27.2反比例函数的图象和性质（第1课时 反比例函数的图象和基本性质）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“反比例函数的图象和基本性质”，引导学生掌握描点法画图像步骤，认识双曲线特征及k>0（<0）时的图像位置与增减性。课堂导入通过复习反比例函数定义、一般形式及自变量取值范围，类比一次函数研究方法，搭建新旧知识联系的学习支架。 这份导学案突出“由特殊到一般”的探究路径，学生先动手画具体函数图像，再观察归纳性质，培养几何直观与抽象能力。设置自主学习与合作探究环节，结合典型例题、拓展提升及中考真题，助力学生用数学思维推理性质，用数学语言解决问题，有效突破增减性理解等难点，提升应用意识。

27.2反比例函数的图象和性质 （第1课时 反比例函数的图象和基本性质） （导学案） （1）掌握描点法画反比例函数图像的步骤；认识双曲线图像特征；熟练掌握k>0（<0)时反比例函数的图像位置与增减性质；能利用性质解决基础判断、比较大小题型. （2）经历画图、观察、对比、归纳的探究过程，体会“由特殊到一般”的探究方法，提升识图能力、归纳概括能力和数形结合分析能力. （3）感受函数图像的对称美、规律美，养成严谨画图、严谨说理的学习习惯，建立系统研究函数的思维模型. 重点：用描点法画反比例函数图像；掌握反比例函数的图像特征与基本性质. 难点：准确理解“在每个象限内”的增减性；区分k>0与<0的图像差异；避免整体范围判断增减性的典型错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：什么是反比例函数？一般形式是什么？自变量取值范围是什么？ 类比设问：我们能否用同样的方法研究反比例函数的图像和性质？ 引出课题：今天通过画图探究反比例函数的图像和基本性质. 【学法指导】 新知自研：自研课本第67-69页的内容 【学法指导】自研课本P67-69页内容 （一）作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质. 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式y=（k为常数)中的k分情况讨论.即分k>0，k<0两种情况.先研究k>0时的情况，我们从具体的反比例函数开始. 活动1：动手画图，探究图象与性质 师生共同完成：画出反比例函数y=、y=的图象 观察两个函数图象有什么特征和性质： 形状： 图像位置： 变化趋势： 特征： 活动2.当k>0时，取几个不同的值，画出函数y=的示意图，探究性质. 如图，画出一些函数图象. 观察函数图象，归纳函数图象的特点和性质： 图像位置： 变化趋势： 特征： （二）作函数y=（k<0）图象，探究函数性质 活动3：类比画图，探究函数y=（k<0）图象与性质 学生自主画出 y=-、y=- 等图像，小组对比讨论，归纳： 图像位置： 增减性： 总结归纳反比例函数性质： 1. 反比例函数图像是双曲线； 2. 当k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 3. 当<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 4. 图像两支永不与坐标轴相交. 【自研自探】 自研课本P67-69页内容 典型例题 例1.已知反比例函数 y=，根据下列条件求k的取值范围： （1）图像分布在第一、三象限； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大. 例2.如图所示的曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点． (1)求该曲线对应的函数解析式； (2)若，求温度的取值范围． 第二环节 合作探究 1. 讨论反比例函数y=（k>0）图象和函数的性质. 2. 讨论反比例函数y=（k<0）图象和函数的性质. 拓展提升： 1．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当x为何值时，． 课本P69课堂练习. 1．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 2．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 3．（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 4．（2025•河北）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 5．（2025•浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 知识技能：掌握了 的完整步骤；认识了反比例函数图像 ；熟记 ；能根据 判断 . 思想方法：（1）数形结合思想：通过图像直观理解函数 ， 、 ；（2）类比思想：类比一次函数探究 反比例函数，实现知识迁移；（3）特殊到一般思想：通过具体函数图像 性质. 易错提醒：（1）最核心易错：增减性必须带“ ”，不能说 ；（2）画图易错：连线 、图像与 、曲线 ；（3）判断易错：混淆 和 ；（4）认知易错：忘记双曲线 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2反比例函数的图象和性质 （第1课时 反比例函数的图象和基本性质） （导学案） （1）掌握描点法画反比例函数图像的步骤；认识双曲线图像特征；熟练掌握k>0（<0)时反比例函数的图像位置与增减性质；能利用性质解决基础判断、比较大小题型. （2）经历画图、观察、对比、归纳的探究过程，体会“由特殊到一般”的探究方法，提升识图能力、归纳概括能力和数形结合分析能力. （3）感受函数图像的对称美、规律美，养成严谨画图、严谨说理的学习习惯，建立系统研究函数的思维模型. 重点：用描点法画反比例函数图像；掌握反比例函数的图像特征与基本性质. 难点：准确理解“在每个象限内”的增减性；区分k>0与<0的图像差异；避免整体范围判断增减性的典型错误. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 复习提问：什么是反比例函数？一般形式是什么？自变量取值范围是什么？ 回顾研究一次函数、二次函数的学习流程：定义→画图像→看图像→总结性质→应用. 类比设问：我们能否用同样的方法研究反比例函数的图像和性质？ 引出课题：今天通过画图探究反比例函数的图像和基本性质. 【学法指导】 新知自研：自研课本第67-69页的内容 【学法指导】自研课本P67-69页内容 （一）作函数y=（k>0）图象，探究函数性质 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质. 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式y=（k为常数)中的k分情况讨论.即分k>0，k<0两种情况.先研究k>0时的情况，我们从具体的反比例函数开始. 活动1：动手画图，探究图象与性质 师生共同完成：画出反比例函数y=、y=的图象 列表：选取正负对称的自变量取值（避开0） 描点：在坐标系精准描出对应点 连线：用平滑曲线分别连接左右两侧点，得到两支曲线，如下图： 观察两个函数图象有什么特征和性质： 形状：由两支曲线组成，叫做双曲线； 图像位置：分布在第一、三象限； 变化趋势：每一象限内，x增大，y减小； 特征：图像无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. 活动2.当k>0时，取几个不同的值，画出函数y=的示意图，探究性质. 如图，画出一些函数图象. 观察函数图象，归纳函数图象的特点和性质： 图像位置：分布在第一、三象限； 变化趋势：每一象限内，x增大，y减小； 特征：图象无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. （二）作函数y=（k<0）图象，探究函数性质 活动3：类比画图，探究函数y=（k<0）图象与性质 学生自主画出 y=-、y=- 等图像，小组对比讨论，归纳： 图像位置：分布在第二、四象限 增减性：在每个象限内，x增大，y增大. 总结归纳反比例函数性质： 1. 反比例函数图像是双曲线； 2. 当k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 3. 当<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 4. 图像两支永不与坐标轴相交. 【自研自探】 自研课本P67-69页内容 典型例题 例1.已知反比例函数 y=，根据下列条件求k的取值范围： （1）图像分布在第一、三象限； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大. 【分析】 图像在一、三象限 >0；每个象限内y随x增大而增大 <0；只需将解析式中的比例式整体当作k，列不等式求解即可，考查性质的正向运用. 【详解】解：（1）∵ 图像在第一、三象限∴ 比例系数大于0，k-3>0 解得：k>3. （2）∵ 在每个象限内，y随x的增大而增大∴ 比例系数小于0，k-3<0 解得：k<3. 答：图像分布在第一、三象限时k>3；在每个象限内，y随x的增大而增大时k<3. 例2.如图所示的曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点． (1)求该曲线对应的函数解析式； (2)若，求温度的取值范围． 【分析】（1）先根据点利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）令，求得C的值，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， ∵图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）令，则， 结合图象可得：当，求温度的取值范围为． 第二环节 合作探究 1. 讨论反比例函数y=（k>0）图象和函数的性质. 2. 讨论反比例函数y=（k<0）图象和函数的性质. 拓展提升： 1．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当x为何值时，． 【详解】（1）解：将点代入， ， ∴， 将代入， ， ∴， 将和代入， ∴， 解得：， ∴； （2）解：根据图象可得，当时，x的取值范围为：． 课本P69课堂练习. 1．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　） A．4 B．3 C． D． 【解答】解：∵点A（4，）在双曲线y上， ∴k＝46， ∴反比例函数的解析式为y， ∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，）， ∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3， ∵点C在y上， ∴C点坐标为（3，2）， 同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y，则y＝3， ∴求得E点坐标为（2，3）， FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y，则y＝6， ∴G点坐标为（1，6）， 观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标， 即EF＝6﹣3＝3． 故选：B． 2．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 【解答】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣3，y1）在第二象限， ∴y1＞0， 又∵1＜3， ∴y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 4．（2025•河北）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 【解答】解：∵反比例函数y，k＝4＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当2＜y＜4时，x， ∴1＜x＜2． 故选：B． 5．（2025•浙江）已知反比例函数y.下列选项正确的是（　　） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【解答】解：∵反比例函数y，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， 故选项C符合题意． 故选：C． 知识技能：掌握了描点法画反比例函数双曲线图像的完整步骤；认识了反比例函数图像形态与特征；熟记k>0、k<0对应的象限分布与增减性规律；能根据解析式判断图像位置、根据性质求参数取值. 思想方法：（1）数形结合思想：通过图像直观理解函数增减与分布，以形助数、以数释形；（2）类比思想：类比一次函数探究方法学习反比例函数，实现知识迁移；（3）特殊到一般思想：通过具体函数图像归纳通用性质. 易错提醒：（1）最核心易错：增减性必须带“在每个象限内”，不能说全体定义域单调增减；（2）画图易错：连线跨越象限、图像与坐标轴相交、曲线生硬不平滑；（3）判断易错：混淆k>0与k<0对应的象限和增减规律；（4）认知易错：忘记双曲线永远不与坐标轴相交. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $