第十周 妖怪重叠算淸楚——重叠问题-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学三年级奥数训练（竞赛版）

3.7 第57变 1.② ④2. 0 ( 6 8 5 (2 3 3.2 第八周悟空数妖用消去 —消去法解题 第58变 1.8×5=40(个) 2.15÷5=3(个)2×3=6（个） 3.14÷7=22×2=4(只) 第59变 1.3个水瓶+20个茶杯=134（元） 3个水瓶+16个茶杯=118（元） (134-118)÷（20-16)=4(元) （134-20×4)÷3=18(元) 2.2千克梨+6千克苹果=26（元） 2千克梨+16千克苹果=56（元） (56-26)÷（16-6)=3(元) （26-6×3)÷2=4（元) 3.2个大练习本十2个小练习本十4个大字本 =18（元) 2个大练习本+2个小练习本+2个大字本 =（18-6)(元) 1个大字本一1个大练习本=1（元) (18-12)÷(4-2)=3（元) 3-1=2(元) （18-3×4-2×2)÷2=1（元) 第60变 1.1箱苹果十2箱梨=194（元）① 2箱苹果+5箱梨=458（元）② ①×2：2箱苹果+4箱梨=388（元)③ ②-③：458-388=70（元） 194-70×2=54（元) 2.3个足球+4个排球=500（元)① 6个足球+2个排球=520（元)② ①×2：6个足球十8个排球=1000（元）③ ③-②：(1000-520)÷(8-2)=80（元） 3.1千克苹果十1千克橘子十1千克梨= 16(元)① 2千克苹果+2千克橘子+3千克梨=16 +20=36(元)② ①×2：2千克苹果+2千克橘子+2千克 梨=32（元）③ ②-③：36-32=4（元） (16-4)÷2=6（元) 第九周八戒分食遇盈亏 一盈亏问题 第61变 1.3元5角+1元5角=5（元) (5×4)元+1元5角=21元5角 2.(2+8)÷(8-3)=2(只) 3.（13+3)÷（32-28)=4（辆) 28×4+13=125（名) 第62变 1.（10+3×4)÷（3-2)=22(个) 22×2+10=54(件) 2.（34-5+3)÷（34-30)=8（辆) 8×30+3=243(人) 3. 船数 4 每船5人 6 11 6 31 36 (还剩1人) 31÷4=7…3 第63变 1.（37-1)÷(7-4)=12(人) 12×4一1=47（棵) 2.(12+2)÷（12-10)=7（个) 10×7+2=72(个) 3.(30-10)÷(55-50)=4(个) 50×4一10=190（名） 第十周妖怪重叠算清楚 一重叠问题 第64变 1.（120+16)÷2=68（厘米) 2.1200+1200-375=2025(毫米) 123 3.8×42-(8-1)×8=280(厘米) 第65变 1.16×2-28=4(厘米) 16×8-4×（8一1)=100（厘米） 2.8×4=32(厘米)32-29=3（厘米) 3厘米=30毫米30÷6=5（毫米) 3.5+5=10（毫米)10毫米=1厘米 9一1=8（厘米）65一9=56（厘米) 56÷8=7(个)1+7=8（个） 第66变 1.5+4-2=7(个)10一7=3（个） 2.39+28=67(人)67-45=22（人） 3.29-（13+12-5)=9（名) 第十一周悟空探秘找规律 一规律问题 第67变 1.1619 2.16 3.2850 第68变 1.（1)286682（2)1881略 2.9817187 3.202530254225 第69变 1.42 2.274 3.6 第十二周唐僧摆阵三阶幻方 一三阶幻方 第70变 1. 15 20 13 1416 18 191217 124 2.4 3 11 20 6 12 18 19 4 13 第71变 1.63÷3=21 答：中央数是21。 9 2 4 6 8 5 10 3 3.76 第72变 1.21 11 29 17 25 19 13 21 9 27 3.45第十周 妖怪重叠算清楚 一重叠问题 取经情境图 算清重叠 问题三关 方能过崖 简单！算总长要加上重叠 单块木板有多长？ 数，再求单块木板长度。 用总数量减去重叠数， 或找重叠规律！ 39厘米 这又怎么算呢？ 8只妖 问：100个铁环连在一起有多长？ 15只妖 12只妖 要馒头 都要 要米粥 问：一共有多少只妖 厚度5毫 重叠厚度1厘一 4厘米 找到重叠长度和重叠次数就能破关！ 共有19只妖。 韦恩图分单独和重叠部分， 算总数要减去重叠部分。 闯关前思考 过铁索桥时，要根据总长和重叠部分算每块木板长多少；八戒数铁环，算 重叠后的总长度；韦恩图分类时，要厘清重叠数的关系。重叠问题的核心是包 含与排除，如何计算木板、铁环重叠后的长度？怎样用韦恩图解决分类中的重 叠问题？本周我们一起来探究。 91 小学奥数72变三年级 竞赛版 第 64变 、妖怪叠板算长度 木板重叠 考点入门 2分钟 入门须知： 重叠问题的核心是包含与排除。要知道单 块木板的长度，需要用重叠后的总长度加上重 39厘米 叠部分的长度，再除以木板的块数；要知道重 单块木板的长度 门厘米 叠后的总长度，需要从总长度中减去重叠部分， 是多少？ 得到实际总长度；要知道重叠长度，需从总长 度中减去重叠后的长度。 定海神针： 单块木板长度=（重叠后总长度十重叠的 两块木板重叠后的总长度 总长度)÷块数 加重叠长度算出总长度再 重叠后总长度=单块木板长度X块数 除以2。 重叠的总长度 重叠后总长度=单块木板长度×块数一重叠长度×（块数一1） 问路取经： 为什么两块木板叠合后，单块长度要用“（总长度十重叠长度）÷2”计算？因为叠 合后的总长度少算了1次重叠部分，把总长度补回1次重叠长度，就得到两块木板的原长 之和，再除以2就是单块长度。多块木板同理，只要算准重叠次数，就能快速求出总长度 或单块长度。 图解母题 3分钟 例 读题审题 (希望杯)把两块一样长的木板钉在一起，得到一块长39厘！ 米的木板。中间重叠部分长11厘米：， 单块木板的长度是多少厘米？ 钉在一起后的木板长度 →求单块木板的长度 和中间重叠部分的长度 9 第十周妖怪重叠算清楚 图示解析 39厘米 11厘米 易错点：计算方法错误。 解题思路 ①补全总长度：叠合后总长度39厘米，少算了1次重叠长度11厘米，补 回后得两块木板原长之和：39十11=50（厘米）。 ②计算单块长度：两块木板一样长，用总和除以2，即50÷2=25（厘米）。 ③验证结果：两块木板的长度都为25厘米，叠合后总长度=25十25一11 =39(厘米)，与题目条件一致。 规范解答 (39+11)÷2=25(厘米) 答：单块木板的长度为25厘米。 通关模型美64变木板重叠 通用解法：两块等长木板重叠时，求单块木板长度，需将重叠后总长度加上重叠部分得 到原长之和，再平分；求多块木板的总长度，用单块长度乘块数，减去“重叠长度×（块 数一1)”的重叠总量。 三步解题： 1.算总长度差：根据重叠次数，确定需补的重叠总长度。 2.求关键量：两块木板时，用“（叠合后的总长度十重叠长度）÷2”算单块长度。 3.检验结果：代入原条件验证，确保叠合后总长度或单块长度符合题意。 93 小学奥数72变三年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（创新杯)把两块一样长的木板像右图这样钉在 一起。如果这两块钉在一起的木板长120厘米， 中间重叠部分是16厘米，单块木板长多少厘米？ 画图思考/规范解答： 2.(青少年数学思维交流活动复赛)有两块同样长的木 板，长1200毫米，如果把两块木板重叠后钉成 一块木板（如图)，重叠部分是375毫米，求 钉成后的这块木板的长度。 画图思考/规范解答： 3.(数学大王)8条长度为42厘米的彩色胶带重叠贴在一起，如图所示，各重叠 部分都是8厘米。连接后的彩色胶带的总长度是多少厘米？ 42厘米 42厘米 42厘米 42厘米 8厘米 8厘米 8厘米 画图思考： 规范解答： 94 第十周妖怪重叠算清楚 第65变。八戒算铁环总长 铁环重叠 考点人门2分钟 入门须知 铁环重叠时，每次重叠的长度通常为两个铁环的 重叠次数=数量-1。 厚度之和。例如，若每个铁环厚度为5毫米，则每次 重叠部分为1厘米(5毫米×2)。这是因为两个铁 量长赛环长度铁环个数-2x铁环厚度×（铁环个数-） 环连接时，重叠部分会同时覆盖两个铁环的厚度。 若需计算多个铁环连接后的总长度，可先计算 所有铁环的总长度，再减去重叠部分的总长度。 定海神针： 总长度=单个铁环长度×铁环个数一2×铁环 厚度×（铁环个数一1) 铁环重叠长度=2×厚度。 问路取经： 为什么铁环重叠长度是“2×厚度”？因为两个铁环套在一起时，每个铁环各伸入对 方一个厚度，重叠部分的总长度就是两个厚度之和。找准单个重叠长度和重叠次数，就能 快速算出总长度。 图解母题 3分钟 》铁环连在一起的状态 例 读题审题 (中奥杯)有一些大小相同的铁环连在一起 ,拉紧后如下图 所示，100个铁环连在一起有多少厘米？ 求连在一起的总长 5毫米 4厘米 95 小学奥数72变三年级 竞赛版 图示解析 5毫米 4厘米 易错点：误将铁环厚度当作重叠长度。 解题思路 ①确定单个铁环长4厘米，厚度5毫米（0.5厘米)，相邻重叠长度0.5十0.5 =1（厘米)，共100个铁环。 ②算重叠次数100-1=99（次），总重叠长度1×99=99（厘米）。 ③总长度为4×100一99=301（厘米）。 规范解答5毫米=0.5厘米0.5十0.5=1（厘米） 100一1=99（次）1×99=99（厘米） 4×100-99=301(厘米) 答：100个铁环连在一起有301厘米。 通关模型65变铁环重叠 通用解法：铁环重叠求总长，先算所有铁环不重叠的总长，再减去“2×铁环厚度X（铁 环个数一1)”的重叠部分总长即可。 三步解题： 1.找参数：明确单个铁环长度、厚度或相邻重叠长度、铁环个数。 2.算重叠：重叠次数=个数一1，相邻重叠长度=2×厚度，总重叠长度=相邻重叠长度 ×重叠次数。 3.求总长：代入数据计算并验算。 96 第十周妖怪重叠算清楚 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)如图所示，两个同样的铁环连在一起 长28厘米，每个铁环长16厘米，8个这样的 铁环依次连在一起长多少厘米？ 画图思考/规范解答： 28 ?毫米 2.(希望杯)如图所示，把4个大小相同的铁环连 在一起，拉紧后的长度为29厘米。每个铁环的 厚度为多少毫米？ 画图思考/规范解答： 8厘米 29厘米 3.(创新杯)一批大小相同的铁环，每个铁环的完整长度是9厘米，铁环的厚度 是5毫米；现在把这些铁环连在一起，拉紧后的总长度是5厘米。一共用了 多少个这样的铁环？ 画图思考： 规范解答： 7 小学奥数72变三年级 竞赛版 第66变 师徒分物韦恩解 一用韦恩图解重叠问题 考点入门2分钟 入门须知： 韦恩图是解决重叠问题的直观工具，用两个或 多个相交的圆圈分别表示不同的集合，如“要馒头 15只妖 8只妖 12只妖 的人”“要米粥的人”，相交部分就是两个集合的 要头 都要 重叠部分，如“既要馒头又要米粥的人”。 定海神针： 总数量=A集合数量十B集合数量一重叠部分 先算要馒头和要米粥的总妖数。 数量十都不包含的数量（若有都不包含的情况）。 问路取经： 遇到重叠问题，为啥韦恩图能让思路变清晰？ 因为它能直观地区分单独部分和重叠部分，避免重 复计算或遗漏。 再减去两种都要的数量」 图解母题 3分钟 参加跳绳和跑步比赛的人数< 例 读题审题 (世少赛)三（2)川 班学生参加体育比赛，其中参加跳绳比赛 的有38人， 参加跑步比赛的有34人， 两项比赛都参加的有30人，都没参加 →两项比赛都参 的有3人。 三(2)班的学生一共有多少人？ 加的人数 都不参加的人数 求三(2)班的总人数 98 第十周妖怪重叠算清楚 图示解析 30人两项都参加 3人两项都没参加 34人参加 跑步比赛 38人参加跳绳比赛 ?人 易错，点：忽略重叠部分而重复计算。 解题思路 ①算参加跳绳和参加跑步的人数：34十38=72（人）。 ②算参加比赛的总人数：72一30=42（人)。 ③算全班总人数：参加比赛的总人数十两项都没参加的人数=42十3=45 (人)。 规范解答 34+38=72（人) 72-30=42(人) 42+3=45(人) 答：三(2)班的学生一共有45人。 通关模型鱼66变用韦恩图解重叠问题 通用解法：通过韦恩图区分各部分的数据，再结合公式计算总数量，若有都不包含的情况， 需额外加上。 三步解法： 1.标数据：在韦恩图中分别标注A集合数、B集合数、重叠数、都不包含数。 2.总人数：根据数据算出参加的总人数。 3.求总数：若有不包含的情况需加上。 99 小学奥数72变三年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(春蕾杯)有10个铅笔盒，其中5个装有铅笔，4个装有钢笔，2个既装有铅 笔又装有钢笔，空笔盒有多少个？ 画图思考： 规范解答： 2.(春蕾杯)三（1)班全班45名学生报名参加校运动会，除拔河比赛全班所有 学生参加外，其余两个项目每人至少参加一项，已知全班参加踢键子比赛的 有39人，参加投篮比赛的有28人，请问三项比赛都报名参加的有多少人？ 画图思考： 规范解答： 3.(走美杯)少年宫春季书法班、美术班、乐器班招生。书法班招收了29名学员， 在这些学员中，既报书法班又报美术班的有13名，既报书法班又报乐器班的 有12名，三个班都报的有5名。那么，只参加书法学习的学员有多少名？ 画图思考： 规范解答： 100