拟对折重合逻辑，找到能让圆弧两侧镜像重合的直线。 详解：把圆弧想象成圆形的一部分，找出一条直线，使直线一侧圆弧能镜像重合到一侧， 这条直线就是圆的一条对称轴：多条对称轴交点就是圆心。 答案：寻找一条直线，使直线两侧的圆弧能完全镜像重合，该直线即为圆的对称轴：多画几 条对称轴，交点为圆心。 4.选择：下列不能用于圆形残片复原的性质是( A.轴对称性 B.任意旋转对称性 C.三角形内角和性质 分析：轴对称、旋转对称均可补全残圆，三角形内角和与圆形复原无关。 详解：轴对称可镜像补形，旋转对称可拼接碎片；三角形内角和是三角形专属性质，无法用 于圆形残片复原。 答案：C 考点3：借助外接正方形辅助确定圆参数的技巧 【核心知识】 1.正方形内最大内切圆：圆的直径=正方形的边长，圆心与正方形两条对角线交点重合： 2.当圆形残片轮廓不足时，可先画出完整外切正方形，通过正方形边长直接得到圆的直径， 换算半径，对角线交点锁定圆心位置，大幅降低复原难度： 3.对应关系：外切正方形边长a,圆直径d=a,半径r=a÷2。 【方法点拨】 1.观察残片圆弧与正方形边界的相切点位，反向推出正方形边长： 2.正方形对角线交点就是圆心，无需多次作弦的垂直平分线，提升作图效率： 3.适用场景：残片能看出和正方形边相切的痕迹时优先使用。 【典型例题】 例1：已知某古镜外切正方形边长为18cm,求这个古镜圆形镜面的半径。 分析：外切正方形边长=圆直径，半径=直径2。 详解 圆直径=正方形边长=18cm 第4页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 半径：18÷2=9cm 答案：古镜镜面半径9厘米。 【对应练习】 1.填空：圆外切正方形边长14cm,圆的直径是( )cm,半径( )cm. 分析：边长等于直径，直径÷2得半径。 详解 直径=14cm,半径14÷2=元m 答案：14：7 2判断：外切正方形对角线交点和内切圆圆心重合( 分析：正方形中心与内切圆圆心是同一点。 详解：正方形内切圆刚好贴合正方形四边，圆心在正方形征中心，也就是两条对角线相交的 交点，说法正确。 答案：√ 3.简答：为什么外切正方形边长等于内切圆直径？ 分析：内切圆左右、上下刚好接触正方形四条边，横向最长距离等于正方形边长。 详解：圆内切于正方形，圆最左侧到最右侧的距离（直径）刚好等于正方形左右两条边之间 的距离，也就是正方形边长。 答案：内切圆左右、上下刚好贴合正方形四边，圆横向最大长度（直径）与正方形横向边长 相等，因此边长等于圆的直径。 4.计算：正方形边长22cm,内部最大圆形的半径是多少？ 分析：正方形内最大圆为内切圆，直径=边长，半径=边长2。 详解 直径=22cm 半径：22÷2=11cm 答案：半径11厘米。 考点4：判断圆形残片能否完整复原的依据 【核心知识】 第5页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 1.可复原判定标准：残片保留至少一段连续圆弧，就能取三点作弦找圆心半径完成复原： 2.不可复原判定标准：残片仅保留圆形边缘零散碎片、没有连续圆弧段，无法取有效弦作垂 直平分线，不能唯一确定圆心半径，无法精准复原： 3拓展：多块残片只要任意一块带有连续圆弧，就可先定圆参数，再拼接其余碎片。 【方法点拨】 1快速判断：看残片有没有连续弯曲的圆弧轮廓，有则可复原，无则无法精准复原： 2误区纠正：不是所有碎块都能复原，关键看是否留存有效圆弧信息。 【典型例题】 例1：两块碎片，甲保留大半段圆弧，乙只有边缘小块碎渣无连续圆弧，判断能否复原并说 明理由。 分析：有无连续圆弧是能否复原的核心标准。 详解 甲碎片可以复原：存在连续圆弧，能在圆弧上取三点作弦，画出垂直平分线确定唯一圆心和 半径，复原完整圆 乙碎片不能复原：没有连续圆弧，无法找到有效弦，不能唯一确定圆心、半径，无法精准复 原。 答案：甲能复原，有连续圆弧可取点求圆心半径：乙不能复原，无连续圆弧，无法确定唯 的圆。 【对应练习】 1.填空：判断圆形残片能否复原，关键看是否保留( 分析：连续圆弧是找圆心半径的必要条件。 详解：只有存在连续圆弧，才能在弧上取点绘制弦，推导圆心与半径，完成复原。 答案：连续圆弧 2判断：只要是圆形碎块，不管形状大小都能复原整圆( 分析：无连续圆弧的碎渣无法确定圆参数，不能复原。 详解：如果碎块仅为小碎屑、没有连续弯曲的圆弧，无法取点作弦，不能确定唯一的圆心和 半径，不能复原整圆，说法错误。 答案：× 3简答：一块极小的圆弧碎屑能否精准复原整圆？为什么？ 第6页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 分析：只要存在连续圆弧，就能取点推导圆心半径。 详解：可以精准复原。碎屑带有连续圆弧，能在圆弧上选取三个不同点，作两条弦的垂直平 分线，得到唯一圆心，再量取半径，画出完整圆形。 答案：能；碎屑带有连续圆弧，可在圆弧上取三点作弦，通过垂直平分线确定圆心和半径 复原完整圆形。 4.选择：下列残片能复原圆形的是( ) A.带连续圆弧的瓷片 B.仅圆心部位碎块 C.边缘无弧度碎渣 分析：只有带连续圆弧的碎片满足复原条件。 详解：A存在连续圆弧，可以取点求圆心半径；B、C没有连续圆弧，无法确定完整圆形。 答案：A 考点5：圆形实物尺寸测算的生活应用 【核心知识】 1圆形桌面、铜镜、圆盘类物品定制配套保护垫、外包装时，必须获取直径（或半径）川 这一核心数据； 2.测量方法：夹板平移法测直径，再通过r=d÷2换算半径，依据尺寸制作等大配件： 3.单位换算：1cm=10mm,考古测量铜镜尺寸时常混合使用厘米、毫米单位。 【方法点拨】 1.生活实操：圆桌铺保护垫只需测出桌面直径，就能算出大小定制匹配垫； 2.考古场景：出土铜镜残片复原后测出直径，可对比史料数据考证文物信息。 【典型例题】 例1：圆形餐桌桌面直径120cm,定制完全贴合的保护垫，需要获取什么关键数据？保护垫 半径是多少？ 分析：保护垫和桌面是等大圆形，需要直径或半径，半径=直径÷2。 详解 需要获取圆形桌面的直径（或半径）： 半径计算：120÷2=60cm。 答案：需要桌面的直径；保护垫半径60厘米。 第7页共8页 北师大版六年级数学上册讲义 【对应练习】 1.填空：给圆形茶几定制桌垫，必须测量茶几的( )。 分析：直径是确定圆形大小的核心测量数据。 详解：测出直径就能算出半径，确定圆形茶几整体大小，匹配桌垫尺寸。 答案：直径（或半径） 2.单位换算：铜镜直径18.6cm=( mm 分析：厘米转毫米，乘进率10。 详解：18.6×10=186mm 答案：186 3.计算：圆桌半径45cm,桌面直径是多少厘米？ 分析：d=2r,直径=半径×2。 详解：45×2=90cm 答案：直径90厘米。 4.简答：为什么测圆形桌垫优先测直径而非随意量两点距离？ 分析：直径是圆内最长线段，任意两点连线长度小于直径，无法代表完整尺寸。 详解：圆内只有过圆心的线段是直径，长度最长；随意两点连线长度都小于直径，测出的尺 寸偏小，无法匹配完整桌面大小，因此优先测量直径。 答案：直径是圆内最长线段，能代表圆形完整大小：随意两点连线不是直径，长度偏小，测 量数据不准确，所以优先测直径。 第8页共8页北师大版六年级数学上册讲义 第二单元2.4《修复铜镜》(5个考点) 考点 1:圆形残片复原的核心前提(确定圆心与半径) 【核心知识】 1.圆的两大决定性要素:圆心(确定圆的位置)、半径(确定圆的大小),二者缺一不可,残缺圆形想要复原,必须先精准找到这两个要素。 2.残片只要保留了一段圆弧,圆弧上任意三点都能用来反向推导圆心:作任意两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心;圆心到圆弧上任意一点的距离就是半径。 3.原理支撑:圆上任意一条弦的垂直平分线必然经过圆心,多条弦的垂直平分线交点唯一,就是圆心位置。 【方法点拨】 1.实操步骤:①在残片的圆弧边缘取 3 个不同点;②两两连接得到两条弦;③分别作两条弦的垂直平分线,交点即为圆心;④测量圆心到圆弧端点距离得到半径,即可画出完整的圆。 2.避坑提醒:不能仅靠残片局部轮廓目测圆心,必须借助弦的垂直平分线保证精度。 【典型例题】 例 1:一块圆形玉佩残片保留了一段圆弧,简述复原完整圆形玉佩的关键步骤。 【对应练习】 1.填空:确定一个圆的两个必要条件是( )和( )。 2.判断:只要找到圆心,不用半径也能画出唯一的圆( ) 3.简答:为什么弦的垂直平分线一定经过圆心? 4.选择:复原残缺圆形最核心的目的是( ) A. 只找圆心 B. 只找半径 C. 同时确定圆心和半径 D. 只观察圆弧形状 考点 2:利用圆的对称性复原残缺圆形的实操方法 【核心知识】 1.圆有无数条对称轴(直径所在直线),沿任意对称轴对折,圆的两部分完全重合,可利用轴对称、旋转对称两种方式补全残片: •轴对称法:画出残片圆弧的对称轴,沿对称轴镜像补全缺失部分; •旋转对称法:圆绕圆心任意角度旋转都与自身重合,将残片绕圆心旋转拼接,补全缺失区域。 2.对折实操逻辑:残片圆弧沿对称轴对折重合,能反向验证对称轴(直径)位置,多条对称轴交点锁定圆心。 【方法点拨】 1.轴对称适配场景:残片保留连续长圆弧,优先画对称轴镜像补形; 2.旋转适配场景:零散多块残片,先定圆心再旋转拼接对齐圆弧; 3.组合技巧:先靠垂直平分线定圆心,再用对称性质快速补画完整圆形轮廓。 【典型例题】 例 1:半圆形陶瓷残片如何用轴对称性质复原整圆? 【对应练习】 1.填空:圆的对称轴是( )所在的直线,数量有( )条。 2.判断:把圆形残片绕找到的圆心旋转,可辅助拼接补全圆形( ) 3.实操简答:仅有一段圆弧残片,怎么用对折思路辅助找对称轴? 4.选择:下列不能用于圆形残片复原的性质是( ) A. 轴对称性 B. 任意旋转对称性 C. 三角形内角和性质 考点 3:借助外接正方形辅助确定圆参数的技巧 【核心知识】 1.正方形内最大内切圆:圆的直径 = 正方形的边长,圆心与正方形两条对角线交点重合; 2.当圆形残片轮廓不足时,可先画出完整外切正方形,通过正方形边长直接得到圆的直径,换算半径,对角线交点锁定圆心位置,大幅降低复原难度; 3.对应关系:外切正方形边长,圆直径,半径。 【方法点拨】 1.观察残片圆弧与正方形边界的相切点位,反向推出正方形边长; 2.正方形对角线交点就是圆心,无需多次作弦的垂直平分线,提升作图效率; 3.适用场景:残片能看出和正方形边相切的痕迹时优先使用。 【典型例题】 例 1:已知某古镜外切正方形边长为 18cm,求这个古镜圆形镜面的半径。 【对应练习】 1.填空:圆外切正方形边长 14cm,圆的直径是( )cm,半径( )cm。 2.判断:外切正方形对角线交点和内切圆圆心重合( ) 3.简答:为什么外切正方形边长等于内切圆直径? 4.计算:正方形边长 22cm,内部最大圆形的半径是多少? 考点 4:判断圆形残片能否完整复原的依据 【核心知识】 1.可复原判定标准:残片保留至少一段连续圆弧,就能取三点作弦找圆心半径完成复原; 2.不可复原判定标准:残片仅保留圆形边缘零散碎片、没有连续圆弧段,无法取有效弦作垂直平分线,不能唯一确定圆心半径,无法精准复原; 3.拓展:多块残片只要任意一块带有连续圆弧,就可先定圆参数,再拼接其余碎片。 【方法点拨】 1.快速判断:看残片有没有连续弯曲的圆弧轮廓,有则可复原,无则无法精准复原; 2.误区纠正:不是所有碎块都能复原,关键看是否留存有效圆弧信息。 【典型例题】 例 1:两块碎片,甲保留大半段圆弧,乙只有边缘小块碎渣无连续圆弧,判断能否复原并说明理由。 【对应练习】 1.填空:判断圆形残片能否复原,关键看是否保留( )。 2.判断:只要是圆形碎块,不管形状大小都能复原整圆( ) 3.简答:一块极小的圆弧碎屑能否精准复原整圆?为什么? 4.选择:下列残片能复原圆形的是( ) A. 带连续圆弧的瓷片 B. 仅圆心部位碎块 C. 边缘无弧度碎渣 考点 5:圆形实物尺寸测算的生活应用 【核心知识】 1.圆形桌面、铜镜、圆盘类物品定制配套保护垫、外包装时,必须获取 \\ 直径(或半径)\\ 这一核心数据; 2.测量方法:夹板平移法测直径,再通过换算半径,依据尺寸制作等大配件; 3.单位换算:,考古测量铜镜尺寸时常混合使用厘米、毫米单位。 【方法点拨】 1.生活实操:圆桌铺保护垫只需测出桌面直径,就能算出大小定制匹配垫; 2.考古场景:出土铜镜残片复原后测出直径,可对比史料数据考证文物信息。 【典型例题】 例 1:圆形餐桌桌面直径 120cm,定制完全贴合的保护垫,需要获取什么关键数据?保护垫半径是多少? 【对应练习】 1.填空:给圆形茶几定制桌垫,必须测量茶几的( )。 2.单位换算:铜镜直径 18.6cm=( )mm。 3.计算:圆桌半径 45cm,桌面直径是多少厘米? 4.简答:为什么测圆形桌垫优先测直径而非随意量两点距离? 第 1 页 共 5 页 学科网(北京)股份有限公司 $