第23讲 正弦函数、余弦函数的图象与性质（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第23讲 正弦函数、余弦函数的图象与性质 预习目标 知识回顾 1．掌握正弦、余弦函数五点作图法，能通过平移变换由正弦图像得到余弦图像，规范画出函数简图。 2．理解周期函数与最小正周期定义，熟记正弦、余弦函数定义域、值域、奇偶性等基础图像性质。 3．熟练掌握两类函数单调区间、最值、对称中心与对称轴，能结合图像分析函数相关问题。 4．学会借助图像数形结合解题，准确区分正弦、余弦函数图像与各类性质的异同点。 1．熟记全部诱导公式，吃透 “奇变偶不变，符号看象限” 口诀，能灵活运用口诀化简各类角度。 2．掌握负化正、大化小、化锐角的标准化简步骤，独立完成任意角三角函数求值计算。 3．熟练记忆特殊角三角函数值，化简过程精准判断符号，规范书写三角恒等变形步骤。 新知导图 预习精讲 想一想 我们前一节课学习了三角函数，它也是我们所学的基本初等函数，接下来就得研究他们的图象与性质，那回执新函数图象的基本方法是什么呢？我们可以回想一下之前的指数函数是怎么画的。 知识点01 正余弦函数的图象 1．正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 注意 （1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 【即学即练】 1．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦函数的五点作图法，可得描出的五点的横坐标与函数的五点的横坐标相同， 即五个点的横坐标分别为. 2．利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表: x y 作图: 【答案】 0 x y 0 1 0 0 【详解】先列表： 0 x y 0 1 0 0 再描点并画图， 知识点02 周期函数 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 【即学即练】 3．已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是定义在上且周期为3的偶函数，当时，， 得. 4．若定义在上的函数满足，且，则________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 4为的一个周期，则． 知识点03 正弦函数、余弦函数的图像性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增; 在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 【即学即练】 5．函数的最小正周期为_______． 【答案】 【详解】由正弦函数的性质，函数的最小正周期为. 6．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 题型速练 题型01 用“五点法”作三角函数的图象 【例1】已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 【例2】方程的实数解的个数为________． 【答案】2 【详解】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 方程的实数解的个数等于函数的图象的交点个数， 由图可知，它们的图象有两个交点，故有两个实数解． 故答案为：2. 【小试牛刀】 【变式1-1】函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 【变式1-2】当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：B. 【变式1-3】作出函数，的图象； 【答案】函数图像见解析 【详解】易知 则的图象如图所示： 题型02 利用图象解三角不等式 【例3】已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，且， 由余弦函数的图象可得， 即不等式的解集为. 故选：C． 【例4】已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）列表如下： x 1 0 2 3 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示．    （2）由题意可知， 由，得， 化简得， 由正弦函数的性质可知，的解为 ，， 令， 则， 解得，， 故不等式的解集为. 必记结论 1.画出一个周期内正弦/余弦曲线，标出边界角，取满足函数大小关系的区间； 2.解集需加上周期，写出通解； 3.多个不等式联立取公共区间。 【小试牛刀】 【变式2-1】不等式，的解集为_____________． 【答案】 【详解】作出在的简图． 满足的的范围是，即不等式的解集为． 故答案为：. 【变式2-2】不等式的解集为______． 【答案】 【详解】，即．画出的图象及直线，如图所示． 由图知，当时，． 又由终边相同的角的同一三角函数值相等，得不等式的解集是． 故答案为： 【变式2-3】已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称， 当时，；当时，； 若，则或； 当时，；当时，； 的解集为. 故选：C. 题型03 三角函数的周期问题 【例5】若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】最小正周期，解得， 则， ． 【例6】已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为集合， 所以当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，， 可以看出的周期为4， 的取值集合为， 所以中元素的个数为3. 故选：C. 【小试牛刀】 【变式3-1】函数 的最小正周期是 ，则 ______. 【答案】 【详解】由余弦函数周期性可知，解得. 【变式3-2】已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由函数的最小正周期为4，得，解得， 由，得，解得， 所以. 【变式3-3】下列函数中，不是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A项，，则函数是周期函数，周期为， 对于B项，，则函数是周期函数，周期为， 对于C项，令可得，故，， ， 作函数图象可得： 函数不是周期函数， 对于D项，当时，， 当时，， 所以， 且， 则函数是周期函数，周期为. 题型04 三角函数的奇偶问题 【例7】下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，奇函数， ， 定义域为R，，偶函数， ， 定义域为R，，奇函数， 综上偶函数有1个. 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 所以函数为奇函数，其图像关于原点对称，可排除C、D项， 当时，可得，可排除B项， 所以选项A符合题意. 故选：A. 【小试牛刀】 【变式4-1】若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 【变式4-2】函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【详解】 则函数为奇函数. ， 是函数的一个周期. 又，而，可知不是函数的周期， 故函数的最小正周期为. 【变式4-3】已知函数的值域为，则______． 【答案】2 【详解】令，的定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，， ，，即. 故答案为：2. 题型05 求三角函数的单调区间 【例9】函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．当时，单调递减，单调递减，故A正确； B．当时，单调递减，单调递增，故B错误； C．当时，单调递增，单调递增，故C错误； D．当时，单调递增，单调递减，故D错误； 故选：A. 【例10】函数的定义域是_____________，单调递减区间是_____________． 【答案】 【详解】由，得， 解得：， 即函数的定义域是． 与的单调性相反， 又的单调递增区间为 再结合的定义域为 ∴函数的单调递减区间． 故答案为：； 易错点 1.单调区间不写，缺少周期通式； 2.为负数直接套用基础单调区间，未换元变号； 3.区间左右端点顺序颠倒。 【小试牛刀】 【变式5-1】求函数，的单调减区间___________． 【答案】 【详解】令，的单调递减区间为， 则，解得， 取，得递减区间，与的公共部分为． 【变式5-2】已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【详解】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 【变式5-3】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 题型06 利用单调性比较三角函数值 【例11】下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知在上单调递增，在上单调递减. ∵，∴，故A错误； ∵，∴，故B正确； ∵在上单调递减，∴，，故C，D错误. 【例12】下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据诱导公式，可得. 而，因此，即. 必记结论 1.先利用诱导公式把角化到同一单调区间内； 2.同一单调区间内，根据增减性直接判断函数值大小； 3.不在同一周期、同一区间的角，先化简再比较。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知均为第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】在第二象限，余弦函数值是负数且单调递减，正弦函数值是正数且单调递减. 已知α，β均为第二象限角，当时，根据余弦函数在第二象限的单调性可知 . 因为正弦函数在第二象限单调递减，当时，可得. 这说明由可以推出. 当时，根据正弦函数在第二象限单调递减可知，再根据余弦函数在第二象限单调递减，可得. 说明由也可以推出. 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 【变式6-2】与的大小关系是_____________．（用“>”连接） 【答案】 【详解】， ， 因为，而在上单调递减， 所以， 即． 故答案为： 【变式6-3】已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的周期为． 当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减． 因为，且 所以． 故． 故选：A. 题型07 已知单调情况求参数 【例13】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足，解得， 因为，当时，，即实数的取值范围为. 【例14】的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____． 【答案】 【详解】因为的图象经过点，所以， 又因为，所以， 当时，， 因为在区间上单调递增， 则，，知， 又因为，且，， 所以，即． 故答案为：. 必记结论 1.设内层，结合基础函数单调区间列不等式组； 2.给定区间是标准单调区间的子集，建立参数不等关系； 3.先变形，避免单调性判断相反。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题知的最小正周期， 因为，所以直线为图象的一条对称轴， 由，则，又为正整数，所以1，2或3， 因为直线为图象的对称轴，所以， 因为，所以或， 若，则， 即，不存在整数使得1，2或3； 若，则， 即，不存在整数，使得1或3， 当时，2，此时，由， 所以当时，. 【变式7-2】已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】， ，，则， 因为在区间上单调递减， 所以，又，所以， 因为，所以，， 要想满足在区间上单调递减， 只需，解得，故. 【变式7-3】已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，则， 因为，所以或. 因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以， （1）若，则，当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 故函数在上不可能单调递减，不符合题意； （2）若，则， 当时，， 因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减， 则，所以，解得， 因为，所以，符合题意. 综上所述，. 题型08 三角函数的对称问题 【例15】函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为最小正周期为4，，得，可排除AB选项. 代入，C选项是函数的一条对称轴； D选项为函数的一个对称中心，并非对称轴， 故排除D. 【例16】已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为______． 【答案】 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，则， 又，则或或或， 所以满足条件的所有的和为. 故答案为：. 【小试牛刀】 【变式8-1】若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的最小正周期为，， 则，解得， 所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 【变式8-2】已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象的一个对称中心是，所以， 则，，即，， 又，所以，得函数， 令，， 即，； 故的单调递增区间为，， 而当时，单调递增区间为，又， 所以C正确，其余区间都不符合题意. 故选：C 【变式8-3】已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 题型09 三角型函数求值域或最值 【例17】已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】已知函数的最小正周期是， 则，则函数. 当，. 因为余弦函数在单调递减，因此函数在时取最小值， 最小值为 ，即在区间的最小值为. 【例18】函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数中，当时，， 函数在上有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 【小试牛刀】 【变式9-1】函数在区间上的最大值为__. 【答案】 【详解】当时，， 则，所以， 因此函数在上的最大值为. 【变式9-2】设，．若函数，的值域为，且，则__________． 【答案】 【详解】，令， ,, ，作出函数的图象，如图， 由图可知，以为中心，当变大时， 若，函数增大时，函数值减小时，不满足， 若时，函数最大值，所以只需要确定函数最小值，因为，需函数最小值为， 所以当时，即时， 函数值域为，满足， 综上. 【变式9-3】函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】若，则 又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值， 所以当，即时， 只需满足，此时， 当，即时，函数一定存在最大值， 要让函数无最小值，则，即， 综上，，即的取值范围为 题型10 三角函数求值域或最值（换元法） 【例19】函数的最大值为_____. 【答案】 【详解】由题可得， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 【例20】已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 【小试牛刀】 【变式10-1】函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由， 因为， 所以当时，取得最大值. 故选：D. 【变式10-2】函数的值域是________________． 【答案】 【详解】由，可得， 当时等式不成立，∴，则有， ∵，∴，，或， ∴函数的值域是， 故答案为： 【变式10-3】函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为的值域是，所以，此时函数可转化为. 对于二次函数，对称轴为. 所以在区间上为增函数. 令，移项可得.解得，. 因为，所以取. 又因为在上递增，要使，则的范围是，即. 已知，根据函数图像的对称性可知，在一个周期内，满足的的范围是.结合区间性质知道，a的取值为. 故选：C. 基础过关 1．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由正弦函数的性质可知 ， 所以 ， 即函数 的值域为 ， 这意味着函数的图像应全部位于 轴上方（包含与 轴相切的情况），且最大值为 ， 观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在 轴上方，最大值为 ，且当 时 ，符合函数 的特征. 2．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 3．已知角是的内角，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由角是的内角，即， 若，即，则，充分性成立， 若，则，必要性也成立， 所以“”是“”的充要条件. 4．已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】该函数的最小正周期，由， 则，即的最小值为. 5．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据诱导公式，得； 根据诱导公式，得. 因为正弦函数在上单调递增，且， 所以，即 . 6．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数相邻两个对称轴之间的距离为，得，解得， 由，得， 因此函数在上单调递增， 而函数在上是增函数，则， 于是，解得. 7．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】A：因为函数的最小正周期为，所以本选项说法正确； B：因为， 所以函数的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：因为， 所以函数的图象关于直线对称，因此本选项说法正确； D：当时，，所以在区间上单调递增，因此本选项说法正确. 8．（多选）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若为偶函数， 则，解得. 当时，；当时，． 9．若直线是函数的一条对称轴，则__________． 【答案】 【详解】对于正弦型函数，其值域为，即最大值为，最小值为. 由正弦型函数的图象性质可知，函数图象的对称轴对应函数的最值点， 已知是的一条对称轴，因此在处取得最值，即. 10．在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，已知，且与的终边关于原点对称，则的最大值为__________. 【答案】/ 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）的最小正周期， 令，，解得，， 故单调递增区间为，； （2）由，可得，故， ，故函数值域为 12．设函数． (1)当时，求的最小值及此时的值； (2)求函数在R上的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)2；， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）， 即， 设，，易得为开口向下的二次函数， 当时，，，则， 即时，即取最小值，此时，. （2）由（1）知，， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上，. （3）由题意得，则，， 若求，即求，因为开口向下， 则，解得，故的取值范围为. 能力提升 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 令，则， 余弦函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增， 因此区间需为某一单调递增区间的子集， 取时的递增区间为适配区间， 所以，解得，即的取值范围是. 14．已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【详解】由题意得，分别为的最小值（最大值）与最大值（最小值）， 当在上恰好有3个零点时， 的最小正周期最大，最小，此时，，. 15．已知函数,若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于的取值范围是， ，所以当且仅当 且 ， 因为，所以， 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数， 其中最小的可能值为(当时)，故需满足，解得； 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为(当时)，故需满足， 解得；为使，均在内，需同时满足和，因此最小的为. 16．（第26讲正弦函数、余弦函数的图象（暑假预习讲义）（多选）新高一年级数学人教A版）已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】∵，令，因,则， 则函数可化为，如下图所示： 要使得函数在上有个零点， 则函数在上有个不同的零点，显然， ，解得． 由选项可知，B、C满足题意. 17．（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 【答案】ABD 【详解】由， 作出和的图象，取位于上方的部分（实线部分）即可： 由图可知，的图象关于对称，的最小正周期为， 的最小值不为，故AB正确，C错误； 对于D，计算知与在内的交点坐标为， 而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点， 所以在上有四个不同的实数解，故D正确. 挑战一刻 18．函数的周期可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当，时，函数，最小正周期为，故选项A可能； 当，时，函数，最小正周期为，故选项B可能； 当，时，函数，最小正周期为，故选项C可能； 而对于选项D： ， , 若时，则对任意的有， 当时，则，即，所以①. 当时，则，即，所以②. 当时，则，即， 得，所以③. 联立①②解得，再代入③得④，联立①④解得. 因此若，则，即，与题设矛盾， 因此函数的最小正周期不可能是. 19．（多选）已知函数 ，下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有个零点 D．的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，因为函数的定义域为， 又， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，， 所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，因为函数是偶函数，且， 故只需研究函数在上的零点个数即可， 当时，， 令，得，所以函数在上只有一个零点， 同理函数在上也只有一个零点，所以函数在上有3个零点，故C错误； 对于D，因为当时，， 此时函数的最大值为3， 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，函数的最大值为3， 综上，函数的最大值为3，故D正确. 20．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是________． 【答案】 【详解】根据题意，作出函数图象， 不妨设， 根据三角函数的对称性得与关于对称， 所以， 另一方面,，即， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23讲 正弦函数、余弦函数的图象与性质 预习目标 知识回顾 1．掌握正弦、余弦函数五点作图法，能通过平移变换由正弦图像得到余弦图像，规范画出函数简图。 2．理解周期函数与最小正周期定义，熟记正弦、余弦函数定义域、值域、奇偶性等基础图像性质。 3．熟练掌握两类函数单调区间、最值、对称中心与对称轴，能结合图像分析函数相关问题。 4．学会借助图像数形结合解题，准确区分正弦、余弦函数图像与各类性质的异同点。 1．熟记全部诱导公式，吃透 “奇变偶不变，符号看象限” 口诀，能灵活运用口诀化简各类角度。 2．掌握负化正、大化小、化锐角的标准化简步骤，独立完成任意角三角函数求值计算。 3．熟练记忆特殊角三角函数值，化简过程精准判断符号，规范书写三角恒等变形步骤。 新知导图 预习精讲 想一想 我们前一节课学习了三角函数，它也是我们所学的基本初等函数，接下来就得研究他们的图象与性质，那回执新函数图象的基本方法是什么呢？我们可以回想一下之前的指数函数是怎么画的。 知识点01 正余弦函数的图象 1．正弦函数的图象（五点法） ①画出正弦曲线在上的图象的五个关键点，，，，，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、向右平行移动(每次个单位长度)． 2．余弦函数图象 方法1：要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位长度即可，这是由于. 方法2：用“五点法”：画余弦曲线在上的图象时，所取的五个关键点分别为，，，，，再用光滑的曲线连接． 注意 （1）“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法． （2）“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向． 【即学即练】 1．用“五点法”画函数的图像时，首先应描出五点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 2．利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭区间的简图． 列表: x y 作图: 知识点02 周期函数 1．周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期 【即学即练】 3．已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 4．若定义在上的函数满足，且，则________． 知识点03 正弦函数、余弦函数的图像性质 函数 图象 定义域 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在()上单调递增; 在上单调递减 在上单调递增; 在()上单调递减 最值 当()时，; 当()时，; 当()时，; 当时， 对称性 对称中心为(), 对称轴为直线() 对称中心为(), 对称轴为直线() 【即学即练】 5．函数的最小正周期为_______． 6．已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 题型速练 题型01 用“五点法”作三角函数的图象 【例1】已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【例2】方程的实数解的个数为________． 【小试牛刀】 【变式1-1】函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1-3】作出函数，的图象； 题型02 利用图象解三角不等式 【例3】已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知函数．    (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的解集． 必记结论 1.画出一个周期内正弦/余弦曲线，标出边界角，取满足函数大小关系的区间； 2.解集需加上周期，写出通解； 3.多个不等式联立取公共区间。 【小试牛刀】 【变式2-1】不等式，的解集为_____________． 【变式2-2】不等式的解集为______． 【变式2-3】已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（     ）    A． B． C． D． 题型03 三角函数的周期问题 【例5】若函数 的最小正周期为，则 （ ） A．2 B． C．1 D．0 【例6】已知集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【小试牛刀】 【变式3-1】函数 的最小正周期是 ，则 ______. 【变式3-2】已知函数的最小正周期为4，且，则（    ） A． B． C．0 D． 【变式3-3】下列函数中，不是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 题型04 三角函数的奇偶问题 【例7】下列函数①；②；③；④中的偶函数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例8】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式4-1】若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【变式4-3】已知函数的值域为，则______． 题型05 求三角函数的单调区间 【例9】函数和在下列哪个区间上都是单调递减的（    ） A． B． C． D． 【例10】函数的定义域是_____________，单调递减区间是_____________． 易错点 1.单调区间不写，缺少周期通式； 2.为负数直接套用基础单调区间，未换元变号； 3.区间左右端点顺序颠倒。 【小试牛刀】 【变式5-1】求函数，的单调减区间___________． 【变式5-2】已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【变式5-3】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 题型06 利用单调性比较三角函数值 【例11】下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例12】下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.先利用诱导公式把角化到同一单调区间内； 2.同一单调区间内，根据增减性直接判断函数值大小； 3.不在同一周期、同一区间的角，先化简再比较。 【小试牛刀】 【变式6-1】已知均为第二象限角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】与的大小关系是_____________．（用“>”连接） 【变式6-3】已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ） A． B． C． D． 题型07 已知单调情况求参数 【例13】已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例14】的图象经过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为_____． 必记结论 1.设内层，结合基础函数单调区间列不等式组； 2.给定区间是标准单调区间的子集，建立参数不等关系； 3.先变形，避免单调性判断相反。 【小试牛刀】 【变式7-1】已知函数在区间上单调，其中为正整数，，且，，则（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是__________. 【变式7-3】已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 题型08 三角函数的对称问题 【例15】函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【例16】已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为______． 【小试牛刀】 【变式8-1】若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09 三角型函数求值域或最值 【例17】已知函数的最小正周期是．则在上的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【例18】函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式9-1】函数在区间上的最大值为__. 【变式9-2】设，．若函数，的值域为，且，则__________． 【变式9-3】函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 题型10 三角函数求值域或最值（换元法） 【例19】函数的最大值为_____. 【例20】已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【小试牛刀】 【变式10-1】函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式10-2】函数的值域是________________． 【变式10-3】函数在区间上的最小值为，则a的取值为（   ） A． B． C． D． 基础过关 1．函数的图象是（    ） A． B． C． D． 2．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知角是的内角，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 8．（多选）若函数为偶函数，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 9．若直线是函数的一条对称轴，则__________． 10．在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，已知，且与的终边关于原点对称，则的最大值为__________. 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期及单调递增区间； (2)若，求函数的值域． 12．设函数． (1)当时，求的最小值及此时的值； (2)求函数在R上的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 能力提升 13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 15．已知函数,若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于对称 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上有四个不同的实数解 挑战一刻 18．函数的周期可能为（    ） A． B． C． D． 19．（多选）已知函数 ，下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有个零点 D．的最大值为 20．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $