第27章反比例函数（大单元教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦反比例函数核心知识，通过行程、几何、购物等生活化情境导入，引导学生感知“积定反比”规律，衔接一次函数“定义—图象—性质—应用”研究框架，构建函数知识体系。 立足新课标核心素养，以情境抽象培养数学抽象能力，通过描点作图探究双曲线深化几何直观，结合工程、物理等实际问题落实数学建模，分层评价适配不同学情，助力学生掌握函数研究方法，提升教师教学针对性与效率。

第二十七章反比例函数（大单元教学设计） 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 1. 纵向学段衔接：承前启后，完善函数知识体系.本章严格遵循初中函数学习递进规律，承接八年级一次函数、正比例函数的学习方法与研究框架（定义—图象—性质—应用），延续“变化与对应”的函数核心思想；同时衔接本章前置二次函数的建模思维，区别于一次函数的线性变化、二次函数的抛物线对称变化，反比例函数刻画积定反比的非线性变化规律，填补了初中非线性基础函数的知识空白.同时，本章是高中幂函数、分式函数、函数单调性与最值学习的重要前置基础，学生在本章建立的数形结合、变量分析、函数建模思维，是高中函数深度学习的必备能力，在初中学段函数体系中具有不可替代的枢纽地位. 2. 横向单元架构：体系完整，逻辑层层递进.单元内部形成螺旋上升、闭环完整的知识链条：第一层级：概念建构，从实际情境抽象反比例函数定义，区分正反比例函数，夯实概念根基；第二层级：图象探究，通过描点作图探究双曲线的分布、增减性、对称性，掌握函数研究通用方法；第三层级：性质深化，重点突破比例系数k的几何意义，关联矩形、三角形面积，实现代数与几何融合；第四层级：实际应用，依托生活、工程、跨学科场景建立反比例模型，解决定值类实际问题；第五层级：综合拓展，通过章末数学活动实操探究，实现知识的生活化、实践性升华.本章从具象到抽象、从理论到实践、从单一知识到综合应用，符合九年级学生认知规律，是初中函数综合应用能力提升的核心单元. 3. 中考与育人地位：核心考点，素养落地载体.反比例函数是中考必考核心模块，常以选择填空（图象性质、k的几何意义）、解答题（函数综合、实际建模、与一次函数几何综合）形式考查，侧重考查数形结合、建模应用能力.同时，新教材强化生活化、实践性、跨学科设计，让函数不再是纯理论公式，而是解决实际问题的工具，落实数学学以致用的育人目标. 新课标衔接与核心素养 依据《义务教育数学课程标准（2022版）》要求，结合2024版新教材改编导向，本单元聚焦四大数学核心素养，精准对接课标要求： 1. 数学抽象.通过路程速度、矩形面积、单价数量等真实情境，引导学生从大量变化关系中，抽象出“两个变量乘积为定值”的本质特征，归纳反比例函数解析式y=(k≠0)，摆脱具体情境束缚，形成反比例函数的抽象概念模型，提升从现实问题中提炼数学本质的抽象能力. 2. 几何直观与数形结合.课标明确要求“能画出反比例函数图象，根据图象分析函数性质”。本单元核心依托双曲线图象，直观感知函数象限分布、增减性、对称性、无限趋近性，通过“数（解析式）—形（图象）—量（面积、取值）”的转化，突破抽象难点，培养几何直观素养，固化数形结合核心思想. 3. 数学建模.本单元是初中建模思想的重点落地单元.课标要求学生能利用反比例函数刻画现实中的反比变化规律，新教材新增大量生活、物理跨学科素材，引导学生经历“提取变量—分析变化关系—建立反比例模型—求解验证—回归实际”的完整建模流程，掌握定值类反比问题的通用建模方法. 4. 运算能力与推理能力.在求解函数解析式、利用性质求值、几何面积计算、综合题型推理过程中，锻炼学生精准运算、逻辑推理能力；通过对比正反比例函数、辨析函数增减性易错点，培养严谨的逻辑推理与归纳辨析能力. 课标核心目标衔接总结：本单元严格落实新课标“掌握一类函数、学会一种方法、提升一种素养”的要求，不仅让学生掌握反比例函数的知识，更让学生固化“定义—图象—性质—应用”的函数研究通用方法，为后续自主研究复杂函数奠定思维范式. 学情分析 （一）已有知识基础 1. 函数方法基础：学生八年级已系统学习一次函数、正比例函数，熟练掌握函数的定义、变量与常量、图象绘制、性质探究、简单实际应用，完全熟悉初中函数的研究流程，具备学习新函数的方法迁移能力. 2. 知识储备基础：学生已掌握分式运算、比例关系、平面直角坐标系、矩形与三角形面积计算等知识，能够支撑反比例函数解析式变形、图象描点、k的几何意义探究等单元核心内容的学习. 3. 思维能力基础：九年级学生已具备初步的数形结合、自主探究、小组合作、数据分析能力，能够独立完成简单的作图、取值、归纳规律等探究任务. （二）认知优势 1. 方法可迁移：反比例函数的研究框架与一次函数高度一致，学生可迁移旧知学习方法，快速适应新函数的学习节奏，降低新知接受难度. 2. 情境易理解：本单元素材均来源于生活（行程、工程、购物、密度测量），贴近学生生活实际，具象化的变化规律便于学生理解抽象的反比关系. 3. 探究意愿较强：相较于枯燥的代数计算，图象探究、实操活动、生活应用类内容，更能激发九年级学生的探究兴趣，适合开展自主、合作探究式学习. （三）核心学习短板与思维障碍 1. 概念辨析障碍：学生习惯正比例“同增同减、和差变化”规律，极易混淆正比例与反比例函数的本质，无法精准区分“比值定值”与“乘积定值”的核心差异，是单元入门最大障碍. 2. 图象认知局限：学生长期学习一次函数直线图象，对反比例函数双曲线非线性、分象限、不与坐标轴相交、增减性分区间的特征理解困难，容易出现“整体增减性判断错误”的典型问题. 3. 数形转化薄弱：难以灵活实现“由数释形、由形推数”，对比例系数k的几何意义理解机械，无法自主关联函数图象与几何图形面积，数形结合应用能力不足. 4. 建模能力不足：面对复杂生活、跨学科情境时，学生容易被繁杂背景干扰，无法精准提取两个核心变量，难以判断是否为反比例关系，建模解题套路不清晰. 5. 细节思维疏漏：普遍忽略实际情境自变量取值范围、k的正负对图象象限的影响、图象对称性的隐性应用，解题易错点集中. （四）分层学情差异 1. 优生层：可快速掌握基础概念与性质，具备一定的综合推理能力，但缺乏大单元知识整合能力，难以构建函数体系关联，综合压轴题解题思维不够全面. 2. 中等层：基础知识点掌握扎实，但知识碎片化，数形转化、建模应用、综合变式解题能力薄弱，题型一变就容易出错，知识迁移能力不足. 3. 薄弱层：概念辨析模糊、图象性质记忆混乱、基础运算易错，无法独立完成建模探究，需要依托具象化素材、阶梯式问题引导逐步突破. （五）学习心理分析 九年级学生具备一定的自主学习意识，但函数知识抽象性强，长期的易错点积累易让学生产生畏难情绪；同时学生擅长具象学习、抵触抽象理论，因此大单元教学中需多依托情境、实操、图象可视化手段，降低抽象难度，层层突破难点，帮助学生建立函数学习信心. 整体来看，学生有方法、有基础、有兴趣，但缺辨析、缺整合、缺建模。基于此，本大单元整体教学需遵循“重对比、重数形、重建模、重整合”的原则：以一次函数旧知为铺垫，以情境探究为载体，以数形结合为主线，以易错辨析为抓手，以单元知识整合为目标，分层突破学生思维障碍，落实核心素养，实现从“单点知识学习”到“单元体系建构”的进阶. 单元教学目标 本单元教学目标以2022版义务教育数学新课标为依据，严格依托人教版2024版九年级上册第27章反比例函数教材内容设计，立足大单元整体教学视角，统筹单元全部课时（反比例函数概念、图象与性质、k的几何意义、实际应用、章末数学活动），遵循学生认知规律，分为知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度与价值观四个维度，统领全单元教学. 知识与技能 1. 概念理解：结合教材生活实例（面积、行程、工程、单价问题），理解反比例函数的定义，掌握反比例函数解析式y=(k≠0)及变式 xy=k；能准确区分正比例函数与反比例函数，能依据定义判断两个变量是否成反比例函数关系. 2. 图象与性质掌握：熟练掌握用描点法画反比例函数双曲线图象的步骤；掌握反比例函数图象象限分布、增减性、对称性、无限趋近坐标轴的核心性质；能根据比例系数k的正负，精准判断图象位置与函数变化规律，明确反比例函数分区间增减的特殊性. 3. 核心规律掌握：熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义，能利用双曲线上点构造矩形、三角形，求解图形面积，能根据几何面积求k的值，掌握教材数形结合基础题型. 4. 解析式求解：掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，能结合已知点坐标、几何面积、实际变量关系快速求解函数解析式. 5. 实际与综合应用：能结合教材生活情境、跨学科情境（密度计问题）建立反比例函数模型；能根据实际意义确定自变量取值范围，利用反比例函数性质解决定值类变化问题；掌握反比例函数与一次函数简单综合的基础解题技能. 数学思考 1. 函数体系思考：延续初中函数“定义—图象—性质—应用”的通用研究思路，类比一次函数的学习方法探究反比例函数，完善初中函数知识框架，建立变量对应、变化规律的函数核心思维. 2. 核心思想建构：在作图、析图、解题过程中，深度感悟数形结合思想，实现“由式看图、由图释数”的双向转化；在归纳变量乘积定值规律中，体会模型思想、特殊到一般思想；在分象限讨论函数增减性中，初步建立分类讨论思想. 3. 抽象与推理思考：能从纷繁的实际问题中剥离数量关系，抽象出反比例变化模型；通过观察图象特征、归纳函数性质，发展合情推理能力；通过性质应用、几何面积推导，提升逻辑演绎推理能力. 4. 规律思辨思考：能辨析正比例“比值一定、同增同减”与反比例“乘积一定、一增一减”的本质区别，突破思维定式，形成严谨的变量变化规律思辨能力. 问题解决 1. 建模解题能力：能独立分析教材中面积、行程、压强、密度等典型实际问题，准确提取两个关联变量，判断反比例关系，经历分析情境—提炼变量—建立模型—求解验证—结合实际作答的完整解题过程，熟练解决反比例函数实际应用问题. 2. 探究迁移能力：能自主完成教材图象探究、矩形作图、数学活动等探究任务，掌握反比例函数探究方法，能举一反三解决变式问题，具备知识迁移与自主探究能力. 3. 综合分析能力：能解决反比例函数图象性质辨析、k几何面积计算、正反比例函数综合、简单函数交点问题，学会拆分综合题型、分步解决难点. 4. 反思归纳能力：在解题与探究后，能自主总结题型规律、归纳易错问题，能在小组合作中交流解题思路、辨析错误，提升问题解决的规范性与准确性. 情感态度 1. 激发学习兴趣：通过教材中生活化、可视化的反比例变化实例与动手数学活动，感受反比例函数的规律性与实用性，体会数学与生活、物理学科的紧密联系，弱化函数抽象、难懂的刻板印象，激发函数学习兴趣. 2. 培养严谨态度：在图象绘制、数据取值、规律归纳、运算求解的过程中，养成认真细致、严谨求实、规范答题的良好学习习惯，树立严谨的数学探究态度. 3. 增强应用意识：感受反比例函数解决“积定变化类”实际问题的独特价值，学会用数学视角观察、分析生活中的变化规律，增强数学应用意识与学科融合意识. 4. 树立学习信心：通过自主探究、合作交流逐步突破反比例函数重难点，积累解题与探究经验，获得学习成就感，培养主动钻研、乐于思考的学习品质，提升数学学习自信心. 学习活动设计 . 情境感知：感知反比规律，铺垫新知活动一 概念建构：抽象定义，辨析本质活动二 数形探究：自主画图，归纳性质，突破核心活动三 建模应用：落实应用，掌握建模活动四 综合拓展：整合单元、实操探究、素养提升活动五 学习评价设计 过程性评价 过程性评价聚焦学生单元学习全过程，覆盖课堂探究、师生互动、随堂训练、作业落实、小组合作、数学活动实操，以课本原生素材为唯一评价依据，动态跟踪学生知识掌握与能力生长. （一）课堂探究表现评价 评价载体：教材情境探究、描点作图实验、性质归纳思考、k几何意义推导、正反比例概念辨析. 评价内容与标准：1. 概念探究维度：能自主从课本面积、行程、购物情境中提炼变量关系，准确归纳“乘积为定值”的反比例本质，可精准辨析反比例函数解析式特征、k≠0、x≠0的限制条件. 2. 图象探究维度：能严格按照课本步骤完成列表、取值、描点、连线，规范画出双曲线；可自主观察归纳k的正负对图象象限、增减性的影响，能发现图象无限趋近坐标轴、分区间增减的核心特征. 3. 性质推理维度：能主动参与课堂讨论，准确区分正比例“比值一定”与反比例“乘积一定”的差异，能结合图象说明函数增减规律与对称性. 评价方式：教师随堂观察记录、小组互评、课堂展示点评、即时口头纠错. 等级评定：A级（优秀）：独立完成探究，自主归纳规律，能进行变式辨析； B级（达标）：在引导下完成探究，掌握基础性质，无核心概念错误； C级（待提升）：作图不规范、性质混淆，无法独立归纳规律. （二）随堂例题与练习评价 评价载体：课本课时例题、课内练习、课后基础习题. 核心评价要点：1. 基础题型：反比例函数的判断、解析式求解、图象象限判断的正确率； 2. 重点题型：k的几何意义（矩形、三角形面积计算）解题规范性； 3. 易错题型：分区间增减性判断、自变量取值范围辨析。 评价重点：关注学生数形结合意识、步骤规范性、审题严谨性、易错点规避能力. （三）课时作业常态化评价 分层评价内容：1. 基础性作业：课本基础习题，评价概念掌握、简单运算、图象识别能力； 2. 提升性作业：课本变式习题，评价k值求解、图象综合辨析、简单实际应用能力； 3. 纠错性评价：建立错题台账，重点跟踪单元高频易错点： （1）混淆正反比例函数本质； （2）忽略反比例函数分象限增减，整体判断增减性； （3）忘记实际问题中自变量的正数取值范围； （4）k的几何意义计算遗漏绝对值. （四）单元数学活动实操评价 评价载体：课本章末两大数学活动：矩形作双曲线、密度计反比例探究 评价内容：1. 动手操作能力：能根据等面积矩形精准找点、描点，还原双曲线轨迹； 2. 跨学科建模能力：能从密度计物理情境中提取变量，建立反比例模型； 3. 合作探究能力：小组分工明确，能交流探究结论、归纳活动规律. 终结性评价 终结性评价立足大单元整体知识体系，以课本核心考点、重难点、典型题型为蓝本，全面检测学生单元知识掌握、能力迁移与素养达成情况，用于单元结业达标检测. （一）评价范围 1. 知识层面：反比例函数定义与解析式、图象分布与性质、参数k的几何意义、反比例函数待定系数法求解、课本生活与跨学科实际应用、单元综合题型. 2. 能力层面：数形结合能力、数学建模能力、逻辑推理能力、实际问题解决能力、知识迁移应用能力. （二）评价题型与占比 1. 基础达标题（60%）：改编自课本例题、课后习题，考查概念辨析、图象识别、基础解析式求解、简单面积计算，面向全体学生，保障基础知识达标. 2. 能力提升题（30%）：课本变式题型，考查k的几何综合、正反比例函数综合、函数图象性质辨析，侧重考查数形结合能力. 3. 素养创新题（10%）：对标课本数学活动与跨学科应用，考查生活、物理情境下的反比例建模应用，侧重核心素养检测. （三）分层评价目标 1. 基础层：全体学生掌握课本核心基础知识，能解决基础常规题型； 2. 提高层：中等学生熟练掌握图象性质与几何意义，可解决单元重点变式题型； 3. 拔高层：优等生可独立完成综合建模、跨学科探究、函数综合题型，具备知识迁移能力. （四）评价功能与结果运用 1. 诊断班级共性问题：如建模能力薄弱、数形转化不灵活、易错点反复出错等； 2. 定位学生个体短板：区分概念薄弱、运算薄弱、综合应用薄弱三类问题； 3. 指导单元复盘：针对检测暴露的课本重难点漏洞，开展专题补漏、错题复盘、变式巩固。 终结性评价以课本核心考点、例题原型、变式题型为主，全面检测单元知识掌握与素养达成，分层考查基础、中档、综合能力. 反思性教学改进 结合本单元过程性评价日常数据与终结性评价检测结果，立足课本教学蓝本，从学生学情问题、课堂教学不足、针对性改进策略三方面完成教学反思与优化. 一、学生单元学习典型问题复盘 1. 概念理解表层化.学生能记忆反比例函数解析式，但对“xy=k积定反比”的核心本质理解不透彻，容易与正比例函数比值定值规律混淆，在概念辨析题中频繁出错. 2. 数形结合思维薄弱.学生机械记忆图象性质，但无法实现“由式判形、由形推数”，不会利用双曲线图象分析变量变化规律，对k的几何意义只会套公式，不懂几何本质. 3. 性质理解存在思维误区.受一次函数整体增减性思维影响，学生极易忽略反比例函数分象限、分区间增减的特点，笼统判断函数增减性，成为单元高频易错点. 4. 实际建模能力短板突出.面对课本行程、工程、压强、密度等生活化、跨学科情境，学生无法快速剥离繁杂背景、提取核心变量，难以自主建立反比例函数模型，且普遍忽略自变量实际取值范围，解题不完整. 5. 实操与综合能力不足.对课本数学活动的探究逻辑理解肤浅，只会机械操作，无法归纳图象生成原理与跨学科变化规律，知识迁移能力不足. 二、本单元课堂教学存在的不足 1. 探究放手程度不足.课堂中性质归纳、规律总结多由教师引导完成，留给学生自主画图、自主观察、自主归纳的时间不足，学生知识生成体验不深刻，理解停留在被动记忆层面. 2. 易错点专项辨析不足.对正反比例辨析、分区间增减性、自变量取值范围等课本核心易错点，缺少专项对比训练和错题辨析环节，导致学生思维误区未彻底破除. 3. 建模教学套路固化.讲解课本实际应用题时，侧重解题结果输出，对“找变量、辨关系、建模型、验实际”的建模思维拆解不够细致，学生未形成通用建模思维. 4. 分层教学落实不到位.统一教学节奏难以兼顾分层学情，学困生跟不上探究节奏、基础薄弱，优等生缺少课本拓展变式训练，能力提升受限. 三、后续针对性教学改进措施 1. 深化概念生成教学，立足课本情境.后续教学严格依托课本生活情境，坚持“情境列式—对比辨析—归纳本质”的流程，重点强化“积定反比”核心，通过正反比例对比专题，彻底厘清概念差异，杜绝机械记忆. 2. 强化数形结合专项训练.以课本图象探究为核心，增设“看图说性质、由式画图象、数形互推”微专题训练，让学生亲历图象生成、性质推导全过程，真正理解k的几何意义本质，打通数与形的关联. 3. 聚焦易错点，开展专项纠错.针对分区间增减性、自变量取值范围等高频易错点，整理课本易错题型，开展课堂辨析、错题复盘、变式训练，帮助学生破除思维定式，形成严谨解题习惯. 4. 细化建模流程，落实学以致用.拆解课本所有实际应用题型，固化“审情境—找双变量—判反比关系—建模型—求参数—验取值—规范作答”的七步建模流程，强化跨学科情境教学，提升学生建模能力. 5. 落实分层教学，适配学情.依托课本习题分层设计课堂任务、课后作业，基础层夯实课本例题与基础习题，提升层强化变式与几何综合，拓展层深化数学活动与综合探究，实现全员达标、分层提升. 四、单元教学总结 本单元通过全过程、多元化、依托课本的评价体系，完整记录了学生从概念探究、性质学习到实践应用的成长过程，精准暴露了教与学的核心问题。后续将以本次评价反思为依据，优化函数探究类课堂教学流程，强化数形结合与数学建模核心素养落地，实现大单元教学的提质增效. 单元教学结构图 教学设计 情境感知:感知反比规律，铺垫新知活动一 · 情境引入 呈现问题情境，引导学生观察变量变化规律： 1. 行程情境：从甲地到乙地的总路程120km固定，行驶速度v（km/h）发生变化，行驶时间t（h）随之变化；速度越大，用时越短. 2. 几何情境：矩形面积为24㎡固定，矩形的长x（m）发生变化，宽y（m）随之变化；长越长，宽越短. 3. 生活购物情境：购买文具总花费60元固定，单品单价x（元）变化，购买数量y（件）随之变化；单价越高，购买数量越少. 追问1.以上三个问题中，都有几个变量？ 追问2.一个量变化时，另一个量如何变化？ 追问3.变化过程中，什么量始终保持不变？ 学生初步观察、口头回答：均有两个变量，一增一减，两个变量的乘积是固定不变的常数. （设计意图：严格依托课本开篇生活化情境，从学生熟悉的行程、几何、购物场景切入，避开抽象概念灌输，让学生直观感知“积定、反向变化”的反比核心特征；通过设问聚焦变量与不变量，对比之前学的正比例“比值一定、同向变化”，为本单元反比例函数概念学习做好感性铺垫，降低新知入门难度.） · 探究新知 针对上述三个情境，引导学生列出变量关系式、填表观察规律，完成深度探究： 探究点1：列关系式 1. 路程一定：vt=120，即 t= 2. 面积一定：xy=24，即 y= 3. 总价一定：xy=60，即 y= 探究点2：数据填表感知变化（以面积情境为例） 矩形长x（m） 3 4 6 8 12 矩形宽y（m） 8 6 4 3 2 学生观察表格数据：x逐步增大，y逐步减小，每组x、y的乘积恒为24. 探究点3：归纳共性规律 小组讨论后师生共同归纳共性： 1. 每个问题都有两个相互依赖的变量； 2. 两个变量反向变化（一增一减）； 3. 两个变量的乘积始终是一个非零定值； 4. 关系式均可统一写成：y=（k为不为0的常数）的形式. 总结归纳：这种“两个变量乘积为定值，变量成反向变化”的对应关系，就是本节课要研究的反比例变化规律，是反比例函数的核心本质. （设计意图：遵循教材“情境—列式—数据验证—归纳规律”的探究逻辑，让学生亲历从具体实例到共性规律的提炼过程，完成从“生活现象”到“数学模型”的初步抽象；通过表格量化变化，破除学生对反向变化的模糊认知，精准抓住“积定反比”的本质，为后续精确定义反比例函数筑牢认知基础，培养学生观察、归纳、抽象的数学思考能力.） · 应用新知 例1.下列问题中的变量是否成反比例变化关系？若成，请写出变量之间的关系式： （1）已知三角形的面积为30，三角形的底边长为x(cm)，这条底边上的高为y(cm)； （2）圆的周长C与半径r的关系。 【分析】本题核心考查反比例变化规律的识别，解题关键：判断两个变量是否满足乘积为非零定值、变量反向变化.步骤：①根据公式列变量关系式；②判断是比值定值（正比例）还是乘积定值（反比例）；③得出结论. 【详解】（1）判断三角形底与高的关系 根据三角形面积公式：S=xy 代入定值面积S=30，得：xy=30 整理得：xy=60 变量x、y的乘积为定值60，满足积定反向变化规律， 因此底边长x与高y成反比例变化关系，关系式：y=. （2）判断圆的周长与半径的关系 根据圆的周长公式：C=2πr 变形得：=2π（定值） 变量比值为定值，属于正比例变化关系，不成反比例关系. 例2．关系式 中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由． 【分析】直接利用反比例函数的定义，即形如(k为常数且)的函数，叫做反比例函数，即可判定． 【详解】解：是的反比例函数， 由得，，比例系数等于， 故是的反比例函数，比例系数等于． 知识小结：判断反比规律核心标准：两变量、积定值、反向变. (设计意图:选用课本同类基础题型，精准对应本节课“感知反比规律”的学习目标，通过正反案例对比，帮助学生厘清正比例与反比例的本质区别；通过规范步骤拆解，让学生掌握反比关系的通用判断方法，实现新知的即时落地、即时巩固，突破初学最易混淆的概念误区.) 概念建构:抽象定义，辨析本质活动二 · 情境引入 承接活动一的反比变化实例，选取三组典型变化关系，再次呈现变量解析式： 1.路程一定，时间与速度：t= 2. 面积一定，矩形宽与长：y= 3. 总价一定，数量与单价：y= 追问1. 以上三个式子在形式上有什么共同特征？ 追问2. 自变量、因变量、常数分别有什么特点？ 追问3. 能不能用一个统一代数式概括这类变化关系？ 引导学生观察：三个式子均为一个变量等于定值除以另一个变量，结构高度统一. （设计意图:依托教材原生例题式子，承接上一活动的感性认知，从“感知现象”过渡到“形式归纳”，自然引出概念建构任务，避免概念突兀抛出，遵循学生“具象—抽象”的认知规律.） · 探究新知 探究点1. 归纳统一形式，抽象课本定义 学生小组观察、对比、归纳，教师规范得出课本标准反比例函数定义： 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数. 探究点2. 深度辨析概念本质（核心要点） 师生共同拆解定义三要素，抓准本质： ① 结构特征：变量在分母，分子是非零常数； ②取值要求：k≠0,自变量 x≠0，函数值 y≠0； ③本质关系：可变形为 xy=k，核心是两变量乘积为定值； ④变量个数：只有两个变量，一个自变量、一个函数. 探究点3. 对比辨析：正比例与反比例 正比例：y=kx，比值一定、同增同减 反比例：y=，乘积一定、一增一减 (设计意图:依照“观察共性→抽象定义→拆解要素→辨析本质”的概念生成流程，让学生自主建构概念而非死记定义，精准突破学生最容易混淆的正反比例本质差异，夯实本单元所有知识的理论根基.) · 应用新知 例1.下列关系式中，哪些是反比例函数？若是，请写出比例系数k的值： （1）y= 　（2）y=3x　（3）xy=-6　（4）y= 【分析】本题对标课本概念辨析题型，解题核心：紧扣反比例函数标准形式 y=(k≠0) 或变式 xy=k.判断关键点：自变量只能是单独x，不能是多项式； k为常数且不为0； 符合“定值除以自变量”结构. 【详解】（1）y= 符合 y=(k≠0) 标准形式，是反比例函数，k=5。 （2）y=3x属于正比例函数形式，比值一定，不是反比例函数。 （3）xy=-6可变形为 y=，符合反比例本质积定关系，是反比例函数，k=-6。 （4）y=不符合定义形式，不是反比例函数. 例2.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．当时，，求这个反比例函数的解析式． 【分析】直接利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流Ⅰ（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 解题小结:分母只含单x；分子为常数k且不为0；可化为积定形式 xy=k. (设计意图:选用概念辨析题型，覆盖学生四大高频易错点：正比例混淆、隐藏积定形式、自变量错位、分式结构误判，通过规范例题详解，让学生落地概念、固化判断方法，真正做到懂定义、明本质、会判断.) 数形探究:自主画图，归纳性质，突破核心活动三 · 情境引入 通过前面学习，学生已经掌握：反比例函数解析式为 y=(k≠0) ，变量满足积定反比关系. 追问1. 一次函数图象是直线，反比例函数的图象是什么形状？ 追问2. 当k>0(<0)时，图象位置和变化规律是否相同？ 追问3. 为什么反比例函数图象永远不会与坐标轴相交？ 教师引导：函数的性质藏在图象中，本节课沿用初中函数通用研究方法——列式→取值→描点→画图→观形归纳性质，自主探究反比例函数图象与核心性质. (设计意图:沿用教材“类比旧知、设问激趣、数形探究”的导入逻辑，通过对比一次函数图象研究方法，让学生形成函数研究通用范式；通过三个核心疑问直指本课时重难点，让学生带着问题探究，明确学习目标，自然进入画图探究环节.) · 探究新知 探究点1：自主画图 以下面两个函数为例： ① y=（k>0） ② y=-(k<0） 1. 取值列表 对于 y= x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 对于 y=-，对应值全部取相反数。 2. 描点 3. 连线 学生在坐标系中自主描点，用平滑曲线顺次连接，得到两支不相连的曲线，教师点明：反比例函数的图象叫做双曲线. 探究点2：观察图象，归纳课本核心性质 小组对比 k>0、k<0 两种图象，归纳得出课本标准性质： 1. 图象分布: 当k>0时，双曲线分布在第一、三象限；当k<0时，双曲线分布在第二、四象限. 2. 增减性: 当k>0时,在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时,在每个象限内，y随x的增大而增大. 重点强调：增减性不能跨象限讨论，必须强调“每个象限内”. 3. 图象特征 图象由两支曲线组成，不相交、不经过原点；图象无限靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交（因为x≠0，y≠0）；双曲线关于原点中心对称、关于直线y=x、y=-x轴对称. (设计意图:按照“描点作图—观察对比—归纳性质”的探究流程，让学生亲历图象生成全过程，从直观图形中自主提炼抽象性质，落实数形结合核心素养；重点突破“分象限增减”这一本单元最大思维误区，从根源纠正学生“整体判断增减性”的错误习惯，突破课时核心重难点.) · 应用新知 例1已知反比例函数y=，根据下列条件分别求参数取值范围： （1）函数图象分布在第一、三象限； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大. 【分析】本题是考查k的符号与图象位置、增减性的对应关系;解题核心思路：图象在一、三象限 比例系数k>0； 每个象限内y随x增大而增大比例系数k<0；本题解析式比例系数为(k-2)，整体代入判断即可. 【详解】（1）∵ 图象分布在第一、三象限 ∴ 比例系数大于0,k-2>0 解得：k>2. （2）∵ 在每个象限内，y随x的增大而增大 ∴ 比例系数小于0,k-2<0 解得：k<2. 例2.在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小． （1）函数经过哪些象限？ （2）求的取值范围． 【分析】（1）根据y随x的增大而减小，即可求解； （2）由（1）得：函数经过第一、三象限，可得到5-﹥0，即可求解． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象上，y随x的增大而减小 ∴函数经过第一、三象限， （2）∵函数经过第一、三象限， ∴5-﹥0， 即﹤5 解题小结:正一三、负二四（k正负定象限）;正大减、负大增（每个象限内增减规律）;增减性必须限定“同一象限内”. (设计意图:选用课本最基础、最核心的性质应用题，直击本课时两个核心考点：象限分布判断、增减性判断；通过含参题型训练，让学生灵活掌握“由k判图、由图定k”的双向思维，即时巩固新知，纠正概念模糊、忽略区间限制的典型错误，实现当堂探究、当堂掌握、当堂突破核心难点.) 建模应用——落实应用，掌握建模活动四 · 情境引入 情境展示:生活、生产、物理中大量存在总量固定，两个变量此增彼减、乘积恒定的问题，这类问题均可以用反比例函数解决. 1. 工程问题：工作总量固定，工作效率越高，完成时间越短； 2. 物理压强问题：压力一定，受力面积越大，压强越小； 3. 行程问题：路程一定，速度越大，行驶时间越短。 追问1. 这类问题的共同特点是什么？ 追问2. 如何把生活文字情境转化为数学函数模型？ 追问3. 实际问题中自变量可以取全体实数吗？ 引导学生总结：总量定值、两变量积定、反向变化，符合反比例函数特征，可建立反比例模型求解. (设计意图:从生活与跨学科真实场景切入，让学生感知反比例函数的实用价值；通过设问直指建模核心，让学生明确本节课目标——学会从实际情境中提炼数学模型，完成从“学函数性质”到“用函数解题”的思维过渡.) · 探究新知 探究点1：归纳反比例函数实际问题建模通用步骤 结合教材实例，师生共同提炼、归纳反比建模五步法，为本章所有实际应用题定范式： 步骤1：审清情境，找总量 读懂题意，确定问题中固定不变的总量（路程、面积、压力、总工程量、总质量等）。 步骤2：确定双变量 找出题目中两个变化的相关变量，区分自变量与函数。 步骤3：判断函数关系 若满足：变量乘积=固定总量，则判定为反比例函数关系。 步骤4：建立模型，求解析式 设y= ,代入已知一组对应变量值，求出定值k，写出完整解析式. 步骤5：结合实际取值、求解作答 实际问题中，变量多为正数（长度、速度、时间、面积），自变量x>0，结合取值范围求值、检验、规范作答. 核心归纳:所有反比例实际应用题的统一模型： 变量1 ×变量2 = 固定总量. (设计意图:依托例题逻辑，提炼可通用的建模流程，打破学生“看一题、会一题、换题不会”的困境；规范实际问题建模的思维路径，落实新课标数学建模核心素养，同时重点强化“实际自变量取值范围”这一课本高频易错点.) · 应用新知 例1.某工地需要运送一批砂石，砂石总质量固定为300吨，设每天运送砂石的质量为x吨，完成全部运送任务所需时间为y天. （1）求y关于x的函数解析式； （2）若每天运送砂石30吨，需要多少天完成运送任务？ 【分析】本题考查实际情境反比例建模与求值.解题关键：确定不变总量：砂石总质量300吨；识别变量关系：每天运量×天数=总质量（积定，成反比）；结合实际意义确定自变量为正数；先建模、后代入求值. 【详解】（1）根据题意：每天运送质量 × 运送天数 = 总砂石质量 可得等量关系： xy=300 变形得y关于x的函数解析式： y= 由实际意义可知：运送质量为正数，因此自变量取值范围：x>0. （2）当 x=30 时，代入解析式： y==10 答：需要10天完成运送任务. 例2.如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 解题总结: 实际反比问题必先找固定总量；乘积定值→反比例模型；所有生活实际问题自变量均取正数； 先求解析式，再代入求值. (设计意图:选用最具代表性的工程类原型例题，完整套用本节课总结的建模五步法，让学生直观体验“文字情境—数量关系—函数模型—实际求解”的全过程；规范答题格式，针对性解决学生建模无从下手、忽略自变量取值范围两大易错痛点，实现学以致用，夯实单元应用核心能力.) 综合拓展:整合单元，实操探究，素养提升活动五 · 情境引入 经过本单元四阶段学习，我们已经系统掌握：反比例函数定义本质、图象性质、k的几何意义、实际建模应用.课本章末设置两个数学实操活动，目的是跳出纯刷题，回归函数本质： 1. 几何视角：用等面积矩形手动构造双曲线，直观理解图象来源； 2. 跨学科视角：用密度计物理模型验证生活中的反比例规律。 追问1.为什么反比例函数图象永远是双曲线？它的点是怎么生成的？ 追问2.生活中的精密仪器为什么暗含反比例函数规律？ 追问3.如何将单元零散知识整合为一套完整的探究方法？ 本节课通过课本实操活动，整合全单元知识，实现几何直观+跨学科建模+综合应用素养提升. (设计意图:以教材章末数学活动为载体，对本单元知识进行整体性复盘，从“单点知识学习”过渡到“单元体系整合”；通过设问激发实操探究兴趣，明确本节课是单元知识的升华与综合运用，为学生搭建知识闭环.) · 探究新知 探究点1：几何实操探究——等面积矩形作双曲线 探究原理：固定矩形面积为定值，根据：xy=k. 长、宽成反比例关系，顶点坐标轨迹即为反比例函数图象. 实操步骤：1. 设定矩形面积为定值（如S=10）； 2. 不断变换矩形长与宽，保证面积不变； 3. 记录每组(x,y)坐标； 4. 在坐标系中描点，所有点连成平滑曲线，形成第一象限双曲线. 归纳结论：1. 积定生图象：双曲线不是人为绘制，是定值面积点的运动轨迹； 2. 本质回归：再次印证反比例函数核心：xy=k； 3. 几何意义深化：双曲线上任意一点对应等面积矩形. 探究点2：跨学科探究——密度计中的反比例规律 探究原理：同一支密度计重力不变，漂浮时浮力恒定， 液体密度ρ与浸入深度h乘积为定值，满足反比例关系：ρh=k 探究归纳：1. 液体密度越大，浸入深度越小，符合反比一增一减规律； 2. 密度计刻度“上疏下密”，是反比例函数非线性变化的直观体现； 3. 实现数学与物理跨学科融合，强化建模思想. 单元整体知识整合总结 师生共同梳理单元闭环体系：实际情境→抽象定义→画图象研性质→k几何意义→生活建模→实操验证. （设计意图：严格复刻新教材章末两大核心活动，让学生动手实操、亲眼验证函数本质，突破“只会做题、不懂原理”的学习短板；通过几何+跨学科双探究，整合单元所有重难点，落实几何直观、数学建模、综合推理核心素养，达成大单元最终育人目标.） · 应用新知 例1.已知固定面积的矩形面积为36，设矩形的长为x，宽为y。 （1）请写出y关于x的反比例函数解析式，并写出自变量取值范围； （2）若点(a,4)在该反比例函数图象上，求a的值； （3）结合本单元知识，说明该函数图象的形态与性质. 【分析】本题整合定义建模、图象性质、点在图象上的特征、几何本质，是课本数学活动1的综合变式题。 考查四大单元核心：1. 积定反比建模；2. 实际自变量取值范围；3. 函数图象上点的代入特征；4. 反比例函数图象与性质归纳.综合性强，完全适配单元收尾素养测评要求. 【详解】解：（1）由矩形面积公式得：xy=36 整理得解析式：y= 矩形长为正数，因此自变量取值范围：x>0 （2）∵ 点(a,4)在函数图象上 ∴ 将x=a，y=4代入解析式：4== 解得：a=9. （3）函数性质综合归纳： ① 图象为反比例函数第一象限的双曲线分支； ② k=36>0，在第一象限内，y随x的增大而减小； ③ 图象无限靠近x轴、y轴，永不与坐标轴相交； ④ 图象上任意一点与坐标轴围成矩形面积恒为36. 例2．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？ （2）如果该司机必须在之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？ 【分析】(1)直接求出总路程，再利用路程除以时间=速度，进而得出关系式；(2)由题意可得 ≤5，进而得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，两地路程为80×6=480（km）， 故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v=． （2）由v=，得t=， 又由题知：t≤4， ∴≤4． ∵v＞0 ∴480≤4v． ∴v≥120． 答：返程时的平均速度不能低于120 km/h． 解题小结 综合拓展题解题核心： 1. 遇定值面积、定值总量优先联想反比例模型； 2. 实际问题自变量必取正数； 3. 图象性质必须结合象限与区间完整描述； 4. 数形结合、模型落地、回归本质。 （设计意图：本题高度整合单元全部核心考点，对标课本数学活动实操原理，实现“实操—理论—解题”闭环；训练学生综合运用单元知识解决整合性问题的能力，纠正性质描述不完整、忽略取值范围、不会数形转化等终极易错点，完成大单元知识、能力、素养的全面升华.） · 课堂小结 知识技能总结：本单元通过层层递进的系列课堂活动，系统完成了反比例函数的整体学习，全面落实教材要求的基础知识与基本技能.通过情境感知活动，学生认识了生活中积定反向变化的反比例现象，能够区分正比例与反比例的变化特征，初步建立反比例数量认知.通过概念建构活动，学生掌握反比例函数的定义、标准解析式及 xy=k 的本质形式，能够准确判断反比例函数，明确 k≠0、自变量不为0的限制条件.通过数形探究活动，学生亲历描点画图全过程，认识反比例函数的图象为双曲线，掌握由k的正负判断图象象限、区间增减性、对称性、无限趋近坐标轴等核心图象性质，熟练掌握反比例函数数形对应的基本技能.通过建模应用活动，学生掌握教材中工程、行程、几何面积、压强等典型实际问题的反比例建模方法，能够准确提取变量、确定定值、建立函数解析式，并结合实际情境判断自变量取值范围，规范求解、验证结果.通过综合拓展实操活动，学生结合课本数学活动，理解双曲线的几何生成原理，感知跨学科情境中的反比例规律，实现单元知识的整合、迁移与综合运用. 数学思想方法总结：1. 数形结合思想：本单元核心思想。通过解析式分析图象特征、通过图象解释函数变化规律，实现代数与几何双向转化，帮助学生直观理解抽象函数性质.2. 模型思想：从生活、几何、物理情境中提炼不变量与变量关系，抽象出反比例函数模型，掌握定值类问题的通用建模方法.3. 特殊到一般思想：从具体实例、具体数值、特殊图象入手，归纳得到反比例函数的一般性定义、图象特征与变化规律.4. 分类讨论思想：根据k的正负分类讨论图象分布与增减趋势，根据不同象限分段分析函数变化，培养严谨、完整的数学思维. 易错点与学习提醒：1. 易混淆正反比例本质，比值定值为正比例，乘积定值为反比例.2. 反比例函数增减性只能在每个象限内分别讨论，不能跨象限整体判断.3. 双曲线永不与坐标轴相交，因为自变量和函数值均不能为0.4. 实际应用中容易忽略自变量的实际意义，忘记取值范围为正数，导致答案不符合实际情境.5. 解决综合问题时容易出现数形脱节，不会利用k的几何意义快速求解面积与参数. 本单元所有课堂活动遵循教材编排逻辑，由感知到建构、由探究到应用、由基础到综合，层层落地知识、能力与素养，完整达成反比例函数大单元教学目标. · 当堂练习 一、选择题 1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：A.∵，∴不在反比例函数的图象上； B.∵，∴在反比例函数的图象上； C.∵，∴不在反比例函数的图象上； D.∵，∴不在反比例函数的图象上； 故选：B． 2．反比例函数图象经过点，则下列说法错误的是（　　） A．函数图象始终经过点 B．函数图象分布在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【详解】∵反比例函数图象经过点， ∴，∴， A. 由于，∴函数图象始终经过点，说法正确； B. ，函数图象分布在第一、三象限，故说法正确； C. 当时，y随x的增大而减小，说法正确； D. 当时，y随x的增大而增大，说法错误． 故选D． 3．如果点，在反比例函数的图象上，且满足当时，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵点，为反比例函数图象上两点，当时，， ∴，解得， 故选：B． 4．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数的图象也一定经过点（　　） A． B． C． D． 【详解】将点代入中，得，所以反比例函数为； ．将代入得，所以该点不经过反比例函数； ．将代入得，所以该点不经过反比例函数； ．将代入得，所以该点不经过反比例函数； ．将代入得，所以该点经过反比例函数． 故选：D 5．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，，当时，氧气的密度是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设，当时，，∴， ∴， ∴与的函数关系式是； 当时，． 故选：C． 6．若下图中的双曲线解析式均为，则阴影面积为12的是（　　） A．  B．  C．   D．   【详解】解：A．阴影面积，不符合题意； B．阴影面积，不符合题意； C．阴影面积，不符合题意； D．阴影面积，符合题意． 故选：D． 7．若点，，在反比例（k为常数）的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】解： （k是常数）中， 函数图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，，在反比例函数是常数的图象上，， 在第四象限，、在第二象限，∴， 故选：D． 8．如图，己知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，则的值可能为（ ）    A．10 B． C．8 D．2 【详解】解：由图可知：， ∵反比例函数图象的一支与线段有交点，且点， ∴把代入得，， 把代入得，， ∴满足条件的值的范围是． 故选：C． 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，若点和点都在反比例函数的图象上，则 （填“>”“=”或“<”）． 【详解】解：∵，，∴在每一个象限内，随的值的增大而减小， ∵，∴． 故答案为：． 10．一艘轮船装载240吨货物到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨/天）与卸货时间t（单位：天）之间的函数关系为 ． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 11．如图，点在双曲线上，轴于,则 ．    【详解】解：由题意，得：，∴， ∵图象在一、三象限，∴，∴； 故答案为：14. 12.如图，矩形的顶点O在坐标原点，顶点分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋得到矩形．若点O的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为 ． 【详解】解：设则， 根据反比函数k的几何意义可得：， 即， 解得：， 两点在第一象限， ， ， 点在反比例函数图像上， ． 三、解答题 13．已知一个反比例函数为，求的值． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 14．已知反比例函数的解析式，并且当时，． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的解析式，并且当时，， ∴； ∴； （2）当时，． 15．在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大． (1)函数图象经过哪些象限？ (2)求k的取值范围． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴函数经过第二、四象限． （2）∵在反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴，解得． 16．已知x，y满足下表. x … 1 4 … y … 4 1 … (1)求y关于x的函数表达式： (2)当时，求y的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：当时，， 当时，， ， 在每一象限内，y随x的增大而减小， 当时，． 17．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示：    (1)求电流I关于电阻R的函数解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10A，请直接写出该用电器可变电阻R应控制在什么范围？ 【详解】（1）设电流I与电阻R之间的函数表达式为, ∵函数图象过点（9，4）， ∴， 解得：， ∴电流I与电阻R之间的函数表达式为． （2）解：∵限制电流不能超过， ∴， 解得：， ∴用电器的可变电阻应大于或等于． 18．如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求反比例函数的解析式． 【详解】解：∵直线与轴交于点， 当时，∴，即， ∵，∴，∴点的横坐标为， ∵点在直线上，∴点， 将代入，∴，∴，∴反比例函数的解析式． 单元作业设计 基础达标 1、 选择题 1．下列函数中，变量是的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：A． 是正比例函数，故本选项不符合题意． B．   此项变量是的反比例函数，故本选项不符合题意． C． 可变形为是反比例函数，故本选项符合题意． D． 是正比例函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．若反比例函数的图像分布在第二、四象限，则 k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【详解】解：∵反比例函数的图像分布在第二、四象限， ∴， 解得：， 故选：C． 3．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的阁象上，则这四种气体的质量最小的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【详解】解：根据题意，的值即为该气体的质量， ∵描述乙、丁两该气体的质量的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴乙、丁两该气体的质量相同， ∵点丙在反比例函数图象上面，点甲在反比例函数图象下面， ∴丙该气体的质量值最大，甲气体的质量的值最小． 4．已知点在反比例函数的图象上，下面的点不在这个图象上的是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：将点代入中可得：，解得， ∴反比例函数解析式为 A. 当时，，∴不在函数的图象上，故此选项符合题意； B. 当时，，∴在函数的图象上，故此选项符不合题意；     C. 当时，，∴在函数的图象上，故此选项不符合题意；     D. 当时，，∴在函数的图象上，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间成反比例关系，安安用一个蓄电池作为电源与一个可调电阻、电流表、开关组装了一个电路如图1所示，图2是实验中电流与电阻的关系图象， 经过点．下列说法不正确的是（    ） A．电流随电阻的增大而减小 B．这个蓄电池的电压值是 C．当电阻的阻值变为原来的时， 对应的电流变为原来的 D．当电阻时， 电流I的范围是 【详解】解：A.由于反比例函数的图象在第一象限，则电流随电阻的增大而减小，说法正确，不符合题意； B.设，把代入得，即，则这个蓄电池的电压值是，说法正确，不符合题意； C. 当电阻的阻值变为原来的时， 则，整理得，即对应的电流变为原来的，说法错误，符合题意； D.当时，，根据电流随电阻的增大而减小，即当电阻时， 电流I的范围是，说法正确，不符合题意； 故选C 6.反比例函数，，在同一坐标系中的图象如图所示，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【详解】解：由图知，的图象在第三象限，，的图象在第四象限， ∴， 又当时，有， ∴． 故选：C． 7．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，两点，当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是　　    A． B． C． D． 【详解】解：由图象可知： 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，一次函数大于反比例函数的函数值， 当时，反比例函数等于一次函数的函数值， 当时，反比例函数大于一次函数的函数值， 即当一次函数大于反比例函数的值时，的取值范围是：， 故选：B． 8.在平面直角坐标系中，分别过点，作轴的垂线和，探究直线，直线与双曲线的关系． 甲：两直线中总有一条与双曲线相交． 乙：当时，两直线与双曲线的交点在轴两侧． 丙：当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3． 则正确的是（    ） A．甲、乙的说法正确 B．甲、丙的说法正确 C．乙、丙的说法正确 D．三人的说法都正确 【详解】解：与不同时为0， 两直线中总有一条与双曲线相交，故甲说法正确； 当时，，两直线与双曲线的交点在轴右侧，故乙说法错误； ，且与之间一一对应， 当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的距离一定大于3，故丙说法正确； 综上所述，甲、丙的说法正确， 故选：B． 9．如图，在反比例函数的图象上有点A，B，C，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，，已知点A，B，C的横坐标分别为2，3，4，，则k的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【详解】解：点A，B，C在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为2，3，4， ，，， ，，， ， ， 解得：， 故选：B． 10.如图是反比例函数和在x轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象交于、两点，点在轴上，则的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【详解】解：如图， 连接、，设交轴于， 轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，， 轴， 点、在反比例函数和在轴上方的图象上， ， ， 轴, 与“同底等高”， ， 故选：A． 二、填空题 11．已知，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是 ．（用“＜”连接） 【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故答案为： 12.如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，若，则x的取值范围是 ． 【详解】结合图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴若，则x的取值范围是或， 故答案为：或． 13.反比例函数（）与正比例函数的交点坐标为 ． 【详解】解：由得： 解得：或 ∵， ∴反比例函数（）与正比例函数的交点坐标为 故答案为： 14.如图，点A在反比例函数的图象上，直线交反比例函数另一支图象于点B，过A、B两点分别作轴于M，轴于N，连接，则四边形面积为 ． 【详解】解：设点，根据反比例函数的对称性质，求得点， 可得到， 四边形面积为， 故答案为：9． 三、解答题 15.已知是的反比例函数，且当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)当时，求的值． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 当时，， ， ， 关于的函数解析式为：； （2）解：当时，， 的值为． 16.已知点在反比例函数的图象上． (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为． ∴当时，． （2）∵当时，；当时，， 又∵反比例函数，在时，y值随x值的增大而减小， ∴当时，y的取值范围为． 17.由物理学知识知道，在力F的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s，力所做的功．当W为定值时，F与s之间的函数关系图像如图所示． (1)试确定F、s之间的函数解析式． (2)当力F为时，发生位移多少米？ 【详解】（1）解：如图，点在图像上， ∴， ∴， ∴， ∴F、s之间的函数解析式； （2）当时，，解得， 答：发生位移0.25米． 18.已知是关于x的反比例函数． (1)若时，y随x的增大而减小，求m的值； (2)若该反比例函数图象经过第二象限内点，求n的值． 【详解】（1）解：由题意可知， 解得． （2）由题意可知， 解得． 即， 所以， ． 19.某打印店要完成一批电脑打字任务，如果每天完成100页，需8天完成任务． (1)则每天完成的页数y与所需天数x之间是什么函数关系? (2)要求4天完成，每天应完成几页? 【详解】（1）解：由题意得， ， 整理，得， 每天完成的页数与所需天数之间是反比例函数关系； （2）由（1）题所得，， 由题意得， 解得， 每天应完成200页． 20.一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴. 21.已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．    (1)求一次函数的表达式； (2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值． 【详解】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点， ∴，， 解得，， ∴，， ∵，在一次函数（）的图像上， ∴，解得， 所以，一次函数的表达式是； （2）将直线沿轴负方向平移个单位，可得， 联立， 消去y可得， 整理可得， 因为只有一个交点， 所以， 解得， 所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点． 22.如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点．    (1)求k的值； (2)将正方形分别沿直线、翻折，得到正方形、．设线段、分别与函数的图象交于点、，求线段所在直线的函数关系式； (3)将函数的图象沿轴向上平移使其过点，得到图象，直接说出图象是否过点？ 【详解】（1）解：由题意得：，即， 代入得：； （2）解：由折叠的性质得：，即，， 纵坐标为4，横坐标为4， 把代入得：；把代入得：， ，， 设直线解析式为， 把与坐标代入得：， 解得：，， 则直线解析式为； （3）由题意得：，， 设平移后反比例解析式为， 把坐标代入得：， 平移后反比例解析式为， 把代入得：， 则图象不经过点． 23.已知：如图是反比例函数图象的一支，    (1)求的取值范围； (2)若该函数图象上有两点，，则______（填“”“”或“”），并求出与的关系式； (3)若一次函数的图象与该反比例函数图象，交于点，与轴交于点，连接； ①求出、的值； ②在该反比例函数图象的这一分支上，是否存在点，使得的面积等于的面积的一半，若存在请求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象在第一象限， ∴， ∴． （2）解：∵，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：①∵在函数的图象上 ∴，则， ∵在函数的图象上， ∴， ∴，则反比例函数解析式为， ∴，； ②当时，， ∴， ∴， 则，且， ∴， ∵，设的高为， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， 将代入反比例函数得， ∴， ∴存在点． 能力提升 一、选择题 1．已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：由二次函数的图象可知： ∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴位于轴右侧， ∴，则：， ∵抛物线交于轴的负半轴， ∴，∴一次函数的图像，经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限， 故选：． 2.小明同学根据函数的学习经验，对函数进行探究，小明通过列表、描点、连线，画出该函数的图象，观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的是（    ） ①当时，y随x的增大而增大； ②当时，y随x的增大而减小； ③当时，函数值y取得最大值． ④过点（0，m）作直线l平行于x轴，若直线l与函数y的图象有两个交点，则m的取值范围是． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【详解】画出函数的图像为： ①当时，函数的图像中y随x的增大而增大，①正确； ②当时，函数的图像上y随x的增大而减小，②正确； ③当时，函数图像有最高点，即有函数值y最大，③正确； ④由图像可知当l函数y的图象有两个交点时，m的取值范围是，④正确； 所以①②③④都正确． 故选D． 3.如图，在直角坐标系中，以坐标原点为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则P点的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】解：如图，过点分别作：， ∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴（）， ∴， 同法可得：， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； ∴点的横坐标为：． 故选B． 4.在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把称为点P的“和差点”．若直线上有两点A、B，它们的和差点、均在反比例函数上，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，， ∵和均在反比例函数上， ∴，， 解得：、，、， 当时，； 当时，， ∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或， 设一次函数与x的轴相交于点C， 当时，，即， ∴点C的坐标为：， ∴， 如图所示：， 故选A．    二、填空题 5.如图，矩形的顶点A和对称中心均在反比例函数上，若矩形的面积为6，则k的值为 ． 【详解】解：设矩形的对称中心为E，连接、，过E作垂足为F， ∵点E是矩形的对称中心，∴，， 设，， ∵的面积为6，∴，，∴点， ∵， ∴， 即：， 故答案为：3． 6.如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数(，)图象上，轴，轴，连接，．    （1）若，的面积为9，则的值为 ． （2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为 ． 【详解】（1）解：设， 轴，，解得：，， ，，，，解得：，，解得：， ， 轴，，， 的面积为9，，，解得：； 故答案：． （2）解：四边形的面积为14，， 由（1）得：，，， 解得：，； 故答案：． 三、解答题 7．学校要制作一块面积为24平方米的矩形宣传牌，小明发现宣传牌的长发生改变时，宽也会随之改变，于是进行了如下探究，设矩形的长为x米，宽为y米． 下表给出了x与y的一些值． 1 2 3 … 24 8 6 … (1)_______，_______； (2)发现是的函数，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)根据以上信息，请你说说随着值的变化值如何变化． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意得到y与x之间的函数关系式即可； （3）根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：12，4； （2）解：设函数表达式为， ， ， 函数表达式为，自变量的取值范围； （3）解：随的增大而减小． 8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求该反比例函数解析式； (2)请结合图象，求出自变量x在什么取值范围时． 【详解】（1）将代入得， ∴ 将代入得， ∴反比例函数； （2）联立反比例函数和一次函数得， ，即 整理得， 解得， 将代入得， ∴， 由图象可得，当时，． 9.石阡是“中国苔茶之乡”，是茶树的原产地之一，有千年的茶叶栽种历史．某次茶艺比赛中指定使用的饮水机4分钟就可以将的饮用水加热到．此后停止加热，水温开始下降．如图所示，已知整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系． (1)在水温下降过程中，求y与x的函数解析式； (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始，到可以使用需要等待多长时间？ 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键： （1）利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式； （2）令（1）中求得的函数解析式，求出x的值即为需要等待的时间． 【详解】（1）解：∵整个下降过程中水温与通电时间成反比例关系， ∴可设整个下降过程中水温y， ∵其图象过点， ∴， 解得， ∴在水温下降过程中，； （2）解：依题意，令，得， 解得， 答：从饮水机加热开始，到可以使用需要等待． 10.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，若，且．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【详解】（1）作轴，设，则， ∴， ∵，即， ∴，（舍去）， ∴， 将点A代入得， ∴， ∴． 将点A、C分别代入中得，， ∴， ∴．    （2）根据题意，， ∴，， ∴， 由图像可以看出当或，图象位于图象的下方，即， ∴时，x的取值范围为或． 11.函数揭示了两个变量之间的关系，它的表示方法有三种：列表法、图象法、解析式法．请你根据学习函数的经验，完成对函数的探究；下表是函数y与自变量x的几组对应值： x … 0 2 3 4 5 … y … 7 4 3 2.5 … (1)函数自变量x的取值范围为． (2)根据表格中的数据，求出k，m的值，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)请根据画出的函数图象，直接写出该函数的一条性质：． 【详解】（1）解：， ， ∴函数自变量x的取值范围为． 故答案为：； （2）解：把，代入函数得： ， 解得，； 画出该函数图象如图所示： （3）解：由图象可知，当时，随的增大而减小（答案不唯一）． 12.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为． (1)求该反比例函数解析式； (2)请结合图象，求出自变量x在什么取值范围时． 【详解】（1）将代入得， ∴ 将代入得， ∴反比例函数； （2）联立反比例函数和一次函数得， ，即 整理得， 解得， 将代入得， ∴， 由图象可得，当时，． 13.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点，若，且．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集． 【详解】（1）作轴，设，则， ∴， ∵，即， ∴，（舍去）， ∴， 将点A代入得， ∴， ∴． 将点A、C分别代入中得，， ∴， ∴．    （2）根据题意，， ∴，， ∴， 由图像可以看出当或，图象位于图象的下方，即， ∴时，x的取值范围为或． 14.如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点，直线交y轴于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)从下面A，B两题中任选一题作答． A．设y轴上有一点，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标； B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 得， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 点B的坐标为， 将点和的坐标分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为． （2）解：在中，当时， 点C的坐标为， 过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示： 的面积为8． （3）解：能，理由： A：由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、， 设点D的坐标为, 当是边时， 则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点P（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到D（P）， 则，或，， 解得或； 当是对角线时， 由中点公式得：，, 解得； 故点D的坐标为或或． B：由直线的表达式知，点，由点A、C的坐标知， 设点Q的坐标为，点M的坐标为， 当为边时， 则或， 即或， 解得或8（舍去）或4， 即或4； 当是对角线时， 则且的中点即为的中点， 则， 解得， 综上，点Q的坐标为或或或． 素养挑战 一、选择题 1．已知：点，，都在反比例函数图象上（），则、、的关系是（　　） A． B． C． D． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数图象上， ∴，，， ∵， ∴﹥0，，， 即，，， ∵＞，， ∴，即， ∴， 故选：A． 2．如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点C的纵坐标为4，则（　　） A．32 B．30 C．28 D．26 【详解】解：连接交于，延长交轴于，连接、，如图： 四边形是正方形， ， 设，， 轴， ，，， ，都在反比例函数的图象上， ， ， ， ，， 在反比例函数的图象上，在的图象上， ，， ； 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形的顶点，B在轴的正半轴上，点A坐标为，点D的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点C，则的值为（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【详解】解：过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F， ∵ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， 易证△ADF≌△BCE， ∵点A（−4，0），D（−1，4）， ∴DF＝CE＝4，OF＝1，AF＝OA−OF＝3， 在Rt△ADF中，AD＝， ∴OE＝EF−OF＝5−1＝4， ∴C（4，4） ∴k＝4×4＝16 故答案为：16 4.如图，矩形的顶点在第一象限，轴，轴且对角线的交点与原点重合．在边从小于到大于的变化过程中，若矩形的周长始终保持不变，则经过动点的反比例函数中的值的变化情况是（    ）    A．先增大后减小 B．先减小后增大 C．不变 D．一直增大 【详解】解：设矩形中，，， 矩形的周长始终保持不变， 为定值， 为定值， 设（定值），则， 矩形对角线的交点与原点重合， ， 而，其中，且， ∴当时，k随a的增大而增大；当时，k随a的增大而减小； 当时，最大， 在边从小于到大于的变化过程中，的值先增大后减小， 故选：A． 二、填空题 5.已知关于的一元二次方程有实数根，且关于的反比例函数图象上有两点，，，，则符合条件的所有整数的和 ． 【详解】解：∵关于的一元二次方程 有实数根， ∴且， 解得且， ∵关于的反比例函数图象上有两点，，，， ∴， ∴， ∴且， ∴整数可以为，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 6．如图，点的坐标是，点的坐标是，为的中点，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是 ．    【详解】解：作轴于．    ， ，， ， 在中， ， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ，， ， ， ， 反比例函数的图象经过点， ． 故答案为：15． 三、解答题 7.如图，点P在函数的图象上，过点P作轴，交y轴于点Q，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点，点恰好落在函数的图象上，连接、，若的面积等于4，求k的值.    【详解】解：设，则， ∵轴，将点P绕线段的中点M逆时针旋转得到点， ∴， ∴． ∵的面积等于4， ∴，即， 解得：（舍去负值）， ∴，． ∵点P和点都在的图象上， ∴，解得：． ∴k的值为16. 8.如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．    (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点C是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【详解】（1）点在直线， ， ， ∵点在第一象限，且点的纵坐标为4， ∴, 将点代入直线 ， ； （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，    ， ， ， 由旋转可知， ， ， ∴， ∴直线的解析式为：； （3）如图, ，，    ， ， 即 ， 即 ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为， ， ， ， 解得 或(负值舍去) ， ∴点的坐标为 或 9．如图，函数的图象过和两点． (1)求n和k的值． (2)将直线沿x轴向左移动得直线，交x轴于点D，交y轴于点E，交的图象于点C，若，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：函数的图象过和两点， ，解得：； （2）解：由（1）可知，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 过点作轴，交轴于点，交于点， 设，则，， 则，， ， ， ， 解得：，（舍）， ， 直线由直线沿x轴向左平移得到， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得：， 直线的解析式为；    （3）解：存在，点F的坐标为或或，理由如下： 直线交x轴于点D，交y轴于点E， 令，则；令，则，解得：， ，， ，， 是等腰直角三角形， ①当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第二象限， ；    ②当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点， 同①理可得，， ，， ， 点在第二象限， ；    ③当点为直角顶点时，此时，， 过点作轴于点，轴于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， 点在第二象限， ； 综上可知，第二象限内存在点F，使得为等腰直角三角形，点F的坐标为或或．    10.如图，直线经过点，且垂直于x轴，直线经过点，与交于点C，．点M是线段上一点，直线轴，交于点N，D是的中点，双曲线经过点D，与交于点E． (1)求的解析式； (2)当点M是中点时，求点E的坐标； (3)当时，求m的值． (4)在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【详解】（1）解：，， ， ，即， 解得， ， 点C在第一象限， 点C的坐标为， 将，分别代入， 得：， 解得 ， 的解析式为； （2）解：，， 当点M是中点时，， 直线轴，交于点N， 点N的纵坐标是2， 将代入，得， 解得， 点N的坐标是， D是的中点，， 点D的坐标是， 将代入，得， 双曲线的解析式为， 当时，， 点E的坐标为， （3）解：设，当时，，， 把代入，得， ， 将代入， 得； （4）解：当时，作于点H，如下图所示： ，， ， ， 点P的坐标为； 当时，如下图所示： ，， ， ， ， 点P的坐标为； 当时，如下图所示： 设点P的坐标为，则，， ， 在中，， ， 解得， 点P的坐标为， 综上可知，点P的坐标为或或． 11.如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标； (3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把点分别代入和中可得： ，，解得： ∴，． （2）解：设，则， ∴， ∵四边形的面积等于24， ∴,即， 整理得：，解得： 检验：是原方程的解， ∵， ∴，则． ∴． （3）解：由平移可得：, ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：或（不合题意，舍去） 经检验是方程组的解， ∴点 ∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到， 由 (2)可得：， ∴， ∵ ， ∴， 如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M， ∵， ∴, ∴ N为的中点， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴； 如图，当点M位于外部时，作于，连接， ∵， ∴, ∵， ∴关于对称，， 设直线的解析式为:, 将代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则的中点在直线上， ∴在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴，整理得：，解得:， ∴或， 经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为:， 联立得：，解得：（舍弃负值） 经检验是方程组的解， ∴． 综上所述，M的坐标为或 ． 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $