第21讲、诱导公式 讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第21讲、诱导公式 目录 知识点】诱导公式… 2 知识点2所有诱导公式记忆口诀与作用 3 题型一利用诱导公式给角求值， .4 题型二利用诱导公式给值（或式)求值… 4 题型三诱导公式综合化简求值5 题型四利用诱导公式证明恒等式.7 题型五三角形中的诱导公式应用7 1 01 学习新知 知识点1诱导公式 1、诱导公式二：角π+与角0的终边关于原点对称 sin(π+a)=-sina coS(π+a)=-cosa tan(π+a)=tana,其中k∈Z 【记忆规律】把看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符 号时通常把看作是锐角，则π+是第三象限角，函数名不变，符号为π+的终边在 第三象限时的三角函数值的符号。 2、诱导公式三：角一0与角的终边关于x轴对称 sin(-a)=-sina cos(-a)=cosa tan(-a)=-tan a 其中k∈Z 【记忆规律】把看作锐角，则-是第四象限角，函数名不变，符号为-的终边在第 四象限时的三角函数值的符号 3、诱导公式四：角π-4与角0的终边关于'轴对称 sin(π-a)=sina cos(π-a)=-cosa 0 tan(π-a)=-tana,其中k∈Z 【记忆规律】把C看作锐角，则π-是第二象限角，三角函数名不变，符号为π-的 终边在第二象限时的三角函数值的符号/ 2 sina-cosa cosa)-sina y Ps y=x 4、诱导公式五 其中k∈Z π π c sin =c0S cos 2 +a =-sin a 诱导公式六 其中 k∈Z π -a -0 【记忆规律】(1)把C看作锐角，则2是第一象限角，2 的正弦函数值等于 π - 的余弦函数值；2 的余弦函数值等于“的正弦函数值，函数值均不变号： π π +a +a (2)把Q看作锐角，则2是第二象限角，2“的正弦函数值等于α的余弦函数值； 2 的余弦函数值等于“的正弦函数值的相反数. 知识点2所有诱导公式记忆口诀与作用 1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 当k是奇数时，三 角函数名称由正 当k是偶数时 弦变余弦或由余 奇变 偶不变 三角函数名称 弦变正弦 不变 k±akeZ 符号看象限 将a看成锐角，观察k·牙±akEZ)的终 边所在的象限，并判断函数值的符号 2、诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为0~2π的角求值 公式二 将0~2π的角转化为0~π的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 π 0、 将2 的角转化为 2的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化 公式六 3 02 经典题型 题型一利用诱导公式给角求值 1.利用公式求下列三角函数值： (1)cos225°；(2)sin8π； (3)sin_16: (4)tan(-2040). 3 3 2.利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-480)+sin210°； 8π 23π，37π (2)sin- 3 .cos 6 …tan 6 3.sin 5π 2 += 2 5:那么cosa=（） B c.号 D.3 题型二利用诱导公式给值（或式）求值 6 4 5.已知cos a 13π 是g=,求cosa 6 的值 V3 6.已知cos 6=3, -a= -sin?a 求cos 的值 6 6 ,且0a子，则sm日+a等于() 6 A.22 823 、V2 2 3 3 C.3 D. 3 8.已知sim 3 5卫+a的值 6 9.已知sim a. 3- a是第三象限角”，求sin 7几+a的值. 10.已知cos31-,则sin239tan149°的值是() A.1-m2 B.1-m2 m c.1-m2 D.-1-m m 题型三诱导公式综合化简求值 11.已知a)= cotm( sin a-tt cos n+a 2 化简). sin2π-a)tan(-a-π)sin-a-π) sin()cos()cos 12.化简： m(g-am(x-四 13.已知 mla-3osa-ej+sm（径a-2o径ta的a 求 tan(3元+a）=2 -sin(-a)+cos(π+a) cos(-a-π)sin(2π+a)tan(2π-a) A已如。sa-片且号<a<0化简并求 的值 2 15.已知角α以x轴的非负半轴为始边，P(W2,-)为终边上一点， (1)求sina-2cos2a的值； 6 sin(π-a)cos(a-2π)tan(π-a) 求m一-a小em-a小sm-)的i 题型四利用诱导公式证明恒等式 mga-ajo经-aj小os6a-a） 16.求证： -1 3π 3π tan(-c)sin a+cos 2sin 0-3n 17.求证sin0+cos0 2 Cos0+ 0+2 sin-cos0 1-2sin(π+0) 题型五三角形中的诱导公式应用 18.已知A,B,C为△ABC的三个内角，下列各式不成立的是() A.sin A=sin(B+C) B.cos B=-cos(A+C) C.sin4=cosB+C os B=-sin 4+C D.cos。 2 °2 2 19.(多选)若角A,B,C是△ABC的三个内角，则以下结论正确的是(） 7 A.cos A+B=sin2 B.sin C-cos A 2 2 C.sin(B+C)=-sin 4 D.cos(4+C)=-cos B cos(A+C)=cos(π-B)=-cosB,D正确.故选：ABD 8 第21讲、诱导公式 目录 知识点1 诱导公式 2 知识点2 所有诱导公式记忆口诀与作用 3 题型一 利用诱导公式给角求值 4 题型二 利用诱导公式给值（或式）求值 5 题型三 诱导公式综合化简求值 6 题型四 利用诱导公式证明恒等式 8 题型五 三角形中的诱导公式应用 9 01 学习新知 知识点1 诱导公式 1、诱导公式二：角与角的终边关于原点对称 ， ， ，其中 【记忆规律】把看作锐角时不会影响诱导公式中右边式子前面的符号，因此记忆公式符号时通常把看作是锐角，则是第三象限角，函数名不变，符号为的终边在第三象限时的三角函数值的符号. 2、诱导公式三：角与角的终边关于轴对称 ， ， ， 其中 【记忆规律】把看作锐角，则是第四象限角，函数名不变，符号为的终边在第四象限时的三角函数值的符号. 3、诱导公式四：角与角的终边关于轴对称 ， ， ，其中 【记忆规律】把看作锐角，则是第二象限角，三角函数名不变，符号为的终边在第二象限时的三角函数值的符号/ 4、诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 【记忆规律】（1）把看作锐角，则是第一象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值，函数值均不变号； （2）把看作锐角，则是第二象限角，的正弦函数值等于的余弦函数值；的余弦函数值等于的正弦函数值的相反数. 知识点2 所有诱导公式记忆口诀与作用 1、记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 2、诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将任意角转化为的角求值 公式二 将的角转化为的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将的角转化为的角求值 公式五 实现正弦函数与余弦函数的互相转化 公式六 02 经典题型 题型一 利用诱导公式给角求值 1. 利用公式求下列三角函数值： (1)cos 225°； (2)sin ； (3)sin； (4)tan(-2 040°). 解　(1)cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=-； (2)sin =sin =sin ； (3)sin=-sin=-； (4)tan(-2 040°)=-tan 2 040°=-tan (6×360°-120°) =tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=- 2. 利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-480°)+sin 210°； (2)sin·cos·tan. 解　(1)原式=cos 480°+sin(180°+30°) =cos(360°+120°)-sin 30°=cos 120°- =cos(180°-60°)-=-cos 60°-=-=-1. (2)原式=sin·cos·tan =sin·cos·tan=sin·cos·tan =-sin·cos·tan=-=-. 3. ，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A. 题型二 利用诱导公式给值（或式）求值 4. 已知cos则cos= 　　　　.  答案　- 解析　cos=cos=-cos=-. 5. 已知cos，求cos的值. 解　cos=cos=cos=cos. 6. 已知cos，求cos-sin2的值. 解　因为cos=cos=-cos=- sin2=sin2=1-cos2=1- 所以cos-sin2=-=-. 7. 已知sin且0<α<则sin等于(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　∵sin0<α<∴--α< ∴cos ∴sin=sin=cos=. 8. 已知sin求cos的值. 解　cos=cos=-sin=-. 9. 已知sin且“α是第三象限角”，求sin的值. 解　因为α是第三象限角，所以-α是第二象限角， 又sin所以-α是第二象限角，所以cos=- 所以sin=sin=-sin=-cos. 10. 已知cos 31°=m，则sin 239°tan 149°的值是(　　) A. B. C.- D.- 答案　B 解析　sin 239°tan 149°=sin(180°+59°)tan(180°-31°) =-sin 59°(-tan 31°)=-sin(90°-31°)(-tan 31°)=-cos 31°(-tan 31°)=sin 31° =. 题型三 诱导公式综合化简求值 11. 已知f(α)=化简f(α). 解　由题意得f(α)===-cos α， 故f(α)=-cos α. 12. 化简： . 【答案】 【解析】易知 . 故答案为： 13. 已知，求的值. 【答案】2 【解析】由可知， 化简 . 14. 已知，且，化简并求的值. 【答案】 【解析】因为，且，则， 所以，， 故. 15. 已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）根据三角函数的定义，得， 所以； （2）， 又， 故原式． 题型四 利用诱导公式证明恒等式 16. 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：左边 =右边，所以原式成立． 17. 求证. 证明　∵右边== === =左边，∴原等式成立. 题型五 三角形中的诱导公式应用 18. 已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，在中，， 对A选项，，故A选项正确； 对B选项，，故B选项正确； 对C选项，，故C选项正确； 对D选项，，故D选项不正确．故选：D 19. （多选）若角是的三个内角，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题知，，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：D 2 学科网（北京）股份有限公司 $