2.4.1 圆的标准方程（分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 以题型分层设计，覆盖圆的标准方程从基础求解到综合应用，通过梯度化题目培养数学抽象、逻辑推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆心半径与方程互化|选择题型巩固概念，如由圆心/半径求方程、由方程确定圆心半径| |进阶层|多知识点结合应用|结合三点共圆、两点距离公式，如过已知三点求圆方程| |综合层|复杂问题解决|通过最值范围、对称圆、轨迹问题，如定点到圆上点的最值、圆的轨迹方程|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 2.4.1 圆的标准方程 目录 A组 巩固过关 题型01由圆心（或半径）求圆的方程 题型02由标准方程确定圆心和半径… 题型03求过已知三点的圆的标准方程. 题型04求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程… 题型05定点到圆上点的最值（范围）… 题型06由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点.… 题型07轨迹问题—圆… B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/10 上好每一堂课 书年年。。年，，年，。ee 1 000… 1 3 4 6 8 10 ..11 16 .20 21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01由圆心（或半径）求圆的方程 1.(24-25高二上湖南水州期末)因C的网心在鞋上，且过4(3,8(3,5》两点，则圆C的方程为 () A.x+(0y-02=17 B.x+(0-3)}=17 c.x+(0y+1)2=13 D.x+(0-3)=13 225.26高三上重庆阶段检测圆心在'轴，且经过点01)和2）的圆的方程是《) A.（x-2}°+y2-1 B.(x+2)}+y2=1 c.x2+(0y-2=1 D.x2+(+2}=1 3(25-26高二上甘肃武威期末)C(6-2)为圆心，且过点B B(6,-1) 的圆的标准方程为() A.(x+3)°+(0y-2}=10 B.(x+3)°+(0y-2)=4 c.(x-3)'+(y+2)}2=4 D.(x-3+(0y+2)}=10 题型02 题型02由标准方程确定圆心和半径 1,2),(-1,4) 4.(25-26高二上广西来宾·期中)圆心在轴上，且经过点 的圆的标准方程为() A.Y+0+3)驴=2 B.(6x-3)2+y2=20 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.r+0-3)2=2 D.(6x+3)2+y2=20 5.(2026高三·全国专题练习)圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的方程是() A.(x-02+y2=4 B.(x+02+y2=4 c.(6x-102+0-22=4 D.x+0-102=4 6.(25-26高一下·江西宜春·阶段检测)已知 C:K-a+0-bP=1a>0,b>0)上有两点关于直线 2.1 x+2y-2=0对称，则a+6的最小值为() B.3 C.4 D.8 题型03 题型03求过已知三点的圆的标准方程 7.(河北衡水中学2024届高三下学期一调考试数学试题)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意 的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共 圆，因此九点圆也称作欧拉圆.在△ABC中，若A(-L,4),B(3,2),C5,0),则△ABC的九点圆的方程为 () A.(x-6)2+y-6)2=34 (（旷- =2 8.(河北衡水中学2024届高三下学期一调考试数学试题)数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意 的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共 圆，因此九点圆也称作欧拉圆.在△ABC中，若A(-1,4),B(3,2),C5,0),则△ABC的九点圆的方程为 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.(x-6)2+y-6)2=34 R〔 .13)2 c.-+2-2 .〔-=n 92526商=下费州速义期中)已知圆C过点0,2)，(，0)，2)，则圆C的标准方程为() A.(x+1)+(y-1=10 B.(-1+(y+1}=40 c.(x-1+(y+12=10 D.(x+1)+(0y-1=40 题型04 题型04求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 10.(24-25高二上广东湖州期末)已知点P(2,)和点B(⑧，5)，则以PB为直径的圆的标准方程是（) A.(（x-5)+(y-6}2=40 B.(x+5)+(y+6)=I0 c.(x-5°+(y-6)=10 D.(x+5)+(0y+6)}2=210 1.(25-26高二上广东深圳期末)以1(L3B(3,7) 为直径的两个端点的圆的方程为() A.(x-2+0-3)》2=V5 B.-2y'+0y-52=V5 c.r-0+0-3y2=5 D.6x-2+0-52=5 12.(25-26高三全国一轮复习》若点P川到两定点4(-3,0)和B(3,0)的 ?的距离的比等于2，则动点P的 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轨迹方程是 题型05 题型05定点到圆上点的最值（范围） 13.(2026河北二模)若圆M(x+1+0+3=r(>0上存在两点A,B,且直线3+45-0上存在 点P,使得∠APB60°，则r的取值范围是() A.(0,4] B.[4,+o) C.0,2] D.[2,+o) 14.(2526高一下重庆开州阶段检测)已知平面向量a,6清足问-月=5，且1i.若向量满足 (-a)(e-6)=0,则的最大值为（) A.26 B 5 C.2 D.1 15,(2026湖北武汉模拟预测)（多选题）已知点4.0)，B(4,0),M为圆0.+少=4上一点，则 () A.点B在圆O外 B.MB 的最大值为6 c. D.IMA+MB的最大值为9 题型06 题型06由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点 16.(25:26有二上山西太原期中)周x+广+（心-2=1关于直线y=对称的圆的方程为《） A.(x-2+(0+1=1 B.(x+2y+(0y-12=1 c.(x-2+(0y-1)2=1 D.(x+2)+(0+1)=1 C:(x-2)2+y+1)2=25 17.(25-26高二上山东·阶段检测)圆 关于直线 x-y+1=0 对称的圆的方程为 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.(+2+0-3y=5 B.(x+2y+0-3=25 C.(x-2y+0+3)2=5 D.(x-29+0y+3)}=25 18(25-26商=上山东阶段检测)圆C:(-2+0+=2 关于直线-y+1=0 对称的圆的方程为 () A.x+2y+0-3)2=5 B.(x+2y+0-3)2=25 c.x-2y+0+3)2=5 D.(-2+0+3)2=25 颗型07 题型07轨迹问题—圆 19.(2526商二上湖南水州期末)《多选题）已知曲线0：r+广=+(：+少*0)点4(，)在n 上，0为坐标原点， B(-2,0 ,则下列说法正确的是() A.点L0)在上 B.2围成的图形面积为π+2 C.la+b+ 的最小值为V2 D.若0，>0，则540-1B的最大值为2 20.(25-26高二上湖南水州期末)《多选题）已知线9：r+少=+(：+广≠0，点4(a,b)在 上，0为坐标原点， B(-2,0) 则下列说法正确的是() A.点0)在上 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.2围成的图形面积为π+2 C.a+b+3 的最小值为V2 D.若0>0，则5H0-A8l 的最大值为2 21.(2026江西吉安·一模)（多选题）如图，在菱形网格图（最小的菱形边长为1，且有一个内角为60°） 中有两个格点，8，若图中有且只有2个不同的格点P(P不与1,8重合》使得 PA·PB= 成立，则 的可能取值为() B A.0 B.1 C.4 D.9 B组 能力进阶 1（25-26高=上江苏镇江期未末)圆+0-= 关于直线-y=0, 对称的圆的方程是() A.++1=1 B.(x++y2=1 c.x-02+y2=1 D.x+2=1 2.(25-26高二上·江西·期中)某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度AB=24m,拱高OP=8m, AB AB2 A,BAB2 为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱 (将支柱 视为两条线段)，且 0A=0A2=5m AB ,则支柱的高度为() 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B2 B A.8m B.7m C.7.5m D.6.5m 3.(25-26高二上江西·期中)某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度AB=24m,拱高OP=8m AB A2B. 、AB1A2B2 为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱 （将支柱， 视为两条线段)，且 04=0A2=5m AB 则支柱 的高度为() B B A O A2 B A.7.5m B.8.5m C.7m D.8m 4（25-26高二上四川成都期中)过点D0,0440),B0,3 的圆的标准方程为() A.（-+0-29=9 。.-或+空’ n*2+-9 5.(24-25高二上内蒙古锡林郭勒期末)过三点4,2)，B(3,2),C1,-6)的圆的标准方程为() A.(x-2+(+2}=17 B.(x+2)+(0y-2)=17 c.(x-2°+(y+2)}=25 D.(x+2°+(-2=25 6(25-26高二上河北沧州阶段检测)过点-2,2（←4,0(-4,2） 的圆的半径为() A.1 C.2 D.2V5 8/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.(25-26高二上河北沧州阶段检测)过点 -2,2,(-4,0),(-4,2) 的圆的半径为() A.1 B V2 C.2 D.2V2 g25.6有上江苏镇江阶段检过点100.@2的圆的圆心华标为（)、 。6-》 3(25-26商二上陕西汉中阶段检测)圆6x-1+0v+3=10 圆心坐标为() A.(1,3) B.(1-3) C.（-1,3) D.(-1,-3) 4（25-26高二上广东江门阶段检测)圆6任-2+0+1少=2 则圆的圆心坐标和半径分别为() A.(2,-),2 B.(2,-),V2 C.（-2,),2 D.（-2,),V2 拓展 链接高考 1(2026海南海口模拟预测)在平面直角坐标系0中，圆C,:-V5+0-=9,过点P0,60且斜 9/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 羊你在的直线与周期交于4,9两点，若O个-0网，则回心C到日线'9亚关为() √5 4v5 A.1 B.2 C.2 D.5 2(2526高=上吉林期未)已知实数，'满足 x2+y2-6x=0 ,则的最大值是() A.3-3V2 B.32 C.3+2 D.3+3V2 10/10 分层作业 2.4.1 圆的标准方程 目 录 1 题型01 由圆心（或半径）求圆的方程 1 题型02由标准方程确定圆心和半径 3 题型03求过已知三点的圆的标准方程 4 题型04求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 6 题型05定点到圆上点的最值（范围） 8 题型06由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点 10 题型07轨迹问题——圆 11 16 20 21 题型01 由圆心（或半径）求圆的方程题型01 1.（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 2.25-26高三上·重庆·阶段检测）圆心在轴，且经过点和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】设圆的方程为，利用待定系数法即可求解. 【详解】设圆的方程为， 则， 所以圆的方程是， 故选：C. 3.（25-26高二上·甘肃武威·期末）以为圆心，且过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由圆心和过点求出半径，再利用圆的标准方程即可得解. 【详解】由题可知，，所以圆的半径， 又以为圆心，所以圆的标准方程为：， 故选：D． 题型02由标准方程确定圆心和半径 题型02 4.（25-26高二上·广西来宾·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程求解参数即可. 【详解】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 5.（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 6.（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 题型03求过已知三点的圆的标准方程题型03 7.（河北衡水中学2024届高三下学期一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 8.（河北衡水中学2024届高三下学期一调考试数学试题）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 9.（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 题型04求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程题型04 10.（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，根据两点间距离公式求得直径，即可得答案. 【详解】由中点坐标公式得：圆心， 直径，即半径为， 故以为直径的圆的标准方程为. 故选：C 11.（25-26高二上·广东深圳·期末）以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据题意求出圆心坐标和半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】因为为直径的两个端点， 所以圆心坐标为，即， 半径为， 所以以为直径的两个端点的圆的方程为， 故选：D 12.（25-26高三·全国·一轮复习）若点到两定点和的距离的比等于2，则动点的轨迹方程是______． 【答案】 【知识点】求平面两点间的距离、求平面轨迹方程 【分析】由两点间的距离得，代入，化简即可求解. 【详解】由题意得， 由题意得，则， 整理可得， 化简得， 则动点P的轨迹方程为． 题型05定点到圆上点的最值（范围）题型05 13.（2026·河北·二模）若圆 M: 上存在两点A，B，且直线l:3x+4y-5=0上存在点 P，使得∠APB=60°，则r的取值范围是（   ） A．(0，4] B．[4，+∞) C．(0，2] D．[2，+∞) 【答案】D 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】过点作圆的两条切线（为切点），根据题意得到，结合已知可得圆心到直线的距离，由点直线的距离公式代入列不等式求解即可． 【详解】圆 M:的圆心坐标，半径为， 此时圆心到直线l:的距离为， 若在圆M上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝60°，过点作圆的两条切线（为切点），, 所以，解得， 故选：D. 14.（25-26高一下·重庆开州·阶段检测）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由的垂直关系和模长可令，，再设，由数量积的坐标表示确定的轨迹方程，进而可求解. 【详解】因为，且，令，，设， 由，代入坐标得： ， 整理配方得： ， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆. 则是原点到圆上点的距离， 又原点到圆心的距离为： ， 所以圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为. 15.（2026·湖北武汉·模拟预测）（多选题）已知点，，M为圆O：上一点，则（   ） A．点B在圆O外 B．的最大值为6 C． D．的最大值为9 【答案】ABD 【知识点】判断点与圆的位置关系、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 题型06由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点题型06 16.（25-26高二上·山西太原·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案． 【详解】圆的圆心为，半径为1， 设所求圆的圆心为， 则与关于直线对称， 故， 则所求圆的圆心为，半径为1， 所以所求圆的方程为． 故选：A 17.（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 18.（25-26高二上·山东·阶段检测）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由标准方程确定圆心和半径、求点关于直线的对称点 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 题型07轨迹问题——圆题型07 19.（25-26高二上·湖南永州·期末）（多选题）已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．围成的图形面积为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为2 【答案】ABD 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，将点坐标代入方程即可验证；对于B，先判断曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成，进而计算面积；对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍，进而计算即可；对于D，将等价于到点的距离，即可计算. 【详解】 当时，原方程化为， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又曲线关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示. 对于A，代入满足方程，所以A正确. 对于B，曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为：， 所以B正确. 对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，结合图像得， 故到直线的最小距离为,进而的最小值为，所以C错误. 对于D， 因为时，方程变为，所以 等价于到点的距离， 所以所以D正确. 故选：ABD. 20.（25-26高二上·湖南永州·期末）（多选题）已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（    ） A．点在上 B．围成的图形面积为 C．的最小值为 D．若，则的最大值为2 【答案】ABD 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，将点坐标代入方程即可验证；对于B，先判断曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成，进而计算面积；对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍，进而计算即可；对于D，将等价于到点的距离，即可计算. 【详解】 当时，原方程化为， 所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分， 又曲线关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示. 对于A，代入满足方程，所以A正确. 对于B，曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成， 所以面积为：， 所以B正确. 对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，结合图像得， 故到直线的最小距离为,进而的最小值为，所以C错误. 对于D， 因为时，方程变为，所以 等价于到点的距离， 所以所以D正确. 故选：ABD. 21.（2026·江西吉安·一模）（多选题）如图，在菱形网格图（最小的菱形边长为1，且有一个内角为60°）中有两个格点，，若图中有且只有2个不同的格点（不与，重合）使得成立，则的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】ABC 【知识点】轨迹问题——圆、数量积的坐标表示、余弦定理解三角形 【分析】如图建系，求得A、B点坐标，根据数量积公式，可得的表达式，进而可得点P的轨迹方程，根据菱形的性质及余弦定理，可得各个长度，分析选项，即可得答案. 【详解】将格点标上字母，以AC方向为x轴正方向，过A作y轴垂直x轴，如图所示 由题意得，设， 则， 所以， 则，即点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 由菱形的性质可得，，菱形的短对角线长度为1，长对角线长度为， 由余弦定理得，即， 同理， 当时，半径为，此时， 又不与，重合，所以点M、E两点符合题意，故A正确； 当时，半径为2，此时点I、N两点符合题意，故B正确； 由余弦定理得，即， 同理， 当时，半径为，此时O、L两点符合题意，故C正确； 由菱形的性质得， 当时，半径为，此时只有一个P点满足条件，不符合题意. 1.（25-26高二上·江苏镇江·期末）圆关于直线对称的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】通过求原圆心关于对称轴的对称点，结合半径不变，得到对称圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设点关于直线的对称点为. 直线的斜率为，过点且与该直线垂直的直线方程为. 联立，解得交点为. 由中点坐标公式，，，得，. 对称圆的圆心为，半径为，方程为. 故选：C 2.（25-26高二上·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 【答案】B 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、直线与圆的实际应用 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 3.（25-26高二上·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．7.5m B．8.5m C．7m D．8m 【答案】C 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故选：C 4.（25-26高二上·四川成都·期中）过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的标准方程，代入三点坐标组成方程组求解即可. 【详解】设圆的方程为，代入可得： ，即， 解得，所以所求圆的标准方程为. 故选：C 5.（24-25高二上·内蒙古锡林郭勒·期末）过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设出圆的一般方程，利用待定系数法求出并化成标准方程形式. 【详解】设圆的方程为， 由圆过三点，得，解得， 则圆的方程为，所以该圆的标准方程为. 故选：A 6.（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点的圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】根据几何法求出圆心，进而可求圆的半径. 【详解】易知以为端点构成的线段的中垂线方程为， 以为端点构成的线段的中垂线方程为，如图： 设圆心坐标为，显然点为直线与直线的交点，即. 所以圆心坐标为，故圆的半径. 故选：B. 1.（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点的圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】根据几何法求出圆心，进而可求圆的半径. 【详解】易知以为端点构成的线段的中垂线方程为， 以为端点构成的线段的中垂线方程为，如图： 设圆心坐标为，显然点为直线与直线的交点，即. 所以圆心坐标为，故圆的半径. 故选：B. 2.（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）过点，，的圆的圆心坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】圆过，这两个点，利用圆心在线段的垂直平分线上，得到圆心在直线上，此时设圆心的坐标为，利用半径相等，使用两点间距离公式，列出关于的等式，求解即可. 【详解】圆过点，， 圆心在直线上， 设圆心坐标为， 圆过点，， ， ， 圆心坐标为. 故选：B. 3.（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】直接由圆的标准方程可得圆心坐标. 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 4.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 1.（2026·海南海口·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆：，过点且斜率存在的直线与圆相交于，两点，若，则圆心到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径 【详解】因为，所以点在线段垂直平分线上. 又因为圆心也在线段垂直平分线上，所以直线就是的垂直平分线. 因为，所以， 因为， 所以. 由题意得直线过点，那么直线为，一般形式为. 那么. 2.（25-26高二上·吉林·期末）已知实数，满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求cosx（型）函数的最值、由标准方程确定圆心和半径、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】写出圆的标准方程，利用三角换元转化为三角函数求最大值即可. 【详解】由，可得， 设，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $